150 |
4 Matrizen |
Ein von null verschiedener Startvektor x˜0 wird zunächst normiert. Anschließend wird das Matrixprodukt Ax˜0 mit dem normierten Vektor gebildet. Das Ergebnis ist ein neuer Startvektor x˜1 für den nächsten Iterationsschritt. Es entstehen also im Verlauf der Berechnung im Wesentlichen Matrixpotenzen Ak der Ausgangsmatrix A. Dies erklärt den Namen Potenzmethode.
Wenn es keinen vom betragsgrößten Eigenwert λ verschiedenen Eigenwert mit gleichem Betrag gibt, dann konvergieren die Vektoren x˜k gegen einen Eigenvektor. Der zugehörige betragsgrößte Eigenwert entsteht durch Bilden des Skalarproduktes des aktuellen Vektors x˜k und des normierten Vektors aus dem letzten Iterationsschritt.
Das Verfahren ist insbesondere für dünn besetzte Matrizen geeignet. Die Potenzmethode wird manchmal auch von-Mises-Iteration genannt. Namenspatron dafür ist der österreichische Mathematiker Richard von Mises. Neben der Potenzmethode gibt es weitere sogenannte Krylov-Raum-Verfahren, wie das Lanczosoder das Arnoldi-Verfahren.
Beispiel 4.31 (Potenzmethode)
Wir suchen den betragsmäßig größten Eigenwert der folgenden Matrix und wählen einen beliebigen einfachen Startvektor ungleich null:
|
|
2 |
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
A |
’ |
1 |
−2 |
− |
1 |
|
0 |
|
0 |
“ |
, |
x˜0 |
’ |
1 |
“ . |
|
0 |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
0 |
1 |
||||||||
|
– − |
0 |
|
0 |
1 |
|
2 |
|
1 |
— |
|
|
– |
1 |
— |
|
|
– |
− |
|
− |
|
— |
|
|
– |
— |
||||||
|
= – |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
|
2 |
— |
|
|
= – |
1 |
— |
||
|
– |
|
|
|
|
— |
|
|
– |
— |
||||||
|
– |
|
|
|
− |
|
− |
|
− |
|
— |
|
|
– |
|
— |
|
” |
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
” |
|
• |
|||
Für die ersten Iterationen ergeben sich die Vektoren
x˜1 |
’ |
0.4472 |
“ , |
x˜2 |
’ |
|
1.4142 |
“ , |
x˜3 |
’ |
|
1.5811 |
“ . |
0 |
|
0 |
|
0.6325 |
|||||||||
|
– |
0 |
— |
|
– − |
0.7071 |
— |
|
– − |
1.2649 |
— |
||
|
– |
0 |
— |
|
– |
|
0.7071 |
— |
|
– |
|
1.2649 |
— |
|
≈ – |
0.4472 |
— |
|
≈ – |
|
1.4142 |
— |
|
≈ – |
|
1.5811 |
— |
|
– |
— |
|
– |
|
— |
|
– |
|
— |
|||
|
– |
|
— |
|
– |
− |
|
— |
|
– |
− |
|
— |
|
” |
|
• |
|
” |
|
• |
|
” |
|
• |
||
˜
Nach 10 Iterationen erhält man die Näherung λ10 ≈ 3.7317 für den Eigenwert λ ≈ 3.73205080
mit bereits 3 korrekten Zi ern. |
Ì |
4.8 Anwendungen
Matrizen werden in CAD-Systemen, zur Steuerung von Robotern, in der Computergrafik und bei vielen weiteren technischen Anwendungen zur Beschreibung von geometrischen Transformationen verwendet. Komplexe Transformationen werden in der Regel durch Nacheinanderausführung einzelner Grundtransformationen, wie etwa Translationen, Skalierungen und Rotationen, erzeugt.
4.8 Anwendungen |
151 |
4.8.1 Computergrafik
In der Ebene kann eine Rotation um den Ursprung O(0 S 0) mit dem Winkel α durch eine Multiplikation mit der Matrix
R = Π|
cos α |
sin α |
‘ |
sin α |
−cos α |
beschrieben werden. Eine Rotation ist eine lineare Abbildung. Eine Multiplikation des Ortsvektors von P1(x1 S y1) mit der Matrix R ergibt:
y 
y2 P2
y1 |
P1 |
α |
|
x2 x1 |
x |
Π|
cos α |
sin α |
‘ Œ |
x1 |
sin α |
−cos α |
y1 |
‘ = Œ |
x1 |
cos α |
y1 sin α |
‘ = Œ |
x2 |
‘ |
|
|
x1 |
sin α |
+ |
cos α |
y2 |
. |
|||
|
−y1 |
|
|
|||||
Der Punkt P2(x2 S y2) geht aus dem Punkt P1 durch Rotation um den Winkel α in mathematisch positiver Richtung, also entgegen dem Uhrzeigersinn, hervor. Die Rotation mit dem Winkel −α macht die ursprüngliche Rotation wieder rückgängig. Die inverse Matrix der Rotationsmatrix R ist also eine Rotationsmatrix:
R−1 |
|
cos |
α |
sin |
α |
|
cos α |
sin α |
|
. |
= Π|
sin |
(−α) |
−cos |
(−α) |
‘ = Œ − |
sin α |
cos α |
‘ |
||
|
|
(− ) |
|
(− ) |
|
|
|
Das Hintereinanderausführen von zwei Rotationen mit den Winkeln α und β muss dieselbe Rotation wie die Rotation um den Winkel α + β ergeben:
|
cos α |
sin α |
|
cos β |
sin β |
|
cos |
α |
+ |
β |
sin |
α |
+ |
β |
|
. |
Π|
sin α |
−cos α |
‘ Œ |
sin β |
−cos β |
‘ = Œ |
sin |
(α |
β) |
−cos |
(α |
β) |
‘ |
|||
|
|
|
|
|
( + |
) |
|
( + |
) |
|
||||||
Andererseits ergibt das Produkt der beiden Matrizen
|
cos α cos β |
sin α sin β |
cos α sin β |
sin α cos β |
|
. |
Π|
sin α cos β |
−cos α sin β |
− sin α sin β |
−cos α cos β |
‘ |
|
|
+ |
− |
+ |
|
Durch Vergleich der beiden Darstellungen erhalten wir bereits an dieser Stelle die Additionstheoreme aus Satz 5.11:
cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β, sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β.
Rotationen im Raum können ebenfalls durch Matrizen beschrieben werden. Man betrachtet dabei Rotationen um die drei Koordinatenachsen mit den sogenannten Euler-Winkeln.
Ein anderer Ansatz, der in der Computergrafik oft verwendet wird, basiert auf komplexen Zahlen, siehe Abschnitt 11.4.3. Im dreidimensionalen Fall lassen sich Transformationen auch durch sogenannte Quaternionen, die man als Verallgemeinerung komplexer Zahlen betrachten kann, darstellen.