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8 Potenzreihen

Die Funktionen, die uns bisher am wenigsten Probleme bereitet haben, sind Polynome. Polynome lassen sich problemlos ableiten und integrieren. Funktionswerte von Polynomen kann man mit den vier Grundrechenarten berechnen, was mit Computern einfach zu realisieren ist. Potenzreihen beruhen auf der Idee, Funktionen durch Polynome anzunähern. Detailierter betrachten wir diese sogenannten Taylor-Polynome in Abschnitt 8.3.

Beispiel 8.1 (Näherung der e-Funktion durch Polynome)

Wir können leicht ein Polynom p2 vom Grad 2 konstruieren, bei dem auch die zweite Ableitung mit der zweiten Ableitung der Funktion f übereinstimmt, und dabei auf das Polynom p1 zurückgreifen:

Aus der Bedingung p′′2 (0) = 1 ergibt sich der Koe zient a2 = 12 . Dieses Prinzip lässt sich auf Polynome mit beliebigem Grad n erweitern:

Mit diesen Polynomen können wir Näherungswerte für die Funktionswerte von f berechnen:

f(1) = e ≈ p3(1) = 1 + 1 + 1 + 1 = 8 . 2 6 3

Allerdings wissen wir nicht, um wie viel dieser Näherungswert vom exakten Wert abweicht. Ì

Annäherung durch Polynome

Funktionen lassen sich durch Polynome annähern. Dabei stellen sich folgende Fragen:

LWie bestimmt man zu einer Funktion ein geeignetes Näherungspolynom?

LFür welche x-Werte kann man das Näherungspolynom verwenden?

LWie groß ist die Abweichung zwischen Näherungspolynom und Funktion?

Satz 8.1 (Notwendiges Konvergenzkriterium)

Die Reihenglieder einer konvergenten Reihe müssen eine Nullfolge bilden.

Nicht jede Reihe, bei der die Reihenglieder gegen null gehen, konvergiert jedoch. Das haben wir bereits bei der harmonischen Reihe in Beispiel 8.2 gesehen.

Definition 8.3 (Alternierende Reihe)

Eine Reihe, deren Glieder abwechselnd positives und negatives Vorzeichen haben, nennt man alternierend.

Gottfried Wilhelm von Leibniz hat erkannt, dass sich die Frage nach der Konvergenz einer Reihe bei alternierenden Reihen einfacher beantworten lässt als bei nicht alternierenden.

Satz 8.2 (Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen)

Falls die Beträge der Reihenglieder SakS eine monotone Nullfolge bilden, konvergiert die alternierende Reihe gegen einen Grenzwert S. Die Abweichung der n-ten Partialsumme vom Grenzwert S ist kleiner als der Betrag des (n + 1)-ten Reihengliedes:

n

WQ ak − SW < San+1S .

k=0

Das Leibniz-Kriterium garantiert, dass sich die Partialsumme vom Grenzwert um weniger als das erste Reihenglied, das nicht mehr berücksichtigt wurde, unterscheidet. Dadurch ist das Leibniz-Kriterium für praktische Problemstellungen hervorragend geeignet.

Beispiel 8.5 (Leibniz-Kriterium)

Aus Beispiel 8.1 kennen wir ein Näherungspolynom für die e-Funktion. Für x = −1 erhalten wir

Die Summe ist alternierend und die einzelnen Summanden bilden eine monotone Nullfolge. Wenn wir die Zahl e−1 mit einer maximalen Abweichung von 0.5 10−4 bestimmen möchten, dann können wir mit dem Leibniz-Kriterium entscheiden, nach wie vielen Stellen wir die Summe abbrechen:

Für n = 6 ergibt sich

Die Konvergenzuntersuchung bei nicht alternierenden Reihen ist deutlich aufwendiger als bei alternierenden Reihen. Trotzdem gibt es eine Reihe von Kriterien, die einem bei der Frage nach der Konvergenz helfen.

Definition 8.4 (Absolut konvergente Reihe)

∞

Man nennt eine Reihe ∑ ak absolut konvergent, falls die Summe der Beträge der

k=0

∞

Reihenglieder ∑ SakS konvergiert.

k=0

Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. Umgekehrt ist nicht jede konvergente Reihe auch absolut konvergent, siehe Beispiel 8.3 und Beispiel 8.2. Der Vergleich von Reihen liefert manchmal Aussagen über Konvergenz oder Divergenz.

Es gibt zwei Kriterien, mit denen man die Konvergenz oder Divergenz von Reihen anhand der Reihenglieder untersuchen kann. Das Quotientenkriterien geht auf Jean-Baptiste le Rond d’Alembert zurück, das Wurzelkriterium wird Augustin-Louis Cauchy zugeschrieben.

Satz 8.4 (Quotientenund Wurzelkriterium)

Beispiel 8.6 (Quotientenkriterium)

Aus Beispiel 8.1 kennen wir ein Näherungspolynom für die e-Funktion. Wir betrachten nun für einen festen x-Wert die entsprechende unendliche Reihe