3.3.5 Vektorprodukt

ein Rechtssystem bilden. Somit ist e1 × e2 = e3. Bei der Bestimmung von e1 × e3 greifen dieselben Überlegungen. Allerdings ist e2 noch nicht unser gesuchter Kandidat, da die drei Vektoren e1, e3 und e2 in dieser Reihenfolge ein Linkssystem bilden. Der Gegenvektor ist der richtige Kandidat: e1 × e3 = −e2. Mit ähnlichen Überlegungen für die restlichen Kreuzprodukte der Basisvektoren ergibt sich

a × b = (a1 e1 + a2 e2 + a3 e3) × (b1 e1 + b2 e2 + b3 e3)

=a1 b1 e1 × e1 + a1 b2 e1 × e2 + a1 b3 e1 × e3

Nun müssen wir nur noch die Koe zienten bei den entsprechenden Basisvektoren unter Berücksichtigung der Vorzeichen zusammenfassen.

Satz 3.14 (Vektorprodukt von Vektoren in Koordinaten)

Für das Vektorprodukt der Vektoren a und b gilt:

Wie der Begri Kreuzprodukt schon sagt, wird bei der Formel für das Kreuzprodukt aus Satz 3.14 über Kreuz multipliziert. Diese Formel lässt sich leider nicht so einfach merken wie unsere bisherigen Formeln. Die Formel für das Vektorprodukt kann man auch in Form einer sogenannten Determinanten darstellen. Dies werden wir in Abschnitt 4.3.2 formulieren. Dadurch kann man ein Vektorprodukt nach demselben Schema wie Determinanten berechnen.

Beispiel 3.13 (Vektorprodukt)

Das Vektorprodukt der beiden folgenden Vektoren lässt sich berechnen:

Aus der Länge des Kreuzproduktes können wir die Flächen des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms und Dreiecks berechnen:

3.3.6 Spatprodukt

Eine Formel für das Spatprodukt ergibt sich aus der Formel für das Skalarprodukt aus Satz 3.13 und der Formel für das Vektorprodukt aus Satz 3.14:

= a1(b2c3 − b3c2) + a2(b3c1 − b1c3) + a3(b1c2 − b2c1).

Diese Formel sieht komplizierter aus, als sie in Wirklichkeit ist. Genau wie das Kreuzprodukt, lässt sich auch das Spatprodukt mithilfe von Determinanten darstellen, siehe

Abschnitt 4.3.2.

Satz 3.15 (Spatprodukt von Vektoren in Koordinaten)

Für das Spatprodukt der Vektoren a, b und c gilt:

[a, b, c] = a1(b2 c3 − b3 c2) + a2(b3 c1 − b1 c3) + a3(b1 c2 − b2 c1).

Beispiel 3.14 (Spatprodukt)

Das Spatprodukt der drei Vektoren

beträgt

[ a, b, c] = 1 ((−2) (−4) − 1 3) − 1 (1 (−3) − 1 (−4)) + 4 (1 3 − (−2) (−3)) = −6.

Der Spat, der von den drei Vektoren aufgespannt wird, hat also das Volumen V = S − 6S = 6. Da

3.3.7 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung

Die Themen lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung haben wir bereits in Abschnitt 3.2.6 ausführlich untersucht. In diesem Abschnitt erläutern wir anhand von Beispielen, wie die Untersuchung auf lineare Abhängigkeit und die Komponentenzerlegung für Vektoren in Koordinaten erfolgt.

Beispiel 3.15 (Linear abhängige Vektoren, Komponentenzerlegung in der Ebene)

Zunächst untersuchen wir, ob die drei Vektoren

linear abhängig oder unabhängig sind. Dazu berechnen wir das Spatprodukt

[ a, b, c] = 1 (5 9 − 8 6) − 4 (2 9 − 8 3) + 7 (2 6 − 5 3) = 0.

Die Vektoren sind also linear abhängig. Da die beiden Vektoren a und b nicht parallel sind, lässt sich der Vektor c als Linearkombination von a und b darstellen. Es gibt also Skalare λ und µ so, dass c = λ a + µ b. Die Faktoren λ und µ berechnen sich aus dem linearen Gleichungssystem

Die Komponentenzerlegung in der Ebene führt auf ein lineares Gleichungssystem. Auch die Komponentenzerlegung im Raum lässt sich auf ein lineares Gleichungssystem zurückführen. Altenativ kann die Komponentenzerlegung auch mit Spatprodukten und den Formeln aus Definition 3.14 erfolgen.

Beispiel 3.16 (Linear unabhängige Vektoren, Komponentenzerlegung im Raum)

Wir betrachten die Vektoren

Das Spatprodukt der Vektoren a1, a2 und a3 beträgt

[ a1, a2, a3 ] = 2 ((−1) 2 − 3 1) − 1 (1 2 − 3 0) + (−1) (1 1 − (−1) 0) = −13.

Die Vektoren a1, a2 und a3 sind also linear unabhängig und spannen den ganzen Raum auf. Der Vektor b lässt sich somit in Komponenten bezüglich dieser Vektoren zerlegen:

b = λ1a1 + λ2a2 + λ3a3 .

Die Faktoren λ1, λ2 und λ3 kann man durch