der Gleichungen und die Anzahl der Unbekannten gleich ist. Gleichungssysteme, bei denen die Anzahl der Gleichungen kleiner oder größer als die Anzahl der Unbekannten ist, betrachten wir in den folgenden Abschnitten. Eine weitere Einschränkung betri t die Diagonalelemente. Da wir in jedem Schritt durch ein Diagonalelement teilen, dürfen die Diagonalelemente nicht null sein. Konstellationen, bei denen Diagonalelemente null sind, analysieren wir ebenfalls in den folgenden Abschnitten genauer. Die generelle Vorgehensweise ist jedoch in allen Fällen ähnlich.

Rückwärtseinsetzen

Ein lineares Gleichungssystem in Dreiecksform, bei dem die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten ist,

kann man rückwärts lösen. Dabei bestimmt man zuerst xn aus der letzten Gleichung, dann xn−1 aus der zweitletzten, usw. und zum Schluss x1 aus der ersten Gleichung. Es gibt genau dann eine eindeutige Lösung, wenn alle Diagonalelemente aii ungleich null sind.

2.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren

Die Kombination von Vorwärtselimination und Rückwärtseinsetzen bezeichnet man als Grundversion des Gaußschen Eliminationsverfahrens.

Definition 2.2 (Gaußsches Eliminationsverfahren)

Die Lösungsmenge eines linearen Gleichnungssystems kann man mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren durch folgende Schritte berechnen:

(1)Mithilfe von Äquivalenzumformungen erzeugt man durch Vorwärtselimination eine Dreiecksform.

(2)Aus der Dreiecksform erhält man durch Rückwärtseinsetzen die Lösungsmenge.

Beispiel 2.6 (Gaußsches Eliminationsverfahren)

Bei dem linearen Gleichungssystem

wählen wir die erste Zeile als Pivotzeile.

Um die Unbekannte x1 aus der zweiten und dritten Zeile zu eliminieren, wählen wir die Faktoren −1 und −2. Bei der letzten Zeile besteht kein Handlungsbedarf, denn diese Zeile enthält die Unbekannte x1 nicht:

Um das Rechnen mit Brüchen zu vermeiden, ist es nun geschickt, die dritte Zeile als Pivotzeile zu verwenden. Mehr Übersichtlichkeit erhalten wir durch Vertauschen der zweiten und dritten Zeile:

Durch Multiplikation der zweiten Zeile mit den Faktoren −3 und 3 eliminiert man bei der dritten und vierten Zeile jeweils x2:

Schließlich multiplizieren wir die dritte Zeile mit dem Faktor 2 und addieren das Ergebnis zur letzten Zeile:

Der Algorithmus von Gauß ist ein universelles Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. Leider lassen sich nicht alle linearen Gleichungssysteme „straight forward“ nach diesem Schema lösen. Manchmal ist geschicktes Vertauschen von Zeilen oder Spalten erforderlich oder zumindest hilfreich. In Abschnitt 2.3 werden wir wie angekündigt auf ein paar Spezialfälle genauer eingehen.

2.2.5 Rechenschema

Zur Reduzierung des Schreibaufwandes kann man beim Lösen linearer Gleichungssysteme ein vereinfachtes Schema verwenden. Auch für die Erstellung von Computerprogrammen ist ein Rechenschema für lineare Gleichungssysteme vorteilhaft. In diesem Rechenschema sind nur die Koe zienten und Absolutglieder enthalten. Die Unbekannten kommen in diesem Schema nicht explizit vor. Die Koe zienten in der i-ten Spalte gehören zur

Unbekannten xi. Die Gleichheitszeichen werden durch einen senkrechten Strich ersetzt. Dadurch werden die Absolutglieder visuell von den Koe zienten getrennt.

Beispiel 2.7 (Rechenschema beim Gaußschen Eliminationsverfahren)

Das lineare Gleichungssystem aus Beispiel 2.6

schreiben wir als Rechenschema folgendermaßen:

Durch Multiplikation der ersten Zeile mit den Faktoren −1 bzw. −2 erzeugt man in der ersten Spalte der zweiten bzw. dritten Zeile jeweils eine Null. Die letzte Zeile besitzt bereits eine Null in der ersten Spalte. Nun ist es geschickt, die dritte Zeile als Pivotzeile zu verwenden:

Durch Multiplikation der dritten Zeile mit den Faktoren −3 bzw. 3 erzeugt man in der zweiten Spalte der zweiten bzw. vierten Zeile jeweils eine Null. Mehr Übersichtlichkeit erhalten wir durch Vertauschen der zweiten und dritten Zeile:

Die dritte Zeile mit dem Faktor 2 zur letzten Zeile addiert, erzeugt das gewünschte Dreiecksschema:

Aus den Äquivalenzumformungen ergeben sich Regeln für unser Rechenschema. Die Reihenfolge der Zeilen darf jederzeit beliebig vertauscht werden. Jede Zeile darf mit einem beliebigen Faktor ungleich null multipliziert werden. Zu einer Zeile darf ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile addiert werden.