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12 Gewöhnliche Di erenzialgleichungen |
12.4.4 Frequenzgänge
Bei festgehaltener Dämpfung δ, Kreisfrequenz ω0 und Erregeramplitude xE hängen die Amplitude A und der Phasenwinkel ϕ der partikulären Lösung
xp(t) = A cos (ωE t − ϕ)
nur noch von der Erregerfrequenz ωE ab. Diese Abhängigkeit wird durch die sogenannten Frequenzgänge ausgedrückt.
Definition 12.23 (Amplitudenund Phasenfrequenzgang)
Bei einer harmonisch angeregten, gedämpften Schwingung bezeichnet man die Abhängigkeit der Amplitude A und des Phasenwinkels ϕ von der Erregerfrequenz ωE als
L |
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( |
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) = |
» |
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ω2 xE |
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||
Amplitudenfrequenzgang |
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0 |
|
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und |
||||
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ω02 |
ωE2 |
2 4 δ2ωE2 |
|||||||
|
A |
ωE |
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||
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|
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( |
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− |
) + |
|||||
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||||
L Phasenfrequenzgang |
tan ‰ϕ(ωE)Ž = |
2 δ ωE |
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||||||||
|
. |
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|||||||||
ω02 − ωE2 |
|
||||||||||
Zur genauen Untersuchung der Frequenzgänge ist es sinnvoll, dimensionslose Größen einzuführen. Dadurch werden die Frequenzgänge unterschiedlicher Systeme vergleichbar. Eine wichtige Kenngröße ist der Verstärkungsfaktor, also das Verhältnis der Amplitude A der partikulären Lösung zur Erregeramplitude xE:
A |
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ω2 |
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1 |
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0 |
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|
. |
|
= » |
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= ¿ |
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|||
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1 |
2 |
4 |
2 |
2 |
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|||||
xE |
( |
ω2 |
− |
ω2 |
2 |
+ |
4 δ2 ω2 |
|
|
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|
|
|
|
|
||
|
0 |
E |
) |
E |
Á |
|
ω0 |
|
ω0 |
|
ω0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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ÀÁŒ − |
|
‘ + |
|
|
|
|
||
Der Verstärkungsfaktor hängt von zwei dimensionslosen Größen ab, nämlich dem Verhältnis der Dämpfung δ zur Kreisfrequenz ω0 und dem Verhältnis der Erregerkreisfrequenz ωE zur Kreisfrequenz ω0.
Definition 12.24 (Verstärkungsfaktor, Frequenz und Dämpfungsgrad)
Bei einer harmonisch angeregten, gedämpften Schwingung spricht man
L |
vom Verstärkungsfaktor |
V |
= |
|
|
A |
, |
||
|
|
xE |
|||||||
L |
|
|
ωE |
|
|||||
von der dimensionslosen Frequenz |
u = |
|
|
|
|
und |
|||
|
ω0 |
||||||||
L |
|
ϑ = |
|
|
δ |
|
|||
vom Dämpfungsgrad |
|
|
. |
|
|||||
ω0 |
|
||||||||
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12 Gewöhnliche Di erenzialgleichungen |
12.5 Di erenzialgleichungssysteme
Unsere bisherigen Problemstellungen lassen sich jeweils durch eine einzige Di erenzialgleichung beschreiben. Viele praktische Probleme sind jedoch so komplex, dass sie sich nicht in Form einer einzigen Gleichung darstellen lassen. Deshalb erweitern wir den Begri einer Di erenzialgleichung auf ein Di erenzialgleichungssystem. Im Unterschied zu einer Di erenzialgleichung besteht ein Di erenzialgleichungssystem aus mehreren Gleichungen, die mehrere unbekannte Funktionen mit ihren Ableitungen enthalten.
Definition 12.27 (System gewöhnlicher Di erenzialgleichungen)
Ein System von Gleichungen, in dem die Ableitungen mehrerer unbekannter Funktionen vorkommen, nennt man ein System gewöhnlicher Di erenzialgleichungen oder Di erenzialgleichungssystem.
Beispiel 12.37 (Di erenzialgleichungssystem)
Die drei Gleichungen
x˙1 |
x1 |
x2 |
|
= |
0 |
x˙2 |
+ x1 |
− x2 |
x1 x3 |
0 |
|
x˙3 |
− x3 |
+ |
+ x1 x2 |
= |
0 |
|
Di erenzialgleichungssystem für die gesuchten Funktionen x1, x2 und x3 dar. Alle drei |
||||
stellen ein + |
|
− |
= |
|
|
Funktionen hängen von der Variable t ab. Das Di erenzialgleichungssystem ist ein Spezialfall eines nach dem amerikanischen Meteorologen und Mathematiker Edward Norton Lorenz benannten Systems, das als Lösung einen sogenannten Lorenz-Attraktor besitzt. Ì
Di erenzialgleichungssystem
In der Regel sind bei einem Di erenzialgleichungssystem die gesuchten Funktionen so untereinander gekoppelt, dass man die Funktionen nicht einzeln, sondern nur gemeinsam berechnen kann.
Auch bei Di erenzialgleichungssystemen lassen sich Anfangswertund Randwertprobleme formulieren. Bei Anfangswertproblemen beziehen sich alle Angaben auf einen einzigen Variablenwert.
12.5.1 Eliminationsverfahren
Das Eliminationsverfahren für Di erenzialgleichungssysteme verfolgt eine ähnliche Idee wie das Gaußsche Eliminationsverfahren für lineare Gleichungssysteme. Aus allen Di e- renzialgleichungen des Systems wird eine einzige Gleichung hergeleitet, die nur noch eine der gesuchten Funktionen und ihre Ableitungen enthält.
12.5 Di erenzialgleichungssysteme |
501 |
|||||
Beispiel 12.38 (Eliminationsverfahren) |
|
|||||
Beim Di erenzialgleichungssystem |
|
|||||
x˙1 |
|
x˙2 t x1 |
1t x2 |
0 |
|
|
x˙1 |
|
+ 2 x2 |
= t et |
|
||
bietet es |
sich an, die |
erste Gleichung nach x2 aufzulösen, abzuleiten |
|
|||
|
+ |
− |
+ |
= |
|
|
x2 = −t x˙1 Ô x˙2 = −x˙1 − tx¨1
und diese Beziehungen in die zweite Gleichung einzusetzen:
x˙1 − x˙1 − tx¨1 − t x1 − 2 t x˙1 = t et Ô x¨1 + 2 x˙1 + x1 = −et.
Dadurch haben wir das Problem auf eine einzige Di erenzialgleichung für x1 zurückgeführt. Die Lösung dieser linearen Di erenzialgleichung mit konstanten Koe zienten der Ordnung 2 berechnen wir mit den Methoden aus Abschnitt 12.3.4. Die homogene Lösung x1,h folgt aus
λ2 + 2 λ + 1 = 0 Ô λ1,2 = −1 Ô x1,h(t) = C1 e−t + C2 t e−t.
Eine partikuläre Lösung erhalten wir durch einen Störansatz:
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t |
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|
t |
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|
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|
t |
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|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
x1(t) = A e |
, x˙1(t) = A e |
, x¨1 |
(t) = A e |
|
Ô |
|
A e |
|
|
+ 2 A e |
|
+ A e |
|
|
= −e |
|
Ô A = − |
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Insgesamt ergibt sich die allgemeine Lösung |
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|||||||||||||
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|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||
x1(t) = C1 e−t + C2 t e−t |
− |
|
et. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||
Die zweite gesuchte Lösungsfunktion erhalten wir aus der Beziehung von oben: |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
t |
t x˙ |
1 |
t |
C1 e−t |
|
|
C2 |
|
e−t |
|
|
te−t |
|
1 |
|
|
|
|
t |
|
C1 e−t |
|
|
C2 e−t |
t |
1 |
|
1 |
|
|
. Ì |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 et |
|
|
|
|
|
|
4 et |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
( |
) = − |
|
= − ‹− |
|
|
|
|
+ |
|
( |
|
− |
|
) − |
|
|
|
|
• = |
|
‹ |
|
|
|
+ |
|
|
|
( − |
|
) + |
|
|
• |
|
|
|||||
Nicht alle Di erenzialgleichungssysteme sind so einfach strukturiert wie das System aus Beispiel 12.38. Man kann die Idee des Eliminationsverfahrens zwar auf jede Art von Differenzialgleichungssystem anwenden, eine Garantie, dass sich das System auf eine einzige Gleichung reduzieren lässt, hat man allerdings nicht.
Eliminationsverfahren
Beim Eliminationsverfahren versucht man ein System gewöhnlicher Di erenzialgleichungen durch sukzessive Elimination einzelner Funktionen und ihrer Ableitungen auf eine einzige Di erenzialgleichung zurückzuführen. Das Eliminationsverfahren eignet sich für einfache Di erenzialgleichungssysteme mit wenig Gleichungen und mit wenig Funktionen.