2.4 Numerische Verfahren

2.4 Numerische Verfahren

Besonders wertvoll für mathematische Problemstellungen sind konstruktive Lösungen, also Lösungen, bei denen nicht nur die Existenz sichergestellt wird, sondern auch eine Vorschrift angegeben werden kann, wie man die Lösung schrittweise berechnet. Eine solche schrittweise Beschreibung zur Berechnung einer Lösung wird auch als Algorithmus bezeichnet. Diese Bezeichnung geht auf den persischen Mathematiker Muhammad ibn Musa Abu Dscha’far Al-Chwarizmi Anfang des 9. Jahrhunderts zurück. Seit der Verbreitung elektronischer Rechenmaschinen haben Algorithmen dramatisch an Bedeutung gewonnen. Die Numerische Mathematik ist das Teilgebiet der Mathematik, das sich intensiv mit Algorithmen beschäftigt. Ein klassisches Beispiel ist der Algorithmus von Gauß, der in Abschnitt 2.2 enthalten ist. Der russische Mathematiker Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow hat sich ausführlich mit der Komplexität von Algorithmen auseinandergesetzt.

Bei Anwendungen aus der Praxis treten oft Gleichungssysteme mit sehr vielen Unbekannten auf. Wenn alle Gleichungen eine ähnliche Bauart aufweisen, dann lassen sich solche Gleichungssysteme durch Computerprogramme oft mit iterativen Verfahren einfacher lösen als mit dem Eliminationsverfahren von Gauß. Bei einem Iterationsverfahren wird ein und dieselbe Berechnungsvorschrift wiederholt angewendet. Das Ergebnis des letzten Iterationsschrittes verwendet man dabei als Ausgangswert für den nächsten Iterationsschritt.

2.4.1 Jakobi-Iteration

Die nach Carl Gustav Jacob Jacobi benannte Jacobi-Iteration beruht auf einer einfachen Idee. Wir lösen die erste Gleichung nach x1 auf, die zweite nach x2, usw. und berechnen mithilfe dieser umgeformten Gleichungen iterativ Näherungslösungen. Um das Verfahren in Gang zu setzen, benötigen wir Werte, mit denen wir die Berechnung starten können. Bei Problemstellungen aus der Praxis kennt man oftmals gute Startwerte aus früheren Berechnungen oder aus Schätzungen. Falls solche Werte nicht vorliegen, startet man in der Regel bei allen Unbekannten mit dem Wert null.

Beispiel 2.17 (Jacobi-Iteration)

Das lineare Gleichungssystem

soll mit der Jacobi-Iteration gelöst werden. Durch Auflösen der ersten Gleichung nach x1, der zweiten Gleichung nach x2 und der dritten Gleichung nach x3 erhält man die Iterationsvorschrift

68 2 Lineare Gleichungssysteme

Dabei bezeichnen x˜(k) die alten und x˜(k+1) die neuen Näherungswerte. Wenn wir mit den Werten

Zwei Fragen sind bisher noch nicht geklärt: Bei welchen linearen Gleichungssystemen strebt die Jacobi-Iteration auch tatsächlich gegen die Lösung des linearen Gleichungssystems und nach wie vielen Schritten können wir das Verfahren abbrechen? Antworten auf diese Fragen findet man beispielsweise bei [Golub].

2.4.2 Gauß-Seidel-Iteration

Die Gauß-Seidel-Iteration ist eine nahe liegende Verbesserung der Jacobi-Iteration. Sie geht auf Johann Carl Friedrich Gauß und Philipp Ludwig Seidel zurück. Dabei werden die neu berechneten Näherungswerte sofort wieder bei den weiteren Rechenschritten verwendet.

zweiten Gleichung nach x2 und der dritten Gleichung nach x3 erhält man die Iterationsvorschrift

x2 bereits den neuen Wert von x1 und bei der Berechnung von x3 bereits die neuen Werte von x1 und x2. Wenn wir mit den Werten