5.3 Eigenschaften

Definition 5.18 (Achsensymmetrie)

Man bezeichnet f als eine achsensymmetrische Funktion zur Achse x = x0 auf dem Intervall I, falls für alle x I

f(x0 − x) = f(x0 + x).

Das Schaubild ist symmetrisch zur Achse x = x0.

Definition 5.19 (Ungerade Funktion)

Beispiele ungerader Funktionen sind Potenzfunktionen mit ungeraden Hochzahlen und Polynome, die ausschließlich Glieder mit ungeraden Hochzahlen enthalten. Der Sinus und der Tangens sind ungerade Funktionen, siehe Abschnitt 5.4. Der Begri der ungeraden Funktion lässt sich auf Funktionen, deren Schaubilder symmetrisch zu einem beliebigen Punkt mit den Koordinaten (x0 S y0) sind, verallgemeinern.

Wir haben gezeigt, dass die Funktion zum Punkt mit den Koordinaten (2 S 1) symmetrisch ist. Die Ermittlung der Koordinaten eines Symmetriepunktes ohne geeignete Hilfsmittel aus der Di erenzialrechnung ist verhältnismäßig aufwendig. In Beispiel 6.28 werden wir eine einfachere Methode vorstellen. Ì

Die Verknüpfung symmetrischer Funktionen liefert in der Regel wieder symmetrische Funktionen. Wenn zum Beispiel g eine gerade Funktion und h eine ungerade Funktion ist, dann ist das Produkt f(x) = g(x) h(x) eine ungerade Funktion, denn

f(−x) = g(−x) h(−x) = g(x) (−h(x)) = −f(x).

Auf diese Weise lassen sich die folgenden Beziehungen für gerade und ungerade Funktionen herleiten.

Satz 5.8 (Gerade und ungerade Funktionen)

Gerade und ungerade Funktionen haben folgende Eigenschaften:

LDie Summe und die Di erenz zweier gerader Funktionen ergeben eine gerade Funktion und die Summe und die Di erenz zweier ungerader Funktionen ergeben eine ungerade Funktion.

LDas Produkt zweier gerader oder zweier ungerader Funktionen ergibt eine gerade Funktion und das Produkt einer geraden mit einer ungeraden Funktion ergibt eine ungerade Funktion.

LDer Kehrwert einer geraden Funktion ist eine gerade Funktion und der Kehrwert einer ungeraden Funktion ist eine ungerade Funktion.

Eine Funktion lässt sich in die Summe aus einer geraden Funktion und einer ungeraden Funktion zerlegen.

Satz 5.9 (Zerlegung in gerade und ungerade Funktionen)

Eine Funktion f lässt sich als Summe einer geraden Funktion fg und einer ungeraden Funktion fu darstellen

f(x) = fg(x) + fu(x).

Dabei sind die geraden und ungeraden Anteile definiert durch

fg(x) = f(x) + f(−x) und fu(x) = f(x) − f(−x).

2 2

Der gerade Anteil fg ist der Mittelwert aus f(x) und f(−x), der ungerade Anteil ist der Mittelwert aus f(x) und −f(−x).

Dass fg tatsächlich eine gerade Funktion ist, folgt unmittelbar aus

In ähnlicher Weise zeigt man, dass fu eine ungerade Funktion ist. Wir müssen also nur noch überprüfen, dass die Summe aus fg und fu tatsächlich f ergibt. Das erkennen wir aus

fg(x) + fu(x) = f(x) + f(−x) + f(x) − f(−x) = f(x).

2 2

Die Zerlegung in gerade und ungerade Anteile ist insbesondere bei der Betrachtung von Fourier-Reihen und Fourier-Transformationen von Bedeutung, siehe Kapitel 13 und Kapitel 15.

Beispiel 5.40 (Zerlegung in gerade und ungerade Funktionen)

Bei Polynomen ist die Zerlegung in einen geraden und einen ungeraden Anteil o ensichtlich. Der gerade Anteil besteht aus allen Teilen mit geraden Potenzen und der ungerade Anteil aus allen Teilen mit ungeraden Potenzen. Trotzdem illustrieren wir die Zerlegung an dem Beispiel

f(x) = x3 − 6 x2 + 11 x − 6.

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