- •1 Grundlagen
- •1.1 Logik und Mengen
- •1.1.1 Aussagenlogik
- •1.1.2 Mengen
- •1.2 Zahlen
- •1.2.1 Natürliche Zahlen
- •1.2.2 Ganze Zahlen
- •1.2.3 Rationale Zahlen
- •1.2.4 Reelle Zahlen
- •1.2.5 Ordnung
- •1.2.6 Intervalle
- •1.2.7 Betrag und Signum
- •1.2.8 Summe und Produkt
- •1.3 Potenz und Wurzel
- •1.3.1 Potenzen
- •1.3.2 Potenzgesetze
- •1.3.3 Wurzeln
- •1.3.4 Binomischer Satz
- •1.4 Trigonometrie
- •1.4.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
- •1.5 Gleichungen und Ungleichungen
- •1.5.1 Lineare Gleichungen
- •1.5.2 Potenzgleichungen
- •1.5.3 Quadratische Gleichungen
- •1.5.4 Wurzelgleichungen
- •1.5.5 Ungleichungen
- •1.6 Beweise
- •1.6.1 Direkter Beweis
- •1.6.2 Indirekter Beweis
- •1.6.3 Konstruktiver Beweis
- •1.6.4 Vollständige Induktion
- •1.7 Aufgaben
- •2 Lineare Gleichungssysteme
- •2.1 Einführung
- •2.2 Gauß-Algorithmus
- •2.2.1 Äquivalenzumformungen
- •2.2.2 Vorwärtselimination
- •2.2.3 Rückwärtseinsetzen
- •2.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren
- •2.2.5 Rechenschema
- •2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme
- •2.3.1 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung
- •2.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen
- •2.3.3 Systeme mit redundanten Gleichungen
- •2.3.4 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme
- •2.3.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
- •2.3.6 Homogene lineare Gleichungssysteme
- •2.3.7 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern
- •2.4 Numerische Verfahren
- •2.4.1 Jakobi-Iteration
- •2.4.2 Gauß-Seidel-Iteration
- •2.5 Anwendungen
- •2.5.1 Produktion
- •2.5.2 Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik
- •2.6 Aufgaben
- •3 Vektoren
- •3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten
- •3.2.1 Addition und Subtraktion
- •3.2.2 Skalare Multiplikation
- •3.2.3 Skalarprodukt
- •3.2.4 Vektorprodukt
- •3.2.5 Spatprodukt
- •3.2.6 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung
- •3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung
- •3.3.1 Koordinatendarstellung
- •3.3.2 Addition und Subtraktion
- •3.3.3 Skalare Multiplikation
- •3.3.4 Skalarprodukt
- •3.3.5 Vektorprodukt
- •3.3.6 Spatprodukt
- •3.3.7 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung
- •3.4 Punkte, Geraden und Ebenen
- •3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem
- •3.4.2 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen
- •3.4.3 Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen
- •3.4.4 Schnitte von Geraden und Ebenen
- •3.4.5 Abstände
- •3.4.6 Winkel
- •3.5 Anwendungen
- •3.5.1 Kraft
- •3.5.2 Arbeit
- •3.5.3 Drehmoment
- •3.6 Aufgaben
- •4 Matrizen
- •4.2 Rechnen mit Matrizen
- •4.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation
- •4.2.2 Multiplikation von Matrizen
- •4.3 Determinanten
- •4.3.1 Determinante einer (2,2)-Matrix
- •4.3.2 Determinante einer (3,3)-Matrix
- •4.3.3 Determinante einer (n,n)-Matrix
- •4.4 Inverse Matrix
- •4.4.1 Invertierbare Matrizen
- •4.4.2 Inverse einer (2,2)-Matrix
- •4.4.3 Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem
- •4.5 Lineare Abbildungen
- •4.5.1 Matrizen als Abbildungen
- •4.5.2 Kern, Bild und Rang
- •4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
- •4.7 Numerische Verfahren
- •4.7.1 Potenzmethode
- •4.8 Anwendungen
- •4.9 Aufgaben
- •5 Funktionen
- •5.1 Einführung
- •5.1.2 Wertetabelle
- •5.1.3 Schaubild
- •5.1.4 Explizite und implizite Darstellung
- •5.1.6 Funktionsschar
- •5.1.7 Verkettung von Funktionen
- •5.2 Polynome und rationale Funktionen
- •5.2.1 Potenzfunktionen mit ganzen Hochzahlen
- •5.2.2 Polynome
- •5.2.3 Gebrochenrationale Funktionen
- •5.3 Eigenschaften
- •5.3.1 Symmetrie
- •5.3.2 Periode
- •5.3.3 Monotonie
- •5.3.4 Beschränktheit
- •5.4 Sinus, Kosinus und Tangens
- •5.4.2 Eigenschaften
- •5.5 Grenzwert und Stetigkeit
- •5.5.1 Zahlenfolgen
- •5.5.2 Grenzwert einer Funktion
- •5.5.3 Stetigkeit
- •5.5.4 Asymptotisches Verhalten
- •5.6.1 Exponentialfunktionen
- •5.6.2 Die e-Funktion
- •5.6.3 Hyperbelfunktionen
- •5.7 Umkehrfunktionen
- •5.7.1 Das Prinzip der Umkehrfunktion
- •5.7.2 Wurzelfunktionen
- •5.7.3 Arkusfunktionen
- •5.7.4 Logarithmusfunktionen
- •5.7.5 Area-Funktionen
- •5.8 Numerische Verfahren
- •5.8.1 Berechnung von Funktionswerten
- •5.8.2 Bisektionsverfahren
- •5.9 Anwendungen
- •5.9.1 Messwerte
- •5.9.2 Industrieroboter
- •5.10 Aufgaben
- •6.1 Steigung und Ableitungsfunktion
- •6.1.3 Ableitungsfunktion
- •6.1.5 Höhere Ableitungen
- •6.2 Ableitungstechnik
- •6.2.1 Ableitungsregeln
- •6.2.2 Ableitung der Umkehrfunktion
- •6.2.5 Zusammenfassung
- •6.3 Regel von Bernoulli-de l’Hospital
- •6.4 Geometrische Bedeutung der Ableitungen
- •6.4.1 Neigungswinkel und Schnittwinkel
- •6.4.2 Monotonie
- •6.4.3 Krümmung
- •6.4.4 Lokale Extrema
- •6.4.5 Wendepunkte
- •6.4.6 Globale Extrema
- •6.5 Numerische Verfahren
- •6.5.2 Newton-Verfahren
- •6.5.3 Sekantenverfahren
- •6.6 Anwendungen
- •6.6.1 Fehlerrechnung
- •6.6.2 Extremwertaufgaben
- •6.7 Aufgaben
- •7 Integralrechnung
- •7.1 Flächenproblem
- •7.1.1 Integralsymbol
- •7.1.2 Integral als Grenzwert von Summen
- •7.1.3 Bestimmtes Integral
- •7.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral
- •7.2.1 Integralfunktion
- •7.2.2 Stammfunktion
- •7.2.3 Bestimmtes Integral und Stammfunktion
- •7.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung
- •7.3 Integrationstechnik
- •7.3.1 Integrationsregeln
- •7.3.2 Integration durch Substitution
- •7.3.3 Partielle Integration
- •7.3.4 Gebrochenrationale Funktionen
- •7.3.5 Uneigentliche Integrale
- •7.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen
- •7.4.1 Flächeninhalte
- •7.4.2 Bogenlänge
- •7.4.3 Rotationskörper
- •7.5 Numerische Verfahren
- •7.5.1 Trapezregel
- •7.5.2 Romberg-Verfahren
- •7.6 Anwendungen
- •7.6.2 Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen
- •7.7 Aufgaben
- •8 Potenzreihen
- •8.1 Unendliche Reihen
- •8.2 Potenzreihen und Konvergenz
- •8.3 Taylor-Reihen
- •8.4 Eigenschaften
- •8.5 Numerische Verfahren
- •8.5.1 Berechnung von Funktionswerten
- •8.6 Anwendungen
- •8.6.1 Normalverteilung in der Statistik
- •8.7 Aufgaben
- •9 Kurven
- •9.1 Parameterdarstellung
- •9.2 Kegelschnitte
- •9.3 Tangente
- •9.4 Krümmung
- •9.5 Bogenlänge
- •9.6 Numerische Verfahren
- •9.6.1 Bézier-Kurve
- •9.7 Anwendungen
- •9.7.1 Mechanik
- •9.7.2 Straßenbau
- •9.8 Aufgaben
- •10 Funktionen mit mehreren Variablen
- •10.1.2 Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen
- •10.1.3 Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien
- •10.2 Grenzwert und Stetigkeit
- •10.2.1 Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen
- •10.2.2 Stetigkeit
- •10.3.3 Gradient und Richtungsableitung
- •10.3.5 Höhere partielle Ableitungen
- •10.3.6 Extremwerte
- •10.4 Ausgleichsrechnung
- •10.4.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate
- •10.4.2 Ausgleichsrechnung mit Polynomen
- •10.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung
- •10.5 Vektorwertige Funktionen
- •10.6 Numerische Verfahren
- •10.6.1 Mehrdimensionales Newton-Verfahren
- •10.6.2 Gradientenverfahren
- •10.7 Anwendungen
- •10.7.1 Fehlerrechnung
- •10.8 Aufgaben
- •11 Komplexe Zahlen und Funktionen
- •11.1.1 Komplexe Zahlen
- •11.1.2 Gaußsche Zahlenebene
- •11.1.3 Polarkoordinaten
- •11.1.4 Exponentialform
- •11.2 Rechenregeln
- •11.2.1 Gleichheit
- •11.2.2 Addition und Subtraktion
- •11.2.3 Multiplikation und Division
- •11.2.4 Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl
- •11.2.5 Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl
- •11.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome
- •11.3.1 Potenzen
- •11.3.2 Wurzeln
- •11.3.3 Fundamentalsatz der Algebra
- •11.4 Komplexe Funktionen
- •11.4.1 Ortskurven
- •11.4.2 Harmonische Schwingungen
- •11.4.3 Transformationen
- •11.5 Anwendungen
- •11.5.1 Komplexe Wechselstromrechnung
- •11.6 Aufgaben
- •12.1 Einführung
- •12.1.3 Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie
- •12.2.1 Separation der Variablen
- •12.2.2 Lineare Substitution
- •12.3.3 Allgemeine Eigenschaften
- •12.4.1 Allgemeine Form
- •12.4.2 Freie Schwingung
- •12.4.3 Harmonisch angeregte Schwingung
- •12.4.4 Frequenzgänge
- •12.5.1 Eliminationsverfahren
- •12.5.2 Zustandsvariablen
- •12.5.5 Stabilität
- •12.6 Numerische Verfahren
- •12.6.1 Polygonzugverfahren von Euler
- •12.7 Anwendungen
- •12.7.1 Temperaturverlauf
- •12.7.2 Radioaktiver Zerfall
- •12.7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand
- •12.7.4 Feder-Masse-Schwinger
- •12.7.5 Pendel
- •12.7.6 Wechselstromkreise
- •12.8 Aufgaben
- •13 Fourier-Reihen
- •13.1 Fourier-Analyse
- •13.1.1 Periodische Funktionen
- •13.1.2 Trigonometrische Polynome
- •13.1.3 Fourier-Reihe
- •13.1.4 Satz von Fourier
- •13.1.5 Gibbssches Phänomen
- •13.2 Komplexe Darstellung
- •13.2.1 Komplexe Fourier-Reihe
- •13.2.3 Spektrum
- •13.2.4 Minimaleigenschaft
- •13.3 Eigenschaften
- •13.3.1 Symmetrie
- •13.3.2 Integrationsintervall
- •13.3.3 Mittelwert
- •13.3.4 Linearität
- •13.3.5 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
- •13.3.6 Zeitverschiebung
- •13.4 Aufgaben
- •14 Verallgemeinerte Funktionen
- •14.1 Heaviside-Funktion
- •14.2 Dirac-Distribution
- •14.3 Verallgemeinerte Ableitung
- •14.4 Faltung
- •14.5 Aufgaben
- •15 Fourier-Transformation
- •15.1 Integraltransformation
- •15.1.4 Transformation gerader und ungerader Funktionen
- •15.1.5 Darstellung mit Amplitude und Phase
- •15.2 Eigenschaften
- •15.2.1 Linearität
- •15.2.2 Zeitverschiebung
- •15.2.3 Amplitudenmodulation
- •15.2.4 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
- •15.3 Inverse Fourier-Transformation
- •15.3.2 Vertauschungssatz
- •15.3.3 Linearität
- •15.4.3 Multiplikationssatz
- •15.4.5 Faltung
- •15.5 Periodische Funktionen
- •15.5.1 Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe
- •15.5.3 Grenzwertbetrachtung
- •15.6 Anwendungen
- •15.6.1 Lineare zeitinvariante Systeme
- •15.7 Aufgaben
- •16 Laplace-Transformation
- •16.1 Bildbereich
- •16.2 Eigenschaften
- •16.2.1 Linearität
- •16.2.2 Ähnlichkeit
- •16.2.3 Zeitverschiebung
- •16.2.4 Dämpfung
- •16.3.2 Integration
- •16.3.3 Faltung
- •16.3.4 Grenzwerte
- •16.4 Transformation periodischer Funktionen
- •16.5 Rücktransformation
- •16.7 Anwendungen
- •16.7.1 Regelungstechnik
- •16.8 Aufgaben
- •17 z-Transformation
- •17.1 Transformation diskreter Signale
- •17.1.2 z-Transformation und Laplace-Transformation
- •17.2 Eigenschaften
- •17.2.1 Linearität
- •17.2.2 Verschiebung
- •17.2.3 Dämpfung
- •17.4 Anwendungen
- •17.4.1 Zeitkomplexität von Quicksort
- •A Anhang
- •A.1 Ableitungsregeln
- •A.2 Ableitungen
- •A.3 Potenzreihen
- •A.4 Integralregeln
- •A.5 Integrale
- •A.6 Fourier-Reihen
- •A.7 Fourier-Transformationen
- •A.8 Laplace-Transformationen
- •A.9 Griechisches Alphabet
- •A.10 Bedeutende Mathematiker
- •Literaturverzeichnis
- •Sachwortverzeichnis
10.3 Di erenziation |
405 |
Beispiel 10.20 (Implizite Di erenziation)
Wir betrachten nochmals das Beispiel 6.17, in dem die Tangente an den Einheitskreis
x2 + y2 = 1
zu bestimmen war. Die Gleichung in impliziter Form lautet
F (x, y) = x2 + y2 − 1 = 0.
Die partiellen Ableitungen sind Fx(x, y) = 2 x und Fy(x, y) = 2 y. Mit der allgemeinen Kettenregel erhalten wir
|
|
|
F x, y x |
|
x |
|
|
y′ |
( |
x |
Fxy( x, y( x))) |
|
|
. |
Ì |
y |
|||||||
|
) = − |
( ( )) |
= − |
|
|||
Eine weitere Anwendung des Di erenzials ist wie schon bei Funktionen mit einer Variablen die Fehlerrechung. Wir werden diese in Abschnitt 10.7.1 kennenlernen.
10.3.5 Höhere partielle Ableitungen
Wir haben gesehen, dass die partiellen Ableitungen fx und fy einer Funktion f(x, y) ihrerseits wiederum Funktionen desselben Typs wie die Ausgangsfunktion f sind. Nun kann etwa fx seinerseits auch wieder partiell nach x und y abgeleitet werden. Es entsteht also (fx)x = fxx und (fx)y = fxy. Dasselbe gilt für fy.
Beispiel 10.21 (Höhere partielle Ableitungen)
Die Funktion
f(x, y) = e−x cos y
hat die partiellen Ableitungen 1. Ordnung
fx(x, y) = −e−x cos y, fy(x, y) = −e−x sin y,
die partiellen Ableitungen 2. Ordnung
fxx |
x, y |
e−x cos y, |
|
( |
) = |
− |
x sin y, |
fxy(x, y) = |
e |
||
fyy |
x, y |
e−x cos y, |
||
fyx(x, y) = −e |
− |
x sin y |
||
|
( |
) = |
|
|
und die partiellen Ableitungen 3. Ordnung
fxxx |
x, y |
e−x cos y, |
||
fxxy |
(x, y) = −e−x sin y, |
|||
|
( |
) = |
− |
x cos y, |
fxyy(x, y) = −e |
|
|||
fxyx x, y |
e−x sin y, |
||
( |
) = |
− |
x cos y, |
fyxy(x, y) = −e |
|
||
fyyy x, y |
|
e−x sin y, |
||
fxxy(x, y) = |
e−x sin y, |
|||
( |
) = |
|
− |
x cos y. |
fyyx(x, y) = −e |
|
|||
Die partiellen Ableitungen fxy und fyx sind gleich. Außerdem ist zu beobachten, dass
fxxy |
= |
fxyx |
= |
fyxx, |
fxyy |
= |
fyxy |
= |
fyyx. |
Ì |
|
|
|
|
|
|
|
406 |
10 Funktionen mit mehreren Variablen |
Definition 10.13 (Höhere partielle Ableitungen)
Wenn die partielle Ableitungsfunktion wieder eine partiell di erenzierbare Funktion ist, dann kann man auch die Ableitungsfunktion ableiten. Die partielle Ableitung der partiellen Ableitung bezeichnet man als zweite partielle Ableitung. Durch wiederholtes Di erenzieren erhält man so partielle Ableitungen höherer Ordnung
f |
→ |
fx , fy |
→ |
fxx , fxy , fyx , fyy |
|
|
|
→ |
. . . |
|||||||||
|
|
∂f ∂f |
∂2f ∂2f |
|
∂2f |
|
∂2f |
|
||||||||||
f |
→ |
|
|
, |
|
→ |
|
|
, |
|
, |
|
|
, |
|
|
→ . . . |
|
|
∂x |
∂y |
∂x2 |
∂x∂y |
∂y∂x |
∂y2 |
||||||||||||
Wird bei einer partiellen Ableitung höherer Ordnung sowohl nach x als auch nach y di erenziert, so heißt diese partielle Ableitung auch gemischte partielle Ableitung.
In Beispiel 10.21 sind einige gemischte partielle Ableitungen gleich. Dabei spielt o ensichtlich die Reihenfolge der Variablen, nach denen di erenziert wird, keine Rolle. Es stellt sich die Frage, ob dies Zufall ist, oder ob dahinter eine allgemeingültige Regel steckt.
Satz 10.4 (Satz von Schwarz)
Die gemischten partiellen Ableitungen höherer Ordnung einer Funktion f(x, y) sind von der Reihenfolge der Di erenziationsvariablen unabhängig, falls sie stetig sind. Dann gilt also insbesondere
fxxy |
|
fxyx |
|
f |
fyx |
|
fyxy |
|
fyyx |
|
|
|
|
|
|
= |
= |
fyxxxy =, fxyy |
= |
= |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ist der Satz |
von Schwarz |
anwendbar auf eine Funktion f |
|
x, y , so reduziert |
sich die |
||||||||||
Anzahl der verschiedenen partiellen Ableitungen der |
Ordnung k von 2k auf k |
|
1. Die |
||||||||||||
|
( |
) |
zuerst nach |
||||||||||||
Reihenfolge der Di erenziation spielt also keine Rolle. Es ist gleichgültig, ob |
|
+ |
|
||||||||||||
x und dann nach y di erenziert wird oder umgekehrt. Dies bedeutet insbesondere bei höheren Ordnungen eine erhebliche Reduktion der tatsächlich unterschiedlichen partiellen Ableitungen.
Höhere Ableitungen
Sind alle partiellen Ableitungen einer Funktion f(x, y) stetig, so entstehen die verschiedenen partiellen Ableitungen durch die unterschiedliche Anzahl von Ableitungsschritten nach x und nach y. Dann gibt es genau n+1 verschiedene partielle Ableitungen der Ordnung n.
f fx fy
fxx fxy fyy
fxxx fxxy fxyy fyyy
. . . . . . . . . . . . . . .
Im Gradienten sind alle partiellen Ableitungen erster Ordnung in einem Vektor zusammengefasst. Ganz analog kann man nun alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung in einer Matrix anordnen. Wir werden in Abschnitt 10.3.6 sehen, dass die zweiten partiellen
10.3 Di erenziation |
407 |
Ableitungen, analog zur zweiten Ableitung im Eindimensionalen, eine besondere Bedeutung bei der Bestimmung von Extremwerten besitzen. Die sogenannte Hesse-Matrix ist benannt nach dem Mathematiker Luwig Otto Hesse.
Definition 10.14 (Hesse-Matrix)
Die Hesse-Matrix einer Funktion f ist eine Matrix, die aus allen zweiten partiellen Ableitungen von f besteht:
H |
|
x, y |
|
fxx |
|
x, y |
fxy |
|
x, y |
|
. |
( |
) = Π|
fyx |
(x, y) |
fyy |
(x, y) |
‘ |
|||||
|
|
|
( |
) |
|
( |
) |
|
|||
10.3.6 Extremwerte
Bei Problemstellungen aus der Praxis untersucht man Funktionen mit mehreren Variablen, um möglichst optimale Parameter eines komplexen Systems zu bestimmen. Optimal bedeutet dabei, dass die Funktion einen minimalen oder maximalen Wert besitzt.
Definition 10.15 (Lokaler Extremwert)
Eine Funktion f mit zwei Variablen besitzt an der Stelle (x0, y0)
Lein lokales Minimum, wenn alle Funktionswerte in der Umgebung von (x0, y0) größer sind als der Funktionswert an der Stelle (x0, y0).
Lein lokales Maximum, wenn alle Funktionswerte in der Umgebung von (x0, y0) kleiner sind als der Funktionswert an der Stelle (x0, y0).
Bei einer Funktion mit einer Veränderlichen muss das Schaubild in einem Hochpunkt oder Tiefpunkt eine waagrechte Tangente besitzen. Notwendigerweise muss das Schaubild bei einer Funktion mit mehreren Variablen in einem Extrempunkt eine horizontale Tangentialebene besitzen.
Satz 10.5 (Notwendige Bedingungen für einen Extremwert)
Eine Funktion f mit zwei Variablen besitzt an der Stelle (x0, y0) einen Extremwert, wenn beide partiellen Ableitungen erster Ordnung an der Stelle (x0, y0) null sind:
fx(x0, y0) = 0, fy(x0, y0) = 0.
Hinreichende Bedingungen für Extremwerte erhält man, wie bei Funktionen mit einer Veränderlichen, aus den zweiten Ableitungen. Man kann zeigen, dass die sogenannte Definitheit der Matrix mit den partiellen Ableitungen zweiter Ordnung hinreichend für eine Extremstelle ist. Bei Funktionen mit zwei Veränderlichen kann man die Definitheit der Hesse-Matrix mit der Determinante bestimmen.
408 |
10 Funktionen mit mehreren Variablen |
Satz 10.6 (Hinreichende Bedingungen für einen Extremwert)
Eine Funktion f mit zwei Variablen besitzt an der Stelle (x0, y0) einen Extremwert, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
L Beide partiellen Ableitungen erster Ordnung an der Stelle (x0, y0) sind null:
fx(x0, y0) = 0, fy(x0, y0) = 0.
LDie Determinante der Hesse-Matrix mit den partiellen Ableitungen zweiter Ordnung an der Stelle (x0, y0) ist positiv:
Wfxx(x0, y0) fxy(x0, y0) W > 0. fxy(x0, y0) fyy(x0, y0)
Ein lokales Maximum ergibt sich, falls fxx(x0, y0) < 0 und ein lokales Minimum, falls fxx(x0, y0) > 0.
Falls die Determinante negativ ist, liegt ein sogenannter Sattelpunkt vor. Für den Fall, dass die Determinante null ist, kann man allein mithilfe der Werte der ersten und zweiten Ableitungen noch keine verlässliche Aussage über einen Extremwert tre en.
Beispiel 10.22 (Extrema)
Wir betrachten die Funktion
f(x, y) = 2x2 − 8x − y3 + 9y2 − 15y,
die aus Polynomen in x und in y zusammengesetzt ist. Zur Untersuchung auf Extrema bilden wir zunächst die partiellen Ableitungen erster Ordnung
fx(x, y)
fy(x, y)
=4x − 8
=−3y2 + 18y − 15
und anschließend die Hesse-Matrix mit den partiellen Ableitungen zweiter Ordnung
H(x, y) = Π|
4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
6y 18 ‘ . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Setzen wir fx und fy gleich− |
null,+ |
so folgen die Lösungen |
|
|
|||||||||||
x1, y1 |
|
2, 1 , |
|
|
x2, y2 |
2, 5 . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
x , y |
|
|
)sind die( partielle) = (Ableitung) |
f |
|
und die Determinante der Hesse-Matrix |
|||||||
An der (Stelle ) =1( |
1 |
|
|
xx |
|||||||||||
|
liegt dort ein Minimum vor. An der Stelle |
x2, y2 |
|
ist die Determinante der Hesse- |
|||||||||||
positiv. Somit ( |
|
|
) |
|
f |
|
|
|
|
|
|
Sattelpunkt. Minimum und Sattelpunkt |
|||
Matrix negativ. Damit hat |
|
|
an der zweiten Stelle einen ( |
) |
Ì |
||||||||||
sind im Schaubild erkennbar. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||