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Файл:Koch_Mathematik fur das Ingenieurstudium.pdf
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- •1 Grundlagen
- •1.1 Logik und Mengen
- •1.1.1 Aussagenlogik
- •1.1.2 Mengen
- •1.2 Zahlen
- •1.2.1 Natürliche Zahlen
- •1.2.2 Ganze Zahlen
- •1.2.3 Rationale Zahlen
- •1.2.4 Reelle Zahlen
- •1.2.5 Ordnung
- •1.2.6 Intervalle
- •1.2.7 Betrag und Signum
- •1.2.8 Summe und Produkt
- •1.3 Potenz und Wurzel
- •1.3.1 Potenzen
- •1.3.2 Potenzgesetze
- •1.3.3 Wurzeln
- •1.3.4 Binomischer Satz
- •1.4 Trigonometrie
- •1.4.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
- •1.5 Gleichungen und Ungleichungen
- •1.5.1 Lineare Gleichungen
- •1.5.2 Potenzgleichungen
- •1.5.3 Quadratische Gleichungen
- •1.5.4 Wurzelgleichungen
- •1.5.5 Ungleichungen
- •1.6 Beweise
- •1.6.1 Direkter Beweis
- •1.6.2 Indirekter Beweis
- •1.6.3 Konstruktiver Beweis
- •1.6.4 Vollständige Induktion
- •1.7 Aufgaben
- •2 Lineare Gleichungssysteme
- •2.1 Einführung
- •2.2 Gauß-Algorithmus
- •2.2.1 Äquivalenzumformungen
- •2.2.2 Vorwärtselimination
- •2.2.3 Rückwärtseinsetzen
- •2.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren
- •2.2.5 Rechenschema
- •2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme
- •2.3.1 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung
- •2.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen
- •2.3.3 Systeme mit redundanten Gleichungen
- •2.3.4 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme
- •2.3.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
- •2.3.6 Homogene lineare Gleichungssysteme
- •2.3.7 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern
- •2.4 Numerische Verfahren
- •2.4.1 Jakobi-Iteration
- •2.4.2 Gauß-Seidel-Iteration
- •2.5 Anwendungen
- •2.5.1 Produktion
- •2.5.2 Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik
- •2.6 Aufgaben
- •3 Vektoren
- •3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten
- •3.2.1 Addition und Subtraktion
- •3.2.2 Skalare Multiplikation
- •3.2.3 Skalarprodukt
- •3.2.4 Vektorprodukt
- •3.2.5 Spatprodukt
- •3.2.6 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung
- •3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung
- •3.3.1 Koordinatendarstellung
- •3.3.2 Addition und Subtraktion
- •3.3.3 Skalare Multiplikation
- •3.3.4 Skalarprodukt
- •3.3.5 Vektorprodukt
- •3.3.6 Spatprodukt
- •3.3.7 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung
- •3.4 Punkte, Geraden und Ebenen
- •3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem
- •3.4.2 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen
- •3.4.3 Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen
- •3.4.4 Schnitte von Geraden und Ebenen
- •3.4.5 Abstände
- •3.4.6 Winkel
- •3.5 Anwendungen
- •3.5.1 Kraft
- •3.5.2 Arbeit
- •3.5.3 Drehmoment
- •3.6 Aufgaben
- •4 Matrizen
- •4.2 Rechnen mit Matrizen
- •4.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation
- •4.2.2 Multiplikation von Matrizen
- •4.3 Determinanten
- •4.3.1 Determinante einer (2,2)-Matrix
- •4.3.2 Determinante einer (3,3)-Matrix
- •4.3.3 Determinante einer (n,n)-Matrix
- •4.4 Inverse Matrix
- •4.4.1 Invertierbare Matrizen
- •4.4.2 Inverse einer (2,2)-Matrix
- •4.4.3 Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem
- •4.5 Lineare Abbildungen
- •4.5.1 Matrizen als Abbildungen
- •4.5.2 Kern, Bild und Rang
- •4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
- •4.7 Numerische Verfahren
- •4.7.1 Potenzmethode
- •4.8 Anwendungen
- •4.9 Aufgaben
- •5 Funktionen
- •5.1 Einführung
- •5.1.2 Wertetabelle
- •5.1.3 Schaubild
- •5.1.4 Explizite und implizite Darstellung
- •5.1.6 Funktionsschar
- •5.1.7 Verkettung von Funktionen
- •5.2 Polynome und rationale Funktionen
- •5.2.1 Potenzfunktionen mit ganzen Hochzahlen
- •5.2.2 Polynome
- •5.2.3 Gebrochenrationale Funktionen
- •5.3 Eigenschaften
- •5.3.1 Symmetrie
- •5.3.2 Periode
- •5.3.3 Monotonie
- •5.3.4 Beschränktheit
- •5.4 Sinus, Kosinus und Tangens
- •5.4.2 Eigenschaften
- •5.5 Grenzwert und Stetigkeit
- •5.5.1 Zahlenfolgen
- •5.5.2 Grenzwert einer Funktion
- •5.5.3 Stetigkeit
- •5.5.4 Asymptotisches Verhalten
- •5.6.1 Exponentialfunktionen
- •5.6.2 Die e-Funktion
- •5.6.3 Hyperbelfunktionen
- •5.7 Umkehrfunktionen
- •5.7.1 Das Prinzip der Umkehrfunktion
- •5.7.2 Wurzelfunktionen
- •5.7.3 Arkusfunktionen
- •5.7.4 Logarithmusfunktionen
- •5.7.5 Area-Funktionen
- •5.8 Numerische Verfahren
- •5.8.1 Berechnung von Funktionswerten
- •5.8.2 Bisektionsverfahren
- •5.9 Anwendungen
- •5.9.1 Messwerte
- •5.9.2 Industrieroboter
- •5.10 Aufgaben
- •6.1 Steigung und Ableitungsfunktion
- •6.1.3 Ableitungsfunktion
- •6.1.5 Höhere Ableitungen
- •6.2 Ableitungstechnik
- •6.2.1 Ableitungsregeln
- •6.2.2 Ableitung der Umkehrfunktion
- •6.2.5 Zusammenfassung
- •6.3 Regel von Bernoulli-de l’Hospital
- •6.4 Geometrische Bedeutung der Ableitungen
- •6.4.1 Neigungswinkel und Schnittwinkel
- •6.4.2 Monotonie
- •6.4.3 Krümmung
- •6.4.4 Lokale Extrema
- •6.4.5 Wendepunkte
- •6.4.6 Globale Extrema
- •6.5 Numerische Verfahren
- •6.5.2 Newton-Verfahren
- •6.5.3 Sekantenverfahren
- •6.6 Anwendungen
- •6.6.1 Fehlerrechnung
- •6.6.2 Extremwertaufgaben
- •6.7 Aufgaben
- •7 Integralrechnung
- •7.1 Flächenproblem
- •7.1.1 Integralsymbol
- •7.1.2 Integral als Grenzwert von Summen
- •7.1.3 Bestimmtes Integral
- •7.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral
- •7.2.1 Integralfunktion
- •7.2.2 Stammfunktion
- •7.2.3 Bestimmtes Integral und Stammfunktion
- •7.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung
- •7.3 Integrationstechnik
- •7.3.1 Integrationsregeln
- •7.3.2 Integration durch Substitution
- •7.3.3 Partielle Integration
- •7.3.4 Gebrochenrationale Funktionen
- •7.3.5 Uneigentliche Integrale
- •7.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen
- •7.4.1 Flächeninhalte
- •7.4.2 Bogenlänge
- •7.4.3 Rotationskörper
- •7.5 Numerische Verfahren
- •7.5.1 Trapezregel
- •7.5.2 Romberg-Verfahren
- •7.6 Anwendungen
- •7.6.2 Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen
- •7.7 Aufgaben
- •8 Potenzreihen
- •8.1 Unendliche Reihen
- •8.2 Potenzreihen und Konvergenz
- •8.3 Taylor-Reihen
- •8.4 Eigenschaften
- •8.5 Numerische Verfahren
- •8.5.1 Berechnung von Funktionswerten
- •8.6 Anwendungen
- •8.6.1 Normalverteilung in der Statistik
- •8.7 Aufgaben
- •9 Kurven
- •9.1 Parameterdarstellung
- •9.2 Kegelschnitte
- •9.3 Tangente
- •9.4 Krümmung
- •9.5 Bogenlänge
- •9.6 Numerische Verfahren
- •9.6.1 Bézier-Kurve
- •9.7 Anwendungen
- •9.7.1 Mechanik
- •9.7.2 Straßenbau
- •9.8 Aufgaben
- •10 Funktionen mit mehreren Variablen
- •10.1.2 Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen
- •10.1.3 Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien
- •10.2 Grenzwert und Stetigkeit
- •10.2.1 Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen
- •10.2.2 Stetigkeit
- •10.3.3 Gradient und Richtungsableitung
- •10.3.5 Höhere partielle Ableitungen
- •10.3.6 Extremwerte
- •10.4 Ausgleichsrechnung
- •10.4.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate
- •10.4.2 Ausgleichsrechnung mit Polynomen
- •10.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung
- •10.5 Vektorwertige Funktionen
- •10.6 Numerische Verfahren
- •10.6.1 Mehrdimensionales Newton-Verfahren
- •10.6.2 Gradientenverfahren
- •10.7 Anwendungen
- •10.7.1 Fehlerrechnung
- •10.8 Aufgaben
- •11 Komplexe Zahlen und Funktionen
- •11.1.1 Komplexe Zahlen
- •11.1.2 Gaußsche Zahlenebene
- •11.1.3 Polarkoordinaten
- •11.1.4 Exponentialform
- •11.2 Rechenregeln
- •11.2.1 Gleichheit
- •11.2.2 Addition und Subtraktion
- •11.2.3 Multiplikation und Division
- •11.2.4 Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl
- •11.2.5 Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl
- •11.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome
- •11.3.1 Potenzen
- •11.3.2 Wurzeln
- •11.3.3 Fundamentalsatz der Algebra
- •11.4 Komplexe Funktionen
- •11.4.1 Ortskurven
- •11.4.2 Harmonische Schwingungen
- •11.4.3 Transformationen
- •11.5 Anwendungen
- •11.5.1 Komplexe Wechselstromrechnung
- •11.6 Aufgaben
- •12.1 Einführung
- •12.1.3 Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie
- •12.2.1 Separation der Variablen
- •12.2.2 Lineare Substitution
- •12.3.3 Allgemeine Eigenschaften
- •12.4.1 Allgemeine Form
- •12.4.2 Freie Schwingung
- •12.4.3 Harmonisch angeregte Schwingung
- •12.4.4 Frequenzgänge
- •12.5.1 Eliminationsverfahren
- •12.5.2 Zustandsvariablen
- •12.5.5 Stabilität
- •12.6 Numerische Verfahren
- •12.6.1 Polygonzugverfahren von Euler
- •12.7 Anwendungen
- •12.7.1 Temperaturverlauf
- •12.7.2 Radioaktiver Zerfall
- •12.7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand
- •12.7.4 Feder-Masse-Schwinger
- •12.7.5 Pendel
- •12.7.6 Wechselstromkreise
- •12.8 Aufgaben
- •13 Fourier-Reihen
- •13.1 Fourier-Analyse
- •13.1.1 Periodische Funktionen
- •13.1.2 Trigonometrische Polynome
- •13.1.3 Fourier-Reihe
- •13.1.4 Satz von Fourier
- •13.1.5 Gibbssches Phänomen
- •13.2 Komplexe Darstellung
- •13.2.1 Komplexe Fourier-Reihe
- •13.2.3 Spektrum
- •13.2.4 Minimaleigenschaft
- •13.3 Eigenschaften
- •13.3.1 Symmetrie
- •13.3.2 Integrationsintervall
- •13.3.3 Mittelwert
- •13.3.4 Linearität
- •13.3.5 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
- •13.3.6 Zeitverschiebung
- •13.4 Aufgaben
- •14 Verallgemeinerte Funktionen
- •14.1 Heaviside-Funktion
- •14.2 Dirac-Distribution
- •14.3 Verallgemeinerte Ableitung
- •14.4 Faltung
- •14.5 Aufgaben
- •15 Fourier-Transformation
- •15.1 Integraltransformation
- •15.1.4 Transformation gerader und ungerader Funktionen
- •15.1.5 Darstellung mit Amplitude und Phase
- •15.2 Eigenschaften
- •15.2.1 Linearität
- •15.2.2 Zeitverschiebung
- •15.2.3 Amplitudenmodulation
- •15.2.4 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
- •15.3 Inverse Fourier-Transformation
- •15.3.2 Vertauschungssatz
- •15.3.3 Linearität
- •15.4.3 Multiplikationssatz
- •15.4.5 Faltung
- •15.5 Periodische Funktionen
- •15.5.1 Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe
- •15.5.3 Grenzwertbetrachtung
- •15.6 Anwendungen
- •15.6.1 Lineare zeitinvariante Systeme
- •15.7 Aufgaben
- •16 Laplace-Transformation
- •16.1 Bildbereich
- •16.2 Eigenschaften
- •16.2.1 Linearität
- •16.2.2 Ähnlichkeit
- •16.2.3 Zeitverschiebung
- •16.2.4 Dämpfung
- •16.3.2 Integration
- •16.3.3 Faltung
- •16.3.4 Grenzwerte
- •16.4 Transformation periodischer Funktionen
- •16.5 Rücktransformation
- •16.7 Anwendungen
- •16.7.1 Regelungstechnik
- •16.8 Aufgaben
- •17 z-Transformation
- •17.1 Transformation diskreter Signale
- •17.1.2 z-Transformation und Laplace-Transformation
- •17.2 Eigenschaften
- •17.2.1 Linearität
- •17.2.2 Verschiebung
- •17.2.3 Dämpfung
- •17.4 Anwendungen
- •17.4.1 Zeitkomplexität von Quicksort
- •A Anhang
- •A.1 Ableitungsregeln
- •A.2 Ableitungen
- •A.3 Potenzreihen
- •A.4 Integralregeln
- •A.5 Integrale
- •A.6 Fourier-Reihen
- •A.7 Fourier-Transformationen
- •A.8 Laplace-Transformationen
- •A.9 Griechisches Alphabet
- •A.10 Bedeutende Mathematiker
- •Literaturverzeichnis
- •Sachwortverzeichnis
16.8 Aufgaben |
625 |
16.8 Aufgaben
Verständnisaufgaben
Aufgabe 16.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Verwenden Sie die Korrespondenz |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
sin t |
c |
s |
|
|
1 |
|
, Re(s) > 0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
s2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
und bestimmen Sie |
mithilfe geeigneter Sätze die Laplace-Transformationen von |
|||||||||||||||
|
|
+ |
|
b) e−s0 t sin |
|
|
c) t sin |
|
|
|
||||||
a) sin |
( |
ω t |
) |
|
|
|
|
|
|
ω t |
) |
( |
ω t |
) |
||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
||||||
Aufgabe 16.2
Bestimmen Sie mithilfe geeigneter Sätze und der Korrespondenz
r |
t |
|
σ |
t |
|
σ |
|
t |
|
1 |
|
c |
s |
R |
|
s |
|
1 |
e−s |
|
|
( |
) = |
|
( |
) − |
|
( |
|
− |
|
) |
|
( |
|
) = |
|
−s |
|
||
die Laplace-Transformationen der abgebildeten Funktionen: |
||||||||||||||||||||
a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) |
|
|
|
|
|
|
c) |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
−2 −1 |
1 |
2 |
t |
−2 −1 |
1 |
2 |
t |
d) |
|
|
t |
e) |
|
t2 |
f) |
2 |
|
|
|
2 |
|
||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
−2 −1 |
1 |
2 |
t |
−2 −1 |
1 |
2 |
t |
2
1
−2 |
−1 |
1 |
2 |
t |
|
e−t |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
−2 |
−1 |
1 |
2 |
t |
Aufgabe 16.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Für Sinus und Kosinus gelten die Korrespondenzen |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
sin t |
c |
s |
|
1 |
|
, |
|
cos t |
c |
|
s |
s |
|
, |
Re s |
0. |
|
|
|
|
|
|
s2 |
|
1 |
|
s2 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Andererseits lässt sich der Sinus als ein um |
π |
|
|
|
|
|
( ) > |
|
|
cos |
t |
π |
. |
|||||||||
2 |
verschobener Kosinus darstellen: sin t |
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= |
|
‰ − |
Ž |
||
Aufgrund des Zeitverschiebungssatzes müsste also gelten: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
sin t = cos ‰t − π2 Ž |
|
c |
s |
e− π2 s |
s |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
s2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
+
Erklären Sie, worin der Fehler bei dieser Argumentation liegt.
626 |
16 Laplace-Transformation |
Rechenaufgaben
Aufgabe 16.4
Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen F im Bildbereich die zugehörigen Funktionen f im Zeitbereich:
a) F s |
|
|
|
1 |
|
|
b) F |
|
s |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
d) F |
(s) = |
s |
s |
s1 |
|
|
( |
|
) = |
s3 s s21 |
|
|||
s( |
|
−4 s) |
3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
8 |
||||||||||
|
( ) = |
2 |
− + |
|
|
( ) = |
+ + |
+ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
e) F s |
|
|
|
|
||||
Dabei ist a ≠ 0 eine reelle Konstante.
Aufgabe 16.5
Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
c) F (s) =
1
f) F (s) =
s2(s2 + a2) a2
s4 − a4
x˙ + x = t (σ(t) − σ(t − 1)) , x(0) = 0.
Aufgabe 16.6
Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
x¨ + x˙ = eT−t σ(t − T ), x(0) = 1, x˙(0) = 0, T > 0.
Aufgabe 16.7
Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
x¨ |
+ |
x |
− |
y˙ |
= |
0, |
x 0 |
0, |
x 0 |
1, |
|
y¨ |
2 x˙˙ |
|
0, |
y(0) = |
0, |
y˙˙ |
(0) = |
0. |
|||
|
+ |
|
|
|
= |
|
( ) = |
|
|
( ) = |
|
Anwendungsaufgaben
Aufgabe 16.8
Ein Einweggleichrichter blendet bei einer sinusförmigen
Wechselspannung mit Kreisfrequenz ω |
|
0 die negati- |
||||||
|
|
|
|
|
|
die abgebildete |
||
ven Halbwellen aus. Zeigen Sie, dass für > |
|
|
||||||
Funktion f die folgende Korrespondenz gilt: |
||||||||
f(t) c |
s |
F (s) = |
ω |
|
1 |
. |
||
s2 + ω2 |
|
1 − e− ωπ s |
||||||
f (t) |
|
|
|
1 |
|
|
|
T |
2T |
3T |
t |
−1 |
|
|
|
Aufgabe 16.9
Ein lineares, zeitinvariantes System besitzt die Übertragungsfunktion
G |
( |
s |
|
e−T s |
, |
T |
> |
0. |
|
|
) = s2 s |
|
|
||||
Berechnen und |
skizzieren Sie die Impulsantwort g des Systems und ermitteln Sie das Ausgangs- |
|||||||
+ |
|
|
|
|
||||
signal o für das Eingangssignal i(t) = σ(t) − σ(t − T ).
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