10.4 Ausgleichsrechnung

10.4 Ausgleichsrechnung

Bei der Ausgleichsrechnung besteht die Aufgabe darin, eine Anzahl von Messpunkten durch eine Modellfunktion anzunähern. Dabei sollen die Abweichungen zwischen den Messpunkten und dem Modell ausgeglichen werden. Gute Verfahren minimieren diese Abweichungen. Wir nehmen an, es liegen n Messpunkte (x1, y1), . . . , (xn, yn) vor. Eine geeignete Modellfunktion f soll diese Punkte möglichst gut annähern. Hat die Modellfunktion genügend freie Parameter, so kann man die Messpunkte exakt durchlaufen. Dann spricht man von Interpolation. Eine einfache Variante der Interpolation haben wir in Abschnitt 5.9.1 kennengelernt. Hat die Modellfunktion jedoch weniger freie Parameter als Messpunkte vorliegen, so kann man die Messpunkte in der Regel nur näherungsweise erreichen. In diesem Fall spricht man von Approximation oder Ausgleichsrechnung.

10.4.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate

Wir machen für diesen Abschnitt einen gedanklichen Sprung. Waren bislang die Funktionen mit mehreren Variablen mit f(x1, . . . , xn) bezeichnet, so betrachten wir nun Funktionen f(c1, . . . , cm). Zu gegebenen Messpunkten (x1, y1), . . . , (xn, yn) und einer ausgewählten Modellfunktion f bestehen die Abweichungen

di = f(xi) − yi, i = 1, . . . , n.

Es stellt sich die Frage, wie diese Abweichungen möglichst klein werden können. Ein möglicher Ansatz ist, die Abweichungen aufzusummieren und diese Summe zu minimieren:

nn

d = Qdi = Q(f(xi) − yi) → min .

i=1 i=1

Ein wesentlicher Nachteil dieses Ansatzes ist, dass sich positive und negative Abweichungen gegenseitig aufheben. Dadurch ist keine hohe Approximationsgüte zu erwarten. In einem zweiten Ansatz könnte man die Beträge der Abweichungen aufsummieren und über die Modellparameter minimieren:

nn

d = QSdiS = QSf(xi) − yiS → min .

i=1 i=1

Dadurch werden alle Abweichungen berücksichtigt. Allerdings ist die Minimierung dieser Summe nicht ganz einfach, da sie Beträge enthält. Terme mit Beträgen ziehen in der Regel Fallunterscheidungen nach sich. Dieses Vorgehen ist also nicht elegant. In einem dritten Ansatz nehmen wir die Quadrate der Abweichungen:

nn

d = Qd2i = Q(f(xi) − yi)2 → min .

i=1 i=1

Dadurch werden wieder alle Abweichungen gleichermaßen berücksichtigt, und die Summe enthält keine störenden Beträge mehr. Dieses Vorgehen nennt man die Methode der kleinsten Fehlerquadrate. Sie geht auf Johann Carl Friedrich Gauß zurück.

Definition 10.16 (Methode der kleinsten Fehlerquadrate)

Die Minimierung bei der Methode der kleinsten Fehlerquadrate läuft dabei über die Modellparameter c1, . . . , cm der Funktion f(x) = f(x, c1, . . . , cm). Wir werden in den folgenden Abschnitten unterschiedliche Typen von Modellfunktionen im Detail betrachten.

10.4.2 Ausgleichsrechnung mit Polynomen

Wir lösen in diesem Abschnitt Ausgleichsprobleme durch einen polynomialen Ansatz. Wir nehmen an, es liegen n Messpunkte (x1, y1), . . . , (xn, yn) vor. Oftmals ist es aus der Erfahrung heraus möglich, einen groben Zusammenhang zwischen den Messwerten yi und den Messstellen xi anzugeben. In vielen Fällen ist dieser Zusammenhang linear oder quadratisch, aber auch ein Zusammenhang in Form eines Polynoms höheren Grades ist möglich.

Definition 10.17 (Ausgleichspolynom)

Ein Ausgleichspolynom ist ein Polynom vom Grad m, welches die Modellparameter c0 bis cm enthält:

f(x, c0, c1, . . . , cm) = c0 + c1 x + c2 x2 + . . . + cmxm.

Beispiel 10.23 (Ausgleichsgerade)

Natürlich könnten wir die Gerade so bestimmen, dass jeweils zwei dieser Fehler null werden,

allerdings wird dadurch der Fehler am dritten Punkt relativ groß. Bei der Methode der kleinsten Fehlerquadrate bestimmt man die Gerade so, dass die Summe der Fehlerquadrate

d = d20 + d21 + d22 → min

minimal wird. Die Gesamtabweichung d ist eine Funktion, die nur noch von c0 und c1 abhängt:

d(c0, c1) = c20 + (c0 + c1 − 1)2 + (c0 + 2 c1 − 4)2.

Mit den partiellen Ableitungen nach c0 und c1 ergeben sich die Bedingungen

Die Vorgehensweise aus Beispiel 10.23 lässt sich auf Polynome vom Grad m

f(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + . . . + cm xm

verallgemeinern. Zu den Daten

(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)

bestimmen wir das Polynom so, dass die Summe der Fehlerquadrate

d(c0, c1, . . . , cm) = (f(x1) − y1)2 + (f(x2) − y2)2 + . . . + (f(xn) − yn)2

minimal wird. Die einzelnen Abweichungen lassen sich in einem Gleichungssystem sehr

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Die dabei auftretende Matrix A ist die sogenannte Vandermondesche Matrix, benannt nach Alexandre-Théophile Vandermonde.

Definition 10.18 (Vandermondesche Matrix)

Die Vandermondesche Matrix zu gegebenen Werten x1, . . . , xn und zu gegebenem Grad m besteht aus Potenzen dieser Werte: