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13 Fourier-Reihen |
Um die Schreibweise weiter zu verkürzen, verwenden wir die Bezeichnungen |
|||||||||||||||||||
c0 |
= |
a0 , |
ck |
= |
ak |
− |
i bk |
, |
c |
k |
= |
ak |
+ |
i bk |
, |
k |
= |
1, 2, 3, . . . |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
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|
Wir arbeiten jetzt also mit komplexen Koe zienten ck, bei denen der Index k auch negative Werte annehmen kann: . . ., c−3, c−2, c−1, c0, c1, c2, c3, . . .. Damit erhalten wir
∞
f(t) = c0 + Q ‰ck ei k ω t + c−k e−i k ω tŽ . k=1
Nun zerlegen wir die Summe in zwei einzelne Summen und beachten die negativen Indizes in der zweiten Summe:
f |
t |
∞ ck ei k ω t |
∞ c |
k e i k ω t |
∞ ck ei k ω t |
−∞ ck ei k ω t |
|
∞ |
ck ei k ω t. |
|||||
|
( |
) = Q |
+ Q |
− |
− |
= Q |
+ Q |
= Q |
|
|||||
|
|
= |
0 |
= |
1 |
|
= |
0 |
k |
=− |
k |
=−∞ |
|
|
|
|
k |
k |
|
k |
1 |
|
|
||||||
Definition 13.5 (Komplexe Fourier-Reihe)
Die Darstellung einer Funktion f mit Periode T in Form einer unendlichen Summe
f |
t |
∞ |
ck ei k ω t, ω |
= |
2 π |
|
|
T |
|||||
|
( |
) = kQ |
|
|
||
|
|
=−∞ |
|
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|
nennt man eine komplexe Fourier-Reihe mit Kreisfrequenz ω. Die komplexen Zahlen ck bezeichnet man als komplexe Fourier-Koe zienten.
Zwischen den reellen und den komplexen Fourier-Koe zienten besteht ein einfacher Zusammenhang. Es ist jederzeit möglich, die komplexen Fourier-Koe zienten aus den reellen Fourier-Koe zienten zu bestimmen und umgekehrt.
Komplexe und reelle Fourier-Koe zienten
Zwischen den reellen Fourier-Koe zienten ak, bk und den komplexen Fourier-Koe zienten ck besteht folgender Zusammenhang:
|
= |
2 Re(c0), |
|
|
|
= |
|
a0 |
|
|
|
|
a0 |
c0 |
|
ak |
2i,bk |
|
|
|
|||||
bk |
= |
2 Im(ck), |
c |
|
k |
= |
ak |
− i bk |
, |
k |
= 1, 2, 3, . . . |
|
ak |
|
2 Re ck |
, |
ck |
|
|
|
2 |
, |
k |
1, 2, 3, . . . |
|
|
= − |
( |
) |
|
− |
|
= |
|
+ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
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|
|
Für negative Indizes werden die komplexen Fourier-Koe zienten in der Regel gar nicht explizit betrachtet. Der komplexe Fourier-Koe zient mit dem Index −k ist ja gerade die konjugiert komplexe Zahl zum Fourier-Koe zienten mit dem Index k:
|
|
|
ak |
+ |
i bk |
|
ak |
− |
i bk |
|
|
|
|
c |
− |
k |
= |
|
= |
|
|
= |
ck. |
||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||
13.2 Komplexe Darstellung |
541 |
Trotzdem darf man die Fourier-Koe zienten mit negativen Indizes in der Summendarstellung in Definition 13.5 nicht unter den Tisch fallen lassen. Gerade das Zusammenspiel der komplexen Zahlen ck und c−k garantiert, dass in der Summe wieder eine reelle Funktion f entsteht. Nochmals: Die Funktion f ist nach wie vor eine reelle Funktion, auch in der Darstellung mit den komplexen Fourier-Koe zienten.
13.2.2 Berechnung komplexer Fourier-Koe zienten
Mit unserer bisherigen Vorgehensweise können wir die komplexen Fourier-Koe zienten nicht direkt aus einer periodischen Funktion bestimmen. Wir müssen zunächst die reellen Fourier-Koe zienten mit den entsprechenden Formeln berechnen und können daraus dann die komplexen Koe zienten erzeugen. Unser Ziel ist es nun, eine Formel herzuleiten, mit der man die komplexen Fourier-Koe zienten ck direkt aus einer Funktion f mit Periode T berechnen kann. Dazu verwenden wir die Integralformeln für ak und bk aus Satz 13.2:
|
ak |
i bk |
1 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
T |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
cos |
|
|
dt |
|
2 |
|
|
sin |
|
k ω t dt. |
||||||
ck |
|
|
|
|
|
|
f |
t |
|
|
k ω t |
|
|
f |
t |
|
|
||||
= |
|
− |
= |
|
S− 2 |
) |
( |
− |
) |
( |
|||||||||||
|
|
T |
|
( |
|
) |
|
S− 2 |
( |
|
) |
||||||||||
|
|
|
2 |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
T |
T |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Beide Integrale erstrecken sich über dasselbe Integrationsintervall und lassen sich deshalb zu einem einzigen Integral zusammenfassen:
ck = |
1 |
T |
f(t) ‰ cos (k ω t) − i sin (k ω t)Ž dt. |
|
2 |
||||
|
|
S− T2 |
||
T |
||||
Unter Berücksichtigung der Symmetrieeigenschaften von Kosinus und Sinus fassen wir mit dem Satz von Euler beide Funktionen zu einer komplexen e-Funktion zusammen:
|
1 |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
T |
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
cos |
|
|
i sin |
|
|
dt |
|
2 |
|
|
e |
|
i k ω t dt. |
||||
ck |
|
|
|
|
f |
t |
|
|
k ω t |
|
k ω t |
|
|
|
f |
t |
|
|
|||||
= T |
|
− T2 |
) ( |
(− |
(− |
= T |
|
) |
− |
||||||||||||||
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
Diese Formel enthält auch den Spezialfall c0 = a20 . Denn für k = 0 vereinfacht sich der Integrand aufgrund von e0 = 1 zu f(t).
Satz 13.4 (Komplexe Fourier-Koe zienten)
Die komplexen Fourier-Koe zienten ck einer Funktion f mit Periode T und Kreisfrequenz ω = 2Tπ kann man mit den folgenden Formeln berechnen:
|
1 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
e |
i k ω t dt, |
|
|
0, |
|
1, |
|
2, . . . |
|||
ck |
|
|
f |
t |
k |
|
|
|
||||||
= T |
= |
± |
± |
|||||||||||
|
S− T2 |
( |
) |
− |
|
|
|
|
||||||
Streng genommen erfolgt die Berechnung der komplexen Fourier-Koe zienten durch Integration einer Funktion mit komplexen Werten. Dieses Problem könnten wir umgehen, indem wir die komplexe Exponentialfunktion in Realund Imaginärteil zerlegen und beide Integrale getrennt berechnen. Allerdings ist es wesentlich eleganter, die imaginäre Einheit i bei der Integration wie eine reelle Konstante zu behandeln, siehe Beispiel 13.8.
