Masso, £ Russo, £

Цена реализации 150 100

Материалы 80 30

Комиссионные продавцов 30 20

На каждую единицу продукции требуются расходы по производству компонентов и их сборки. Общая мощность, доступная в августе, по смете составляет 700 ч работы оборудования и 1000 ч на сборку, расходы по этой мощности являются постоянными и соответственно равными £7000 и £10 000 в месяц при любом уровне использования. Ниже приведено число часов, необходимых для каждого подразде­ления, чтобы завершить единицу продукции.

Недавно правительство на основе требований Европейского экономического сообщества ввело специальный контроль за тем, чтобы цены реализации оставались постоянными, а максимально разрешенный выход любого изделия в августе составлял не более 400 ед. (т.е. компания Brass Ltd может выпустить 800 ед. продукции). При настоящих контролируемых ценах реализации спрос на изделия пре­вышает производство в значительной степени.

Необходимо выполнить следующее.

A. Вычислить оптимальный производственный план для компании Brass Ltd на август и показать, какую прибыль она по нему получит.

Б. Вычислить стоимость для компании Brass Ltd независимого маржинального увеличения по имеющейся мощности как по обработ­ке, так и по сборке, при допущении, что мощность другого подразделения является неизменной и что применяется условие максимально­го выхода продукции.

B. Указать основные допущения, имеющиеся в ваших вычислениях по п. А, и оценить их влияние.

Резюме

Когда редких исходных ресурсов более одного, для опреде­ления производственной программы, позволяющей обеспечить максимальный общий вклад в прибыль, следует воспользоваться линейным программированием. Требуемую для него информацию можно получить либо графическим методом, либо симплекс-методом. Однако графический метод не подходит для ситуаций, когда из редких ресурсов выпускается более двух продуктов. В этом случае необходимо воспользоваться симплекс-методом. У этого метода есть дополнительное преимущество, связанное с тем, что результаты этой модели подробно показывают альтерна­тивные издержки и маржинальные ставки замещения для редких ресурсов.

Линейное программирование может быть использовано для решения нескольких проблем управленческого учета. В частности, этот прием позволяет вычислить релевантные издержки, связан­ные с производством. Эта информация может быть использована

и для принятия решений, анализа отклонений при калькуляции себестоимости по нормативным издержкам и установления трансфертных цен в децентрализованных компаниях. Этот метод можно также применять для рационирования капитала в течение нескольких периодов.

Однако у линейного программирования имеется ряд ограни­чений, которые проявляются при его применении в реальных си­туациях. Некоторые из этих проблем можно преодолеть, если воспользоваться более сложными моделями и приемами цело­численного программирования. Линейное программирование — это прием, который может быть использован для оптимального распределения редких ресурсов. В долгосрочном плане ограниче­ния по ресурсам можно устранить, приобретая такие ресурсы. Поэтому линейное программирование подходит только для реше­ний, связанных с краткосрочным распределением редких ресур­сов.

Ключевые термины и концепции

альтернативные издержки (с. 958) дополнительные переменные (с. 959) линейное программирование (с. 952) маржинальная ставка замещения (с. 958) модель целочисленного программирования

с. 970)

рационирование капитала симплекс-метод (с. 959) теневая цена (с. 958) целевая функция (с. 952)

(с. 969)

26. Применение линейного программирования для управленческого учета 969

Приложение 26.1: Применение линейного программирования для составления смет капиталовложений

В гл. 14 рассмотрено рационирование капитала и выявлено, что существуют ситуации, когда имеется бюджетный потолок или ограничение на объем средств, которые могут быть инвестированы в течение конкретного периода времени. В этом случае следует выбрать комбинацию инвестиционных предложений, которая обеспечивает наивысшую чистую приведенную стоимость при условии соблюдения бюджетного ограничения, действующего в течение рассматриваемого периода. В гл. 14 исходили из допущения, что инвестиционные фонды являются ограниченными только в течение одного периода, однако на практике следует учитывать и варианты, когда такое ограничение действует более одного периода. Если существует рационирование капиталов в течение нескольких периодов, чтобы получить максимальную чистую приве­денную стоимость, можно воспользоваться приемами линейного программирования. Рассмотрим пример, приведенный в табл. 26. П.1, чтобы показать пример линейного программирования для рационирования капитала, если сметное ограничение действует в течение трех периодов.

Можно сформулировать модель линейного программирования, представляя каждый из проектов, ко­торые даны здесь под номерами 1,..., 6 в виде Xj (где у = 1,..., 6), при этом Х\ представляет инвестицию в первый проект, Xj — во второй и т.д. Наша цель — получить максимальную чистую приведенную стои­мость, учитывая, что в каждом из трех периодов смета является ограниченной. Эта модель имеет следую­щий вид:

Максимизировать 14ЛГ, + 30Х₂ + 17Х₃ + 15Х₄ + 40Х₅ + 6Х₆

при условии, что

1	12	3	5	14
2	54	10	4	30
3	6	6	6	17
4	6	2	5	15
5	30	35	10	40
6	6	10	4	6

Приведенная стоимость сметных ограничений по вложениям на периоды 1—3 составляет:

£ млн

Период 1	35
Период 2	20
Период 3	20

Необходимо сформулировать модель линейного программирования, которая позволяет получить макси­мальную чистую приведенную стоимость.

Конечный член в модели указывает, что Xj может принимать любое значение от 0 до 1. Это гаранти­рует, что проект не может реализовываться более чем один раз, но позволяет выполнить его частично. Члены SI, S2 и S3 отражают дополнительные переменные (неиспользованные фонды) для каждого из трех

970

Раздел шестой. Применение количественных методов в управленческом учете

периодов. Предполагается, что ограничения по сметным капиталам являются абсолютными и не могут быть устранены за счет получаемых поступлений денежных средств. Решение задачи представлено в табл. 26. П.2.

Таблица 26. П.2. Оптимальные значения для задачи рационирования капитала в течение нескольких пеоиопов

Как видно из приведенных цифр, компании следует принять в полном объеме проекты 1, 3 и 4,7% проекта 2, 23,5% проекта 5 и 0% проекта 6. Подставляя эти значения в уравнения для целевых функций, получим, что чистая приведенная стоимость составляет в этом случае £57,5 млн.

Дополнительные переменные указывают альтернативные издержки сметных ограничений для различ­ных будущих периодов. Эти переменные показывают ожидаемые приведенные стоимости, которые можно получить, если сметные ограничения сократить на £1. Например, дополнительная переменная в £0,408 для периода 1 показывает, что приведенная стоимость, как ожидается, возрастет на £0,408, если сметные фон­ды, доступные для инвестирования в период 1, увеличатся на £1, а дополнительная переменная в £0,792 показывает, что приведенная стоимость, как ожидается, возрастет на £0,792. Если смета увеличится в период 1 на £1 млн, ожидается, что приведенная стоимость возрастет на £408 000. Дополнительные пе­ременные также показывают, сколько следует платить выше рыночной цены за инвестиционные средства, т. е. те значения, которые используются для вычисления чистой приведенной стоимости по дополнитель­ным фондам на каждый период. Альтернативные издержки также помогают оценить любые инвестицион­ные проекты, которые можно предложить в качестве замещения проектов 1—6. Например, предположим, появился новый проект, у которого все поступления денежных средств приходятся на год 3 и ожидаемая чистая приведенная стоимость составляет £4 млн для инвестиций в £5 млн для года 1 и 2; этот проект должен быть отвергнут, потому что альтернативные издержки ограниченных средств составят '£6 млн (£5 млн • 0,408 + £5 млн • 0,792), а это значение превышает чистую приведенную стоимость вложений.

До сих пор мы исходили из допущения, что капитальные ограничения являются абсолютными и не могут быть устранены за счет поступлений денежных средств, появившихся в результате реализации пре­дыдущих проектов. Теперь предположим, что денежные поступления, полученные в результате реализации предыдущих проектов, могут использоваться для инвестиций и что эти поступления для периода 2 составляют £5 млн, £б млн, £7 млн, £8 млн, £9 млн и £10 млн соответственно для проектов 1—6. Уточ­ненное ограничение в этих условиях для периода 2 составит

3*! + 10Х₂ + 6Х₃ + 2Х_Л + 35*5 + 10Z₆ + S₂ = 20 + 5Х_} + dX₂ + lX_i + Щ + 9Х₅ + Ш₆.

Видно, что поступления денежных средств, указанные в правой стороне уравнения, приводят к воз­растанию фондов, доступных для инвестирования. Тот же самый подход надо использовать и для поступ­ления денежных средств для периодов 1 и 3. Обратите внимание, что мы исходим из допущения, что лю­бые неиспользованные фонды можно переносить вперед и использовать в будущие периоды. Для иллюст­рации того, как неиспользованные фонды можно переносить в будущие периоды, а также как потоки де­нежных средств, получаемые в результате реализации проектов, можно включить в модель линейного программирования, смотрите ответы на задания 26.15 и 26.16 в Учебном пособии для студентов.

При формулировании модели мы исходили из допущения, что инвестиционные проекты являются членимыми в том смысле, что можно реализовать какую-то часть проекта, а не весь его целиком. При оп­тимальном решении и проект 2, и проект 5 осуществляются частично. Однако на практике вероятность того, что инвестиционные проекты являются бесконечно членимыми, мала, и поэтому принятие проекта обычно означает принятие его в полном объеме или отклонение его целиком, т. е. во втором случае с ну­левым выделением средств. Чтобы преодолеть эту проблему, можно воспользоваться моделью целочислен­ного программирования, требуя, чтобы Xj было целым числом: либо 0, либо 1. Такой подход исключает час­тичное выполнение инвестиционных проектов.

Приведенная выше модель может быть также модифицирована и для того, чтобы учесть взаимоисклю­чающие проекты. Например, если проекты 1, 3 и 6 взаимоисключающие, можно просто добавить ограни­чения Х\ + Х₃ + Х(, si. Если это ограничение используется в рамках целочисленного программирования, оно гарантирует, что в окончательном решении окажется только один из указанных проектов. Также, если

26. Применение линейного прогроммирования для управленческого учета

971

проект 2 обусловлен принятием проекта 1, то введение условия Xj s Х\ гарантирует, что в окончательном решении модели целочисленного программирования это условие будет соблюдено.

Основная проблема при применении линейного программирования с точки зрения процесса составле­ния смет капиталовложений связана с тем, что этот метод строится на допущении, что будущие инвести­ционные возможности являются известными. Однако реально менеджеры знают только о ближайших ин­вестиционных возможностях. Сметные ограничения на более отдаленный период могут, вероятно, потре­боваться только в том случае, если появятся новые инвестиционные предложения, а они далеко не всегда могут оставаться в рамках прежних ограничений. Чтобы преодолеть эту проблему, следует проводить про­цесс отбора проектов постоянно.

Особенности экзаменационных вопросов

Обычной ошибкой при ответе на вопросы по рассматривае­мой здесь тематике является представление целевой функции в виде прибыли на единицу продукции. Это неправильно, поскольку постоянные издержки на единицу продукции на самом деле не являются постоянными. Поэтому целевая функция должна выра­жаться в единицах вклада в прибыль на единицу продукции. Сле­дует обратить внимание и на то, что существует несколько спосо­бов составления таблиц для модели линейного программирова­ния. В этой главе применяется подход, при котором составление первой таблицы включало положительные знаки для вклада в прибыль и отрицательные знаки — для дополнительных перемен­ных. При таком варианте оптимальное решение имеет место в том случае, когда все знаки в строке вклада в прибыль являются отри-

цательными. Иногда экзаменационные вопросы ставятся таким образом, что требуется обратная процедура, т. е. знаки даются противоположными тем, как это приведено в данной главе. Для иллюстрации того, как справиться с подобной ситуацией, следует обратиться к ответам в Учебном пособии для студентов на зада­ния 26.9 и 26.11.

Большинство экзаменационных вопросов включают конечную таблицу и требуют от студента интерпретации представленных цифр. Могут также потребовать сформулировать первоначальную модель. Однако вероятность того, что потребуется осуществлять все вычисле­ния и дойти самостоятельно до конечной таблицы, мала. Тем не ме­нее, вас могут попросить составить общий граф и вычислить маржи­нальные ставки замещения и альтернативные издержки.

Задания