4.5 Lineare Abbildungen |
141 |
Satz 4.11 (Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem)
Falls die Determinante einer quadratischen Matrix A ungleich null ist, dann ist das lineare Gleichungssystem Ax = b eindeutig lösbar. Die Lösung x kann man durch Multiplikation der rechten Seite b mit der inversen Matrix A−1 berechnen: x = A−1 b.
Beispiel 4.24 (Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem)
Wir schreiben das lineare Gleichungssystem in Matrixform
2 x1 |
+ |
x2 |
− |
x3 |
= |
1 |
|
’ |
2 |
1 |
|
1 |
“ ’ |
x1 |
“ |
’ |
1 |
“ . |
5 x1 |
2 x2 |
x3 |
2 |
Ô |
0 |
2 |
−1 |
x2 |
2 |
|||||||||
+ |
2 x2 |
+ |
3 x3 |
= |
3 |
– |
5 |
2 |
− |
3 |
— – |
x3 |
— = – |
3 |
— |
|||
|
+ |
|
− |
|
= |
|
|
” |
|
A |
|
• ” |
x |
• |
” |
b |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ |
´¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¶ |
|||||||||
Aus Beispiel 4.22 kennen wir bereits die inverse Matrix und können damit das lineare Gleichungssystem lösen:
A−1 |
|
8 |
1 |
3 |
|
|
x1 |
|
|
8 |
1 |
3 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
’ |
5 |
−1 |
−2 |
“ |
’ |
x2 |
“ |
’ |
5 |
−1 |
−2 |
“ ’ |
2 |
“ |
’ |
−3 . |
||||
|
10 |
1 |
4 |
x |
3 |
10 |
1 |
4 |
3 |
4 |
“ |
|
||||||||
|
= – − |
|
|
— Ô – |
|
— = – − |
− 1 |
− |
— – — = – |
|
— |
|
||||||||
|
” |
|
− − • |
” |
|
|
• |
” |
|
• ” • |
” − • |
Ì |
||||||||
|
|
|
|
|
|
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ |
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ ´¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¶ |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
A− |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
Der Begri einer inversen Matrix lässt sich verallgemeinern. Bei nicht quadratischen oder singulären Matrizen gibt es die sogenannte Pseudoinverse, siehe [Golub] oder auch [Stoer-Bulirsch].
4.5 Lineare Abbildungen
Wir betrachten in diesem Abschnitt lineare Abbildungen. Derartige Abbildungen kann man sehr allgemein auf sogenannte Vektorräume beziehen. Wir beschränken uns hier auf lineare Abbildungen, die durch Matrizen festgelegt werden.
4.5.1 Matrizen als Abbildungen
Matrizen lassen sich auch als Abbildungen interpretieren. Durch Multiplikation mit einer Matrix A wird einem Vektor x ein neuer Vektor y zugeordnet:
x ( y = Ax.
Abbildungen in der Ebene werden durch (2, 2)-Matrizen und Abbildungen im Raum durch (3, 3)-Matrizen beschrieben.
142 |
4 Matrizen |
Beispiel 4.25 (Lineare Abbildungen)
a) Die Matrix
A = Π|
1 |
0 |
‘ |
0 |
−1 |
beschreibt eine lineare Abbildung in der Ebene:
Π|
y1 |
‘ = Œ |
1 |
0 |
‘ Œ |
x1 |
‘ = Œ |
x1 |
‘ . |
y2 |
0 |
−1 |
x2 |
−x2 |
Dabei bleibt die erste Koordinate unverändert und die zweite ändert nur das Vorzeichen. Bei dieser Abbildung handelt es sich um eine Spiegelung an der x1-Achse.
|
|
|
|
|
|
x2 |
|||||||||
(x1, x2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 −2 −1 |
|
|
1 2 3 x1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(x1, −x2) 
−2
b) |
Eine lineare Abbildung in der Ebene wird durch |
x2 |
|
(2x1 |
, 3x2) |
|||||||
|
die Matrix |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = Π|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
(x1, x2) |
|
|
|
0 |
3 ‘ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x1 |
|||
|
beschrieben. Damit erhalten wir |
|
|
|
−3 −2 −1 |
1 |
2 |
|||||
|
y1 |
‘ = Œ |
2 |
0 |
x1 |
‘ = Œ |
2 x1 |
‘ . |
−1 |
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
||||||||
|
Πy2 |
0 |
3 ‘ Œ |
x2 |
3 x2 |
|
|
|
||||
Die erste Koordinate wird um den Faktor 2 und die zweite um den Faktor 3 skaliert. Bei dieser Abbildung handelt es sich um eine Skalierung.
c) Durch die Matrix C wird eine lineare Abbildung im Raum beschrieben:
|
’ |
1 |
0 |
0 |
“ |
’ |
y1 |
“ ’ |
1 |
0 |
0 |
“ ’ |
x1 |
“ ’ |
x1 |
“ . |
C |
0 |
0 |
0 |
y2 |
0 |
0 |
0 |
x2 |
0 |
|||||||
|
= – |
0 |
0 |
1 |
— Ô – |
y3 |
— = – |
0 |
0 |
1 |
— – |
x3 |
— = – |
x3 |
— |
|
|
” |
|
|
|
• |
” |
|
• ” |
|
|
|
• ” |
|
• ” |
|
• |
Die erste und die dritte Koordinate bleiben unverändert, die zweite Koordinate ist immer null. Alle Vektoren y liegen in der x1-x3-Ebene. Diese lineare Abbildung ist eine Projektion in die x1-x3-Ebene. Ì
Aus Beispiel 4.25 erkennen wir, dass es unterschiedliche Typen linearer Abbildungen gibt. Bei der Spiegelung und bei der Skalierung handelt es sich um sogenannte bijektive Abbildungen. Bei einer bijektiven Abbildung gibt es zu jedem Vektor y genau einen Vektor x, der diesen Vektor y erzeugt. Die Projektion aus Beispiel 4.25 ist keine bijektive Abbildung, denn zwei Vektoren x, die sich lediglich in der zweiten Koordinate unterscheiden, werden auf denselben Vektor y abgebildet.
4.5 Lineare Abbildungen |
143 |
4.5.2 Kern, Bild und Rang
Zur Charakterisierung linearer Abbildungen verwendet man die Begri e Kern und Bild. Sie geben an, wie vernichtend und erzeugend eine lineare Abbildung ist. Wir werden sehen, dass das Gesamtpotenzial an Vernichtung und Erzeugung von Vektoren konstant ist.
Definition 4.17 (Kern und Bild einer linearen Abbildung)
Bei der linearen Abbildung y = Ax bezeichnet
Lder Kern der Matrix A bzw. der linearen Abbildung die Menge aller Vektoren x, die auf den Nullvektor abgebildet werden,
Ldas Bild der Matrix A bzw. der linearen Abbildung die Menge aller Vektoren y, die durch Abbildung aller Vektoren x entstehen.
Anschaulich werden alle Vektoren, die zum Kern einer linearen Abbildung gehören, durch die lineare Abbildung vernichtet. Das Bild einer linearen Abbildung gibt an, welche Vektoren durch die Abbildung erzeugt werden. Zwischen der Dimension des Kerns und der Dimension des Bildes einer Matrix besteht ein enger Zusammenhang.
Satz 4.12 (Dimensionsformel) |
|
|
|||||
Für jede |
( |
m, n |
) |
-Matrix A ergibt die Summe der Dimension des Kerns von A und |
|||
der |
|
|
|
|
|
||
|
Dimension des Bildes von A gerade n. Besitzt also der Kern von A maximal k |
||||||
linear unabhängige Vektoren, so hat das Bild von A maximal n |
− |
k linear unabhängige |
|||||
Vektoren. |
|
|
|
|
|
||
Die Dimension des Bildraumes einer linearen Abbildung bezeichnet man als Rang. Je kleiner der Rang einer linearen Abbildung ist, um so mehr Vektoren werden durch die Abbildung vernichtet.
Definition 4.18 (Rang einer linearen Abbildung)
Die maximale Anzahl r linear unabhängiger Vektoren y1, y2, . . ., yr im Bild der linearen Abbildung y = Ax bezeichnet man als Rang der Matrix A bzw. der linearen Abbildung.
Beispiel 4.26 (Kern, Bild und Rang)
a) Die beiden Matrizen
A = Π|
1 |
0 |
‘ , |
B = Π|
2 |
0 |
‘ |
0 |
−1 |
0 |
3 |
aus Beispiel 4.25 beschreiben lineare Abbildungen. Der einzige Vektor x, der durch diese Matrizen auf den Nullvektor abgebildet wird, ist der Nullvektor selbst. Der Kern dieser Matrizen besteht also nur aus dem Nullvektor. Das Bild der linearen Abbildung besteht aus allen Vektoren der Ebene. Die Matrizen A und B haben beide den Rang r = 2.