11.21 Продвинутый уровень: Вычисление оптимальных цен реализации при помощи дифференциального исчисления

Компания Cassidy Computers pic продает один из своих про­дуктов — карту одного встраиваемого модуля — как в Великобри­тании, так и в Руритании. Для двух рынков зависимость между ценой и спросом разная и может быть представлена следующим образом:

Национальный рынок (Великобритания) Экспортный рынок (Руритания)

где Qi — спрос (в тыс. ед.) на национальном рынке; Ог — спрос (в тыс. ед.) на экспортном рынке.

Текущий обменный курс валют: 2руританских доллара = 1 британскому ф. ст.

Переменные издержки на производство указанной карты за­висят от масштабов производства и могут быть представлены как переменные издержки, £ на ед. = 19 - Q, где Q = Qi + Ог.

Необходимо выполнить следующее.

A. Вычислить оптимальную цену реализации карты и общий вклад в прибыль компании от нее, если она будет продаваться:

1. только на национальном рынке;

2. только на экспортном рынке;

3. на обоих рынках.

Б. Вычислить оптимальные цены реализации карты и общий вклад в прибыль компании от нее, если она будет продаваться на обоих рынках, но с учетом ограничений, накладываемых прави­тельством Руритании, по которому компания не может продавать в Руритании больше карт, чем в Великобритании. Насколько чувст­вительны цены, установленные на каждом из рынков, и общий вклад в прибыль к изменениям в обменном курсе двух валют, если он меняется в диапазоне от 1 руританского доллара = £0,25 до 1 руританского доллара = £1?

B. В какой степени неустойчивость обменного курса влияет на способы, при помощи которых устанавливаются экспортные цены на практике?

Принятие решений в условиях риска и неопределенности

Учебные цели

Изучив материал этой главы, вы дол уметь:

• вычислять и объяснять значения ( даемых величин;

• объяснять роль и ограничение cpej квадратического отклонения и коэф циента вариации как показателей ри<

• формировать дерево решений при личии диапазона возможных альте[ тивных вариантов;

• вычислять значения абсолютной формации;

• применять критерии максимина, Mai макса и потерь;

• объяснять результаты, связанные применением анализа портфеля.

В гл. 8—11 рассмотрено применение единого набора оце­нок для прогноза будущих затрат и поступлений для аль­тернативных вариантов действий. Например, в гл. 11 для каждой цены реализации мы пользовались единственной оценкой спроса. Однако на самом деле на результат кон­кретного решения могут влиять неизвестные условия, ко­торые заранее знать нельзя, и поэтому единственная оценка в этом случае не передает всей информации, кото­рая для принимаемого решения может быть значима.

Теперь рассмотрим более сложный пример — ситуа­цию, при которой у компании есть два взаимоисключаю­щих потенциальных альтернативных варианта — А и В — каждый из которых обеспечивает поступление в £50 000. Оцениваемые затраты варианта А можно спрогнозировать с высокой степенью достоверности; ожидается, что они будут в диапазоне от £40 000—£42 000; поэтому вполне обоснованно можно считать, что оценка затрат равняется £41 000. Оценка альтернативного варианта В связана с го­раздо большей неопределенностью, так как для его выполнения требуются работы повышена точности, в том числе операции, которые компания ранее не выполняла. Оцениваемые затра лежат в диапазоне £35 000 и £45 000. Однако и здесь в качестве единой цифры-представителя б ли выбраны £40 000. Если при анализе исходить из точечных оценок обоих вариантов, то 6oj предпочтительным выглядит вариант В, так как оцениваемая прибыль для него составл) £10 000 по сравнению с £9000 варианта А. Однако картина может оказаться иной, если уче< весь диапазон возможных конечных результатов.

Вариант А, как ожидается, даст прибыль в размере между £8000 и £10 000, в то время как т пазон возможной прибыли для варианта В составляет от £5000 до £15 000. Менеджеры в этих ; ловиях могут склониться к варианту А, так как он обоснованно позволяет надеяться на получен прибыли в диапазоне от £8000 до £10 000, вместо того чтобы получить £5000 от варианта В (хс существует возможность, что он принесет и £15 000).

Этот пример показывает, что существует необходимость включать в оценки и в принятие j шений неопределенности, связанные с каждым вариантом. В этой главе рассмотрим различи: методы, позволяющие это сделать. Кроме того, проанализируем, как эти методы могут испольэ ваться для целей ценообразования и анализа ЗВП в условиях неопределенности.

Модель принятия решений

Поскольку все проблемы, связанные с принятием решений, имеют вполне определенна структуру, состоящую из нескольких основных элементов, можно разработать общую моде, принятия решений. На рис. 12.1 показаны элементы такой модели с учетом риска и неопред ленности.

12. Принятие решений в условиях риска и неопределенности

401

Рис. 12.1. Модель принятия решения с учетом неопределенности

Из этого рисунка видно, что модель принятия решений имеет следующие характеристики.

J. Цель или задача, которую хочет решить лицо, принимающее решение, например, максими­зация прибыли или определение приведенной стоимости потоков денежных средств. Численное представление цели часто называется целевой функцией; она применяется для оценивания альтер­нативных вариантов действий и служит для выбора лучшего из этих вариантов.

2. Поиск альтернативных вариантов действий, позволяющих достичь поставленную цель.

3. Поскольку проблемы, связанные с решениями, проявляются в условиях неопределенности, необходимо рассмотреть те неконтролируемые факторы, которые могут проявиться при каждом варианте действий и которые могут оказать влияние на результат при каждом возможном вариан­те действий. Эти неконтролируемые факторы называются событиями или внешними условиями. Например, в ситуации запуска на рынок нового продукта возможными внешними условиями могут быть случаи, когда такой же продукт выпускает конкурент, но по более низкой цене, или когда такого продукта никто больше не предлагает.

4. Набор конечных результатов (исходов) для различных возможных комбинаций действий и событий. Каждый результат зависит от выбранного варианта действий и конкретных внешних условий.

5. Измерение численного результата (вознаграждения) для каждого возможного исхода в еди­ницах, отражающих степень достижения заданных целей. Чаще всего это выражается в денежном виде, например, прибыль или поток денежных средств, но в некоторых случаях предпочтительнее выражать в других показателях, например, времени, рыночной доле и т.п.

6. Выбор оптимального варианта действий.

Основные характеристики модели принятия решения показаны на примере 12.1.

Пример 12.1

Pretorian Company рассматривает свою маркетинговую политику на следующий сметный период. Ком­пания разработала два новых продукта — X и Y, но ресурсов у нее достаточно только для выпуска на рынок одного из них. С точки зрения действий конкурентов компания может столкнуться со следующими внеш­ними условиями:

1. конкуренты ничего не предпринимают;

2. конкуренты предлагают такой же продукт;

3. конкуренты предлагают более привлекательный продукт.

Элементы модели принятия решения для примера 12.1 и гипотетические возможные исходы при каждом варианте внешних условий показаны на рис. 12.2. Диаграмма на этом рисунке известна под названием дере­во решений. На этой диаграмме мы не измеряем количественные показатели для каждого возможного исхо­да, но далее в главе рассмотрим способы, позволяющие это сделать. Начнем с обсуждения некоторых кон­цепций и приемов, необходимых для анализа риска и неопределенности.

26 Управленческий и производственный учет

402 Раздел третий. Информация для принятия решений

Риск и неопределенность

Теоретики, занимающиеся вопросами принятия решений, часто проводят различия между по­нятиями «риск» и «неопределенность». О риске говорят в ситуации, когда существует несколько возможных исходов и имеется релевантный прошлый опыт, позволяющий возможные исходы обработать статистически. Неопределенность проявляется в том случае, когда есть несколько возможных исходов, но предыдущих статистических данных мало, и это не позволяет предсказать возможные исходы. Большинство решений в бизнесе можно отнести именно к категории неопре­деленности. Однако при проведении нашего анализа описанная выше разница между риском и неопределенностью большого значения не имеет, поэтому в этой книге будем пользоваться этими терминами как синонимами.

12, Принятие решений в условиях риска и неопределенности

403

Вероятности

Возможность того, что какое-то событие или внешнее условие наступит, известно под терми­ном вероятность. Как правило, она выражается в виде десятичной дроби, и при этом ее значение находится между 0 и 1, или в процентах. Значение 0 указывает на нулевую возможность того, что анализируемое событие произойдет, в то время как значение 1 свидетельствует об абсолютной определенности, т.е. событие обязательно случится. Вероятность, скажем, 0,4 означает, что собы­тие, как ожидается, произойдет четыре раза из десяти. Общая сумма вероятностей событий, кото­рые могут произойти, должна составлять 1,0. Например, если педагог говорит, что вероятность того, что студент сдаст экзамен, равна 0,7, то это означает, что у студента шанс на сдачу экзамена равен 70%. Учитывая, что среди других возможных событий, связанных со сдачей экзамена, мож­но указать только провал на экзамене, то вероятность такого исхода будет равна 0,3.

Информация может быть представлена в виде распределения вероятностей. Это список воз­можных исходов для анализируемого события и вероятности того, что этот исход наступит. Рас­пределение вероятности для описанного выше примера имеет следующий вид.

Исход Вероятность

Сдача экзамена 0,7

Провал экзамена ОД

Итого 1.0

Некоторые вероятности также известны как объективные вероятности, поскольку могут быть вычислены математически или получены на основании исторически достоверных данных. При­меры объективных вероятностей — подбрасывание монеты или выбрасывание игровой кости. Например, вероятность того, что монета при ее подбрасывании ляжет «орлом» вверх, логически должна составлять 0,5. Это можно проверить на опыте, подбрасывая монету много раз и фикси­руя полученные результаты. Аналогично вероятность получения цифры 1 при выбрасывании кос­ти равна 0,166 (т.е. одна шестая). Это тоже можно объяснить логически и проверить, многократ­но бросая игральную кость и фиксируя получаемые результаты.

Однако для решений в сфере бизнеса получение объективных вероятностей маловероятно, по­скольку в этом случае часто предыдущих данных или повторно проводящихся процессов не бывает. Вероятности здесь приходится оценивать менеджерам на основе собственных суждений. Вероятно­сти, полученные таким способом, называются субъективными вероятностями, поскольку скорее всего в таких условиях даже два человека редко присвоят конкретному исходу одни и те же значе­ния вероятности. Субъективные вероятности оцениваются на индивидуальных знаниях, прошлом опыте и наблюдениях за текущими переменными, которые, возможно, влияют на результат буду­щих событий. Поэтому маловероятно, что такие вероятности могут быть оценены точно, т.е. любые оценки будущих неопределенных событий связаны с субъективными ошибками.

Преимущество этого подхода в том, что он обеспечивает более обоснованную информацию, которая позволяет указать наиболее вероятный исход. Рассмотрим, например, ситуацию, в кото­рой преподавателя спрашивают о том, сдадут ли экзамен студенты А и В. Преподаватель может ответить, что оба студента, как он ожидает, экзамен сдадут. Это оценка преподавателя с точки зрения наиболее вероятного исхода. Однако более предпочтительно использовать в этом случае распределение вероятностей.

26'

404

Раздел третий. Информация для принятия решений

Такое распределение вероятностей требует от преподавателя уточнить степень его уверенности в том, каковы будут возможные результаты будущего события. Понятно, что такая информация более значима, чем простая оценка того, что оба студента, вероятно, сдадут предстоящий экза­мен, поскольку показывает, что вероятность того, что студент А экзамен провалит, мала, в то время как для студента В это вполне возможно. Теперь применим принципы теории вероятно­стей к принятию решений в бизнесе.

Распределение вероятностей и ожидаемые значения

Для менеджеров представление распределения вероятностей для каждого альтернативного ва­рианта действий может дать полезную дополнительную информацию, поскольку такое распреде­ление показывает степень неопределенности, которая существует для каждого из этих вариантов. Распределение вероятностей позволяет менеджерам рассматривать не только возможные прибыли (вознаграждения) для каждого альтернативного варианта, но и степень неопределенности этого варианта. Рассмотрим ситуацию, представленную в примере 12.2.

Пример 12.2

Менеджер рассматривает целесообразность выпуска продукта А или продукта В, причем одновременно может производиться только один из них. Оцениваемый спрос по каждому продукту неизвестен. Подробное исследование возможного спроса по каждому продукту дает следующее распределение вероятностей прибы­ли по каждому из них.

Распределение вероятностей для продукта А

(1) Исход (2) Оцениваемая (3) Взвешенное значение

вероятность (гр. 1 ■ гр. 2), £

Прибыль в £6000 0,10 600

Прибыль в £7000 0,20 1400

Прибыль в £8000 0,40 3200

Прибыль в £9000 0,20 1800

Прибыль в £10 000 0J0 1000

1.00

Ожидаемое значение 8000

Распределение вероятностей для продукта В

(1) Исход (2) Оцениваемая (3) Взвешенное значение

вероятность (гр. 1 • гр. 2), £

Прибыль в £4000 0^05 200

Прибыль в £6000 0,10 600

Прибыль в £8000 0,40 3200

Прибыль в £10000 0,25 2500

Прибыль в £12000 (L2Q 2400

1.00

Ожидаемое значение 8900

Какой продукт компании выгоднее выпускать?

12. Принятие решений в условиях риска и неопределенности 405

Из распределений вероятностей, показанных в примере 12.2, видно, что существует один шанс из десяти, что прибыль для продукта А составит £6000 и четыре шанса из десяти, что она будет £8000. Более полезный способ анализа распределения вероятностей связан с тем, что ком­пания по продукту А получит прибыль £8000 или меньше в семи случаях из 10. Эта цифра полу­чается сложением вероятностей для прибыли в £6000, £7000 и £8000. Аналогично можно показать, что у компании вероятность получения прибыли в £9000 и больше будет три из десяти.

Ожидаемые значения

Ожидаемое значение (иногда его называют ожидаемым вознаграждением) вычисляется взве­шиванием каждого уровня прибыли (возможного исхода) в примере 12.2 на соответствующую ему вероятность. Сумма этих взвешенных величин называется ожидаемым значением для распределе­ния вероятностей. Другими словами, ожидаемое значение — это взвешенное среднее арифмети­ческое возможных исходов. Для продуктов А и В ожидаемые значения в £8000 и в £8900 опреде­ляются с учетом не единственного варианта развития событий (единственной наиболее вероятной оценки), а диапазона возможных исходов. Например, единственная наиболее вероятная оценка — это уровень прибыли, который компания получит с наибольшей вероятностью. Для обоих про­дуктов в примере 12.2 наиболее вероятной оценкой является прибыль в £8000, которая показыва­ет, что в этом отношении компании безразлично, какую продукцию выпускать. Однако при вы­числении ожидаемых значений учитывается вероятность того, что могут быть разные исходы, и взвешиваются эти вероятности с точки зрения их фактической реализуемости. Взвешенные вы­числения показывают, что в будущем продукт В с большей вероятностью принесет компании бо­лее высокую среднюю прибыль.

Ожидаемое значение конкретного решения отражает долгосрочный средний исход, который скорее всего произойдет, если анализируемый вариант действий будет выбираться много раз. На­пример, если решение выпускать продукты А и В повторить, скажем, 100 раз, то можно ожидать, что средняя прибыль от продукта А составит £8000, а от продукта В — £8900. Ожидаемые значе­ния — это средние результаты возможных исходов, получаемые на основе менеджерских оценок. Но нет никаких гарантий, что фактические исходы будут равны ожидаемым. Действительно, ожидаемое значение для продукта В в распределении вероятностей как таковое не показано.

Измерение степени неопределенности

Помимо ожидаемых значений прибыли для различных альтернативных вариантов менеджеров также интересует степень неопределенности ожидаемых будущих прибылей. Например, предпо­ложим, что появилась возможность для еще одного варианта действий, т.е. если вернуться к при­меру 12.2, то теперь можно выпускать и продукт С. В этом случае распределение вероятностей

Продукт С имеет более высокое ожидаемое значение, чем продукты А и В, но маловероятно, что менеджеры предпочтут продукт С продукту В: слишком высока у него изменчивость возмож­ных исходов. Другими словами, у продукта С более высокая степень неопределенности.

Раздел третий. Информация для принятия решений

Удобным показателем отклонения распределения вероятностей является стандартное откло­нение. Это (а) — квадратный корень из среднеквадратического ожидаемого значения, вычисля­ется по формуле:

гдеА - результат при конкретном уровне прибыли;

А- ожидаемое или среднее значение;

Р_х — вероятность каждого исхода;

л — общее число возможных вариантов; суммирование осуществляется по всем возможным вариантам.

Квадрат среднеквадратического отклонения (а ) известен как статистическая дисперсия рас­пределения и не должен смешиваться с отклонением от сметных или нормативных издержек, ко­торые рассмотрены в последующих главах. Вычисления среднеквадратических отклонений для продуктов А и В из примера 12.2 показаны в табл. 12.1.

Таблица 12.1. Вычисление среднеквадратических отклонений

12. Принятие решений в условиях риска и неопределенности

407

Сравнивать среднеквадратические отклонения двух распределений вероятностей с различны­ми ожидаемыми значениями напрямую нельзя. Почему? Чтобы разобраться в этом, рассмотрим распределение вероятностей для другого продукта, например D.

Распределение вероятностей для продукта D

(1)	(2)
Исход	Оцениваемая
	вероятность
Прибыль в £40 000	0,05
Прибыль в £60 000	0,10
Прибыль в £80 000	0,40
Прибыль в £100 000	0,25
Прибыль в £120 000	0,20

(3)

Взвешенное значение

(гр. 1-гр. 2), £

2000

6000

32 000

25 000

24 000

Ожидаемое значение 89 000

Среднеквадратическое отклонение для продукта D равно £21 424, хотя во всех возможных ис­ходах результат в 10 раз больше соответствующих исходов для продукта В. Исходы для продукта D имеют такой же тип распределения вероятностей, как и для продукта В, и можно бы предпо­ложить, что и риск, связанный с этими двумя продуктами, будет одинаковым. Но среднеквадра­тическое отклонение у продукта D в 10 раз больше, чем у продукта В. Этот эффект масштаба мо­жет быть устранен при помощи замены среднеквадратического отклонения относительным пока­зателем дисперсии. Относительный показатель дисперсии может быть выражен коэффициентом вариации, который представляет собой среднеквадратическое отклонение, деленное на ожидаемое значение. Коэффициент вариации для продукта В равен 2142, 40 / 8900 = 0,241 (или 24,1%), а для продукта D — также 0,241 (21 424 / 89 000), что указывает на то, что для обоих продуктов от­носительное значение дисперсии является одинаковым.

В ходе проведенных рассуждений до сих пор риск определялся в единицах разброса возмож­ных исходов, т.е. риск может быть большим даже в том случае, если все возможные исходы свя­заны с получением высокой прибыли. Однако риск, присущий возможным прибылям или убыт­кам, полученный при другом варианте действий, является не дисперсией как таковой, а прежде всего вероятностью того, что отклонения будут ниже ожидаемого значения. В данном случае ли­цо, принимающее решение, вряд ли станет рассматривать большие возможные отклонения, пре­вышающие ожидаемое значение, как нежелательные (поскольку тогда просто прибыль будет больше). Рассмотрим следующие распределения вероятностей:

Распределение вероятностей для продукта X

408

Раздел третий. Информация для принятия решений

Среднеквадратические отклонения составляют £1342 для продукта X и £2227 — для Y, что дает значения коэффициентов вариации соответственно 0,19 (X) и 0,28 (Y). Эти показатели свидетель­ствуют о том, что оценки для продукта Y подвержены большей изменчивости, однако скорее всего продукт X относится к категории с более высоким риском, так как вероятность того, что прибыль будет ниже £7000 (ожидаемое значение X), равна 0,4 для X и 0,2 — для Y. Понятно, что среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации не являются совершенными показа­телями риска, однако математические трудности измерения того, что эти отклонения ниже по величине ожидаемого значения, обычно очень значительны, если не говорить о самых простых случаях. Можно сказать, что ожидаемые значения, среднеквадратические отклонения и коэффи­циенты вариации используются для выражения обобщенных характеристик альтернативных вари­антов действий, но сами по себе являются плохими заменителями для представления распределе­ний вероятностей, так как не дают лицу, принимающему решение, всей релевантной информа­ции. Поэтому появляется аргумент, чтобы предоставлять лицу, принимающему решение, непо­средственно все распределение вероятностей. Такой подход вполне пригоден, когда менеджеры могут выбирать из небольшого числа альтернативных вариантов, но в ситуациях, когда вариантов возможных действий, которые необходимо рассмотреть, очень много; анализ многих распределе­ний вероятностей скорее всего будет трудным и потребует много времени. В этих условиях у ме­неджеров может не оказаться большого выбора с точки зрения применяемых методов, и им ни­чего не останется, кроме сравнения ожидаемых значений и коэффициентов вариации.

Отношение к риску отдельных людей

Как определить, является выбранный вариант действий рискованным или нет? Ответ на этот вопрос зависит от отношения к риску лица, принимающего решение. Можно выделить три воз­можных отношения к риску: отрицательное, положительное и нейтральное. Рассмотрим два вари­анта — А и В, которые характеризуются следующими возможными исходами в зависимости от состояния экономики (т.е. внешними условиями).

Возможные поступления

Состояние экономики А, £ В, £

Спад 90 0

Нормальные условия 100 100

Бум 110 200

Если предположить, что три возможных состояния экономики равновероятны, то ожидаемое значение для каждого варианта составляет £100. Лицо, положительно относящееся к риску, — это тот человек, который при выборе между вариантами с различными степенями риска при одина­ковых ожидаемых значениях, предпочитает более рискованный вариант (В). В тех же условиях лицо, отрицательно относящееся к риску, выбирает наименее рискованный вариант вариант (А). Лицо, безразличное к риску (нейтральное), может выбрать любой из двух вариантов, поскольку у них одно и то же ожидаемое значение. Если говорить об инвесторах в целом, то исследования рынков ценных бумаг убедительно свидетельствуют, что большинство из инвесторов относятся к категории лиц, положительно относящихся к риску.

Рассмотрим, насколько полезны вычисления ожидаемых значений для выбора между альтер­нативными вариантами действий. Как выше сказано, ожидаемые значения представляют собой долгосрочные средние показатели, но решения не должны приниматься только на их значениях, поскольку это не позволяет учитывать отношение к риску лица, принимающего решение. Рас-

12, Принятие решений в условиях риско и неопределенности

409

смотрим, например, ситуацию, когда два человека подбрасывают монетки и проигравший отдает победителю £5000. Ожидаемое значение для игрока, который ставит на «орла», следующее:

Исход

Денежные поступления,£

Вероятность

Взвешенное значение, £

Орел Решка

+5000 0,5 +2,500

-5000 0,5 -2,500

Ожидаемое значение 0

Ожидаемое значение в этом примере равняется нулю, но если игра состоится, то фактический ее исход будет не нулевым. Вычисление ожидаемого значения представляет средний исход только в том случае, если игра повторится в течение многих раз. Но если игра будет сыграна только раз, то маловероятно, что какой-то игрок сочтет, что вычисленное ожидаемое значение с точки зре­ния принимаемого решения окажется для него полезной информацией. Фактически вычисленное ожидаемое значение исходит в данном случае из того, что каждый игрок безразлично относится к результатам игры, а это может быть только в том случае, если оба игрока к риску нейтральны. А игрок, отрицательно относящийся к риску, посчитает, что эта игра для него непривлекательна. Поскольку большинство менеджеров в бизнесе скорее всего не могут быть отнесены к категории людей, которые относятся к риску нейтрально, и поскольку решения в бизнесе редко повторяют­ся, принимать решения только на основе ожидаемых значений было бы неразумно. По крайней мере необходимо дополнить их измерениями дисперсии, и там, где возможно, решения должны приниматься после сравнения распределения вероятностей при различных альтернативных вари­антах действий.

Анализ дерева решений

В примерах, приведенных выше в этой главе, принималось допущение, что размер прибылей является неопределенным из-за неопределенности спроса. На практике неопределенными могут быть более чем одна переменная (например, реализация и затраты), и при этом значения не­скольких переменных могут зависеть от значений других переменных. В результате этого могут быть самые различные исходы, причем результаты одних исходов могут зависеть от предыдущих исходов. Полезным аналитическим инструментом для установления диапазона возможных вари­антов действий и их возможных численных результатов является дерево решений.

Дерево решений — это диаграмма, показывающая несколько возможных вариантов действий и возможных событий, а также потенциальные исходы для каждого варианта действий. Здесь ка­ждый вариант действий или события представлен отдельной ветвью, которая ведет к последую­щим ветвям, отражающим дальнейшие действия или возможные события. Дерево решений стро­ится так, чтобы показать полный диапазон альтернатив и событий, которые могут произойти при всех анализируемых условиях. Ценность дерева решений определяется возможностью провести с его помощью логический анализ, позволяющий выбрать полную стратегию, учитывающую все возможные варианты до того, как компания выберет один из них. Рассмотрим пример 12.3 и вос­пользуемся им, чтобы показать, как дерево решений может применяться для принятия решений в условиях неопределенности.

Пример 12.3

Компания рассматривает, целесообразно ли ей разрабатывать новый продукт и выходить с ним на ры­нок. Затраты на разработку оцениваются в размере £180 000, и существует вероятность 0,75, что разработки

410

Раздел третий. Информация для принятия решен

будут успешными и 0,25 — что окончатся неудачей. Если разработки будут успешными, продукт будет выве­ден на рынок и при этом существуют следующие оценки:

1. если продукт будет очень успешным, прибыль составит £540 000;

2. если продукт будет средне успешным, прибыль составит £100 000;

3. если продукт «провалится», убытки составят £400 000. Каждое из приведенных выше вычислений прибыли и убытков сделано с учетом затрат на разработку

размере £180 000. Оцениваемые вероятности для каждого из указанных выше событий следующие:

1. Высокая успешность

2. Средняя успешность

3. Провал

0,4 0,3 0,3

Рис. 12.3. Простое дерево решений

Дерево решений для примера 12.3 показано на рис. 12.3. Квадраты указывают точки, в кото­рых решения должны приниматься, а ветви, исходящие из них, указывают на возможные вариан­ты действий. Кружочки — это точки, в которых происходят изменения в условиях, влияющие на последствия от предьщущих решений. Ветви, выходящие из этих точек, указывают на возможные типы состояния окружающей среды (внешние условия).

12. Принятие решений в условиях риска и неопределенности 411

Совместная вероятность двух событий, происходящих вместе, — это вероятность одного собы­тия, умноженная на вероятность другого события. Например, вероятность того, что разработка окончится успехом и что продукт будет принят на рынке очень успешно, равна 0,75 • 0,4, что дает вероятность 0,3. Аналогично вероятность того, что разработка окончится успехом и что продукт будет принят на рынке достаточно (средне) успешно, равна 0,75 • 0,3, что дает вероятность 0,225. Общее ожидаемое значение в отношении решения о разработке продукта равно сумме всех эле­ментов, входящих в графу для ожидаемых значений по ветви «Разработка продукта» дерева реше­ний и составляет £49 500. Если мы примем допущение, что других альтернативных вариантов, кроме решения не заниматься указанной разработкой, нет, то ожидаемое значение в £49 500 для разработки продукта можно сравнить с ожидаемым значением в £0 для варианта не заниматься разработкой. Если следовать теории решений, то заняться разработкой продукта целесообразно, так как в этом случае ожидаемое значение является величиной положительной. Однако это со­всем не означает, что прибыль в £49 500 является гарантированной. Вычисления ожидаемого зна­чения только показывают, что если вероятности событий заданы правильно и что если это реше­ние будет повторено много раз, то средний размер прибыли составит £49 500.

К сожалению, решения в данном случае не будут повторяться много раз, и несколько после­довательно понесенных убытков могут заставить компанию выйти из бизнеса до того, как у нее появится возможность повторить прежнее решение. Поэтому менеджеры при принятии решения о разработке продукта могут предпочесть изучение следующего распределения вероятностей:

Исход Вероятность

Убытки в £400 000 0,225

Убытки в £180 000 0,25

Прибыль в £100 000 0,225

Прибыль в £540 000 0,30

После изучения этой информации менеджеры могут решить, что данный проект слишком рискованный, поскольку вероятность убытков близка к 0,5.

Таким образом, дерево решений является удобным способом идентификации всех возможных альтернативных вариантов действий и их взаимозависимостей. Этот подход особенно полезен при установлении распределения вероятностей, когда возможно большое число комбинаций событий.

Анализ «затраты—выход продукции—прибыль» в условиях неопределенности

В гл. 8 при обсуждении возможностей анализа ЗВП мы исходили из единичных оценок, т.е. допускали, что все затраты и поступления известны наверняка. Понятно, что такое допущение не реалистично, и поэтому традиционная модель ЗВП является неполной из-за того, что в нее не включены риск и неопределенность. Вы, возможно, уже обратили внимание, что некоторые ана­литики расширили анализ ЗВП, чтобы он позволил включать в эту модель параметр неопреде­ленности. Однако на этом этапе мы не будем рассматривать анализ ЗВП и неопределенности, поскольку цель этой главы — объяснить в целом, каким образом учет неопределенности может

412

Раздел третий. Информация для принятия решений

быть встроен в модели принятия решения. Анализ ЗВП в условиях неопределенности рассматри­вается в приложении к этой главе.

Приобретение абсолютной и относительной информации

Когда лицо, принимающее решение, сталкивается с рядом неопределенных событий, которые могут произойти, оно должно рассмотреть возможность получения дополнительной информации о том, в какой степени вероятно каждое из этих событий. В этом параграфе рассматривается, как можно вычислить максимальную цену, которую целесообразно заплатить за получение дополни­тельной информации из анализируемого источника данных. Подход, которым мы здесь восполь­зуемся, позволяет сравнить ожидаемое значение анализируемого решения, когда такая информа­ция приобретается, и ожидаемое значение в отсутствии этой информации. Разница между ними и представляет ту максимальную цену, которую можно заплатить за дополнительную информацию. Рассмотрим пример 12.4.

Пример 12.4

Boston Company должна выбрать между двумя типами оборудования: оборудование А имеет низкие по­стоянные издержки и высокие переменные издержки на единицу продукции, в то время как у оборудования В постоянные издержки высокие, а переменные издержки на единицу продукции низкие. Соответственно оборудование А более подходит для низкого спроса, а В — для высокого. Для простоты рассмотрения пред­положим, что существуют только два возможных уровня спроса: низкий и высокий и что ожидаемая веро­ятность каждого из них равна 0,5. Оценки прибыли для каждого уровня спроса следующие:

Низкий спрос, £ Высокий спрос, £ Ожидаемое значение, £

Оборудование А 100 000 160 000 130 000 Оборудование В 10 000 200 000 105 000

Компания может пригласить консультантов по рынку, которые смогут точно вычислить фактический спрос. Сколько денег компания может заплатить консультантам за дополнительную информацию?

Без наличия дополнительной информации, исходя из правила принятия решений на основе ожидаемого значения, будет приобретено оборудование А. Если у компании будет дополнитель­ная информация, то она более точно будет знать уровень спроса и мощность оборудования, кото­рая может быть сопоставлена с уровнем спроса. Следовательно, если прогнозируемый спрос ока­жется низким, компания приобретет оборудование А, а если высоким — оборудование В. Уточ­ненное ожидаемое значение:

(0,5 • £100 000) + (0,5 • £200 000) = £150 000.

Из этого выражения можно видеть, что ожидаемое значение вычисляется за счет учета самой высокой прибыли для низкого и для высокого спроса. Когда рассматривается решение о пригла­шении консультантов, руководство компании не знает, какой уровень спроса будет ими спрогно­зирован. Следовательно, наилучшей оценкой от получения дополнительной информации являет­ся вероятность 0,5, что консультанты спрогнозируют низкий спрос, и вероятность 0,5, что он бу­дет высокий. (Это вероятности, которые в настоящее время соответствуют низкому и высокому спросу).

Значение дополнительной информации уточняется при помощи вычитания ожидаемого значения, полученного без проведения рыночного обзора (£130 000), из ожидаемого значения, полученного по-

12, Принятие решений в условиях риска и неопределенности

413

еле проведения рыночного обзора (£150 000). Таким образом, наличие дополнительной информации повышает ожидаемое значение с £130 000 до £150 000 и называется ожидаемым значением абсолютной информации, которая в данном случае равна £20 000. Отсюда вывод: до тех пор пока получение до­полнительной информации меньше £20 000, компании целесообразно приглашать консультантов по рынку.

В приведенном примере предполагалось, что дополнительная информация позволит спрогно­зировать ожидаемый спрос с вероятностью 100%. На практике получение абсолютной информа­ции маловероятно, но тем не менее вполне может быть оправданным и получение относительной информации (например, прогноз будущего спроса может быть надежным только на 80%). Конеч­но, ценность такой информации всегда меньше ценности абсолютной информации, за исключе­нием тех случаев, когда они обе нулевые. Такое может случиться, если дополнительная информа­ция никак не повлияет на принимаемое решение. Принципы, используемые для вычисления зна­чимости относительной информации, те же самые, которые мы применяли для вычисления зна­чимости абсолютной информации, но здесь эти вычисления более сложны. В качестве примера см. работу Скапенза (Scapens, 1991).

Критерии максимин, максимакс и сожаления

В некоторых ситуациях получить обоснованные оценки вероятностей возможных исходов не­возможно. Если ситуация складывается таким образом, менеджеры могут воспользоваться сле­дующими критериями для принятия решений: максимин, максимакс и сожаления.

Критерий максимин предполагает допущение, что исходом анализируемого процесса будет са­мый плохой вариант, и поэтому лицо, принимающее решение, должно выбирать при этом допуще­нии вознаграждение, наиболее низкое из всех возможных. Рассмотрим Boston Company из примера 12.4. Из приведенных данных видно, что наихудшими исходами являются: £100 000 для оборудова­ния А и £10 000 для оборудования В. Соответственно пользуясь критерием максимин, следует при­обретать оборудование А.

Критерий максимакс противоположен критерию максимин и основывается на допущении, что ре­зультатом будет самое высокое вознаграждение. Если обратиться снова к данным примера 12.4, самые высокие значения прибыли равны £160 000 для оборудования А и £200 000 для оборудования В. Поэтому, исходя из критерия максимакса, компания должна приобрести оборудование В.

Критерий сожаления исходит из того факта, что лицо, принимающее решение, будет сожалеть, что не выбрало другой вариант, когда у него была такая возможность, если выбранный им вари­ант не оказался лучшим. Таким образом, для данных примера 12.4 оборудование В было выбрано из допущения, что будет иметь место высокий уровень спроса, и если действительно уровень спроса будет высоким, компания не будет сожалеть о сделанном ею выборе. Но если было вы­брано оборудование А, то компания потеряет £40 000 (£200 000 минус £160 000). Именно эта цифра отражает в численном виде степень сожаления о неправильном выборе. Аналогично если было выбрано оборудование А на допущении, что спрос будет низким, и именно такой спрос оказался на самом деле, компания не будет сожалеть о своем решении. Но если было выбрано оборудование В, то сожаление в численном виде составит £90 000 (£100 000 минус £10 000). Эта информация в обобщенном виде может быть представлена как матрица сожаления:

Внешние условия

Низкий спрос, £ Высокий спрос, £

Выбор оборудования АО 40 000

Выбор оборудования В 90 000 0

414

Раздел третий. Информация для принятия решений

Цель критерия сожаления — минимизировать максимальную величину возможного сожале­ния. Для рассматриваемого примера максимальное сожаление при приобретении оборудования А составляет £40 000, а для оборудования В — £90 000. Следовательно, если компания будет прини­мать решение, основываясь на этом критерии, то она выберет оборудование А.

Анализ портфеля

Для компании было бы неразумным инвестировать все свои деньги в единый продукт, по­скольку всегда есть вероятность наступления неблагоприятных событий, связанных с этим про­дуктом, которые могут отрицательно повлиять на планы компании и ее финансовое положение. Для компании оптимальнее инвестировать в несколько различных проектов. Если она будет сле­довать этой стратегии, неблагоприятное стечение обстоятельств, которое отрицательно влияет на один проект, возможно, скажется менее заметно на других проектах, и поэтому общее финансо­вое положение компании пострадает меньше. Другими словами, если все это выразить на уровне народной мудрости, можно сказать, что компании не следует класть все яйца в одну корзину, а надо стараться минимизировать риск, распределяя инвестиции по нескольким корзинам, кото­рыми в этом случае являются различные проекты.

Набор инвестиций, имеющихся у отдельного инвестора, или комбинация проектов, в которые вкладывает компания, в экономической теории называется портфелем. При выборе портфеля ос­новная цель заключается в том, чтобы добиться наиболее желательных характеристик с точки зрения риска и ожидаемых поступлений. Рассмотрим пример 12.5. Из него можно увидеть, что как для существующего вида деятельности (производство зонтиков), так и для предложенного нового проекта (производство мороженого), если эти направления рассматривать по отдельности, имеются риски, но при объединении этих проектов указанные риски устраняются, потому что при любом исходе поток поступления денежных средств составляет £20 000. Пример 12.5 свидетельствует, что можно рассматривать не только риски отдельных проектов, но и учиты­вать, каким образом риски потенциальных новых проектов и уже существующих видов деятель­ности оказываются взаимосвязанными. В примере 12.5 риск полностью устраняется, поскольку между потоками поступлений от предлагаемого вида деятельности и потока деятельности от су­ществующего вида деятельности корреляция является полной и отрицательной (коэффициент корреляции равен —1). Если потоки денежных средств коррелируют между собой полностью и положительно (коэффициент корреляции равен +1), при любой комбинации проектов снижения риска добиться нельзя. Для всех других значений коэффициента корреляции можно получить преимущество за счет снижения рисков при помощи инвестиции в проекты, которые не абсо­лютно коррелированны с существующими видами деятельности:

Пример 12.5

^=^SS5S II

Компания, которая в настоящее время выпускает зонтики, рассматривает возможность диверсификации своей деятельности и инвестирования в производство мороженого. Прогнозы потоков поступлений денеж-

12. Принятие решений в условиях риска и неопределенности

415

Для упрощения примера будем исходить из допущения, что возможны только два состояния внешних условий (дождь и солнце) и что вероятность каждого из них равна 0,5.

Важнейший вывод, который следует сделать из приведенного выше обсуждения, заключается в том, что не следует рассматривать риск отдельных проектов изолированно, целесообразно ана­лизировать приростной (дополнительный) риск, который каждый проект вносит в общий риск компании.

Более сложный пример

Рассмотрим пример 12.6, в котором показано применение принципов, описанных в этой главе, для более сложной ситуации, имеющей отношение к принятию решения об установлении цены на продук­цию. Чтобы упростить анализ, предположим, что будут рассматриваться только три цены реализации и что неопределенными являются только спрос и переменные издержки. Сначала обратимся к примеру 12.6, а затем перейдем к дереву решений, показанному на рис. 12.4.

Пример 12.6

Компания Sigma вводит на рынок новый продукт. Компания провела рыночные исследования и про­анализировала цены реализации аналогичных типов продукции, предлагаемых в настоящее время конкурен­тами. Полученная информация позволяет предположить, что подходящими ценами реализации могут быть £18, £19 и £20 за единицу. Компания намеревается взять в аренду оборудование для производства продукта со стоимостью в £200 000 в год, но если годовой выпуск превысит 60 000 ед., то потребуется брать в аренду второй комплект оборудования, за который придется платить £80 000 в год. Ожидается, что переменные из­держки составят либо £5, либо £б на единицу выпущенной продукции, что зависит от результатов перегово­ров с поставщиками. Отдел проведения рыночных исследований получил следующие оценки спроса на про­дукт при каждой возможной цене реализации. Полученные оценки основаны на трех вариантах прогнозов: пессимистическом, наиболее вероятном и оптимистическом, каждому из которых присвоены субъективные значения вероятности. Эти оценки следующие:

Вероятности для переменных издержек на единицу продукции составляют 0,6 для издержек в £5 и 0,4 — для £6. Компания также заключила контракт о проведении рекламной кампании, которая обойдется ей в £40 000 в год.

Анализ табл. 12.2 показывает, что менеджерам было бы целесообразно не выбирать цену реализации в £20, поскольку при этой цене ожидаемое значение является самым низким. Распределение вероятностей для цены реализации в £20 также показывает, что вероятность того, что вклад в прибыль будет £210 000 и меньше, равна 0,40 в сравнении с нулевой вероятностью такого исхода при цене реализации в £18 или £19.

Однако может быть полезно представить наиболее характерную информацию менеджерам, которая поможет им решить, следует выбирать цену реализации в £18 или £19.

Рис. 12.4. Дерево решений и распределение вероятностей для различных цен реализации

12. Принятие решений в условиях риска и неопределенности

417

Таким образом, выбор между ценой реализации в £18 и £19 дает маленькую разницу, однако цена в £19 кажется немного более привлекательной. Существуют убедительные аргументы для предоставления менеджерам всей информации, содержащейся в табл. 12.2, плюс всей значимой информации, представ­ленной выше для цен реализации в £18 и £19. Это позволит менеджерам выбрать цену реализации с рас­пределением вероятности, которая в наибольшей степени соответствует их отношению к риску. Важно отметить, однако, что если используется подход на основе единственной стоимостной оценки, в котором игнорируется диапазон возможных исходов, то менеджерам представят вычисления вклада в прибьшь на основе наиболее вероятных исходов, т.е. тех переменных, которые имеют наиболее высокую вероятность, приписываемую им.

Наиболее вероятные значения спроса и переменных издержек на единицу продукции, следовательно, будут таковы:

Цена реализации, £

Спрос, ед.

Переменные издержки на ед.

18	80 000	5
19	70 000	5
20	60 000	5

Вклад в прибыль к общим постоянным издержкам для большинства возможных исходов можно полу­чить из исходов 3, 9 и 15 из дерева решений (рис. 12.4). Они следующие:

Цена реализации в £18 Цена реализации в £19 Цена реализации в £20

Общий вклад в прибыль £720 000 Общий вклад в прибьшь £660 000 Общий вклад в прибьшь £660 000

Как видим, при подходе на основе единственной стоимостной оценки выдается информация, вводя­щая пользователей ею в заблуждение. Создается впечатление, что цена реализации в £20 должна анализи-

27 Управленческий и производственный учет

418 Раздел третий. Информация для принятия решений

решаться серьезным образом и что самый высокий вклад в прибыль получается при цене реализации в £18. Следовательно, подход на основе ожидаемого значения и распределения вероятностей обеспечивает более полную картину и показывает, что менеджерам не нужно рассматривать цену реализации в £20. Более того, как показано в этом случае, цена реализации в £19, если учитывать все возможные итоги, оказывается немного предпочтительнее цены в £18.

При анализе результатов примера 12.6 следует также обратить внимание на то, что здесь имеются только две переменные с неопределенными значениями: спрос и переменные издержки на единицу про­дукции. На практике неопределенными могут быть несколько переменных, что ведет к появлению дерева решений, у которого сотни ветвей, а это вызывает сложности при вычислении распределения вероятно­стей вручную. В гл. 14 показано, как эта трудность может быть преодолена при помощи компьютера и приемов моделирования.

Вопросы для самопроверки

Прежде чем посмотреть ответ на с. 1018—1020, попытайтесь ответить самостоятельно. Если окажется, что какая-то часть вашего ответа неправильна, внимательно подумайте, где вы совершили ошибку и почему.

Компания Central Ltd разработала новый продукт и в настоящее время рассматривает маркетинговую и ценовую политики, которые она будет применять в отношении него. Особое внимание она уделяет тому, следует ли цену реализации установить на низком уровне — £15 за единицу продукции — или на высоком — £24. Ниже показаны объемы реализации при этих двух ценах.