Beispiel 7.12 (Bestimmtes Integral symmetrischer Funktionen)

1

a)Der Wert des bestimmten Integrals S−1 sin ‰x + x3Ž dx ist sicherlich null. Der Integrand ist nämlich wegen

7.3.2 Integration durch Substitution

Beim Di erenzieren verketteter Funktionen ist eine innere Ableitung zu berücksichtigen. Entsprechend sorgfältig müssen wir deshalb bei der Integration verketteter Funktionen vorgehen. Bevor wir uns mit dem allgemeinen Sachverhalt vertraut machen, betrachten wir zunächst ein paar einfache Beispiele.

Beispiel 7.13 (Substitutionen)

a) Wir suchen eine Stammfunktion von cos 3x,

S cos 3x dx.

Die Funktion sin 3x ist keine Stammfunktion von cos 3x, denn bei der Ableitung von sin 3x müssen wir die Kettenregel für die innere Funktion u(x) = 3 x berücksichtigen:

(sin 3x)′ = 3 cos 3x.

Mit dem konstanten Faktor 1 können wir jedoch die innere Ableitung u′(x) = 3 eliminieren:

3

b) Um eine Stammfunktion von −2 x e−x2 zu bestimmen, also

S −2 x e−x2 dx

zu berechnen, betrachten wir die innere Funktion u(x) = −x2. Die Ableitung dieser inneren Funktion ist u′(x) = −2 x. Der Faktor −2 x vor der Funktion e−x2 ermöglicht eine einfache Berechnung einer Stammfunktion, denn es gilt

Bei den gerade betrachteten Beispielen spielt die innere Ableitung, die die Kettenregel beim Ableiten erzeugt, eine entscheidende Rolle. Verkettete Funktionen, die in geeigneter Weise die innere Ableitung enthalten, lassen sich durch die sogenannte Substitutionsregel

integrieren. Mit der Beziehung u′ = du gilt nämlich dx

S f(u(x)) u′(x) dx = S f(u) du.

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ du

Satz 7.10 (Integration durch Substitution)

Wenn man die Funktion unter dem Integral als ein Produkt aus einer verketteten Funktion f ○ u und der inneren Ableitung u′ darstellt, dann kann man alternativ auch einfach über die Funktion u integrieren:

S f(u(x)) u′(x) dx = S f(u) du.

In der Praxis legt man zunächst eine geeignete innere Funktion u fest. Für diese Funktion wird dann das Di erenzial du bestimmt. Anschließend ersetzt man im Integral alle Ausdrücke in x durch solche in u.

Substitutionsregel

Eine Stammfunktion kann man durch eine geeignete Substitutionsfunktion u mit folgenden Schritten bestimmen:

(1) Berechne das Verhältnis der Di erenziale du = u′(x). dx

(2) Ersetze im Integral Ausdrücke mit x durch Ausdrücke mit u und ersetze

du dx = ′

u (x)

(3) Führe, falls möglich, die Integration mit der Variablen u durch.

(4) Durch Rücksubstitution erhält man Stammfunktionen, die wieder von x abhängen.

Leider ist die Substitutionsregel kein Allheilmittel. Bereits die Bestimmung einer geeigneten Substitutionsfunktion erfordert oftmals eine trickreiche Vorgehensweise. Nach Anwendung der Substitution ist noch lange nicht gesagt, dass die Integration durchführbar ist. Grundsätzlich gilt: Die Substitution ist erfolgreich, falls das neu entstehende Integral einfacher als das ursprüngliche Integral ist.

Es gibt jedoch ein paar Funktionstypen, bei denen man mithilfe der Substitutionsregel Integrale berechnen kann. Ein paar dieser speziellen Typen betrachten wir im Folgenden genauer.

Der einfachste Substitutionstyp ist die sogenannte lineare Substitution. Dabei hängt die Substitutionsvariable u lediglich linear von x ab, also

u(x) = a x + b,

wobei a ≠ 0 und b beliebige Konstanten sind. Die beiden Di erenziale dx und du unterscheiden sich durch den konstanten Faktor a.

Satz 7.11 (Lineare Substitution)

Die lineare Substitution ist lediglich eine Transformationsregel. Sie ist nur dann zielführend, wenn man nach der Substitution für das neue Integral eine Stammfunktion angeben kann.

Beispiel 7.14 (Lineare Substitutionen)

a) Bei der Stammfunktion

√

S2 x + 1 dx

33 2

Aufgrund der Kettenregel der Di erenziation, siehe Satz 6.9, gilt

‰f(x)2Ž′ = 2 f(x) f′(x).

Wir integrieren diese Gleichung auf beiden Seiten nach der Variablen x:

S ‰f(x)2Ž′ dx = 2 S f(x) f′(x)dx Ô f(x)2 + C = 2 S f(x) f′(x)dx.

Dadurch erhalten wir eine Integrationsregel für Integranden, die aus einem Produkt einer Funktion mit ihrer Ableitung zusammengesetzt sind.

Satz 7.12 (Substitution bei Produkt aus Funktion und Ableitung)

Stammfunktionen, bei denen unter dem Integral das Produkt aus einer Funktion f und ihrer Ableitung f′ steht, kann man durch Substitution berechnen:

Beispiel 7.15 (Substitution bei Produkt aus Funktion und Ableitung)

Das Integral

ln x

S x dx

soll berechnet werden. Bei geeigneter Betrachtung steht unter dem Integral ein Produkt aus Funktion und Ableitung:

Auch bei Integranden, die aus dem Quotient einer Funktion f und ihrer Ableitung f′ bestehen, führt eine geeignete Substitution zum Ziel. Aus Beispiel 7.6 ergibt sich zusammen mit der Kettenregel der Di erenziation, siehe Satz 6.9,

Wieder integrieren wir diese Gleichung auf beiden Seiten nach der Variablen x:

Dadurch erhalten wir eine Integrationsregel für Integranden, die aus einem Quotienten einer Ableitung und ihrer Funktion zusammengesetzt sind.

Satz 7.13 (Substitution bei Quotient aus Ableitung und Funktion)

Stammfunktionen, bei denen unter dem Integral der Quotient aus einer Ableitung f′ und ihrer Funktion f steht, kann man durch Substitution berechnen:

Beispiel 7.16 (Substitution bei Quotient aus Ableitung und Funktion)

Da die Integrationskonstante C eine beliebige reelle Zahl darstellt, ist es gleichgültig, ob im letzten Ausdruck −C oder +C geschrieben wird. Die Rücksubstitution liefert

Auch wenn sich der Integrand als Produkt einer verketteten Funktion und ihrer inneren Ableitung darstellen lässt, ist noch lange nicht gesagt, dass man nach der Substitution für das neue Integral immer eine Stammfunktion angeben kann. Wir betrachten im Folgenden ein paar Beispiele, bei denen die Substitution tatsächlich zum Ziel führt, erinnern aber daran, dass auch die Substitution kein Allheilmittel zur Bestimmung von Stammfunktionen ist.

Beispiel 7.17 (Substitution bei verketteten Funktionen)