- •1 Grundlagen
- •1.1 Logik und Mengen
- •1.1.1 Aussagenlogik
- •1.1.2 Mengen
- •1.2 Zahlen
- •1.2.1 Natürliche Zahlen
- •1.2.2 Ganze Zahlen
- •1.2.3 Rationale Zahlen
- •1.2.4 Reelle Zahlen
- •1.2.5 Ordnung
- •1.2.6 Intervalle
- •1.2.7 Betrag und Signum
- •1.2.8 Summe und Produkt
- •1.3 Potenz und Wurzel
- •1.3.1 Potenzen
- •1.3.2 Potenzgesetze
- •1.3.3 Wurzeln
- •1.3.4 Binomischer Satz
- •1.4 Trigonometrie
- •1.4.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
- •1.5 Gleichungen und Ungleichungen
- •1.5.1 Lineare Gleichungen
- •1.5.2 Potenzgleichungen
- •1.5.3 Quadratische Gleichungen
- •1.5.4 Wurzelgleichungen
- •1.5.5 Ungleichungen
- •1.6 Beweise
- •1.6.1 Direkter Beweis
- •1.6.2 Indirekter Beweis
- •1.6.3 Konstruktiver Beweis
- •1.6.4 Vollständige Induktion
- •1.7 Aufgaben
- •2 Lineare Gleichungssysteme
- •2.1 Einführung
- •2.2 Gauß-Algorithmus
- •2.2.1 Äquivalenzumformungen
- •2.2.2 Vorwärtselimination
- •2.2.3 Rückwärtseinsetzen
- •2.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren
- •2.2.5 Rechenschema
- •2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme
- •2.3.1 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung
- •2.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen
- •2.3.3 Systeme mit redundanten Gleichungen
- •2.3.4 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme
- •2.3.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
- •2.3.6 Homogene lineare Gleichungssysteme
- •2.3.7 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern
- •2.4 Numerische Verfahren
- •2.4.1 Jakobi-Iteration
- •2.4.2 Gauß-Seidel-Iteration
- •2.5 Anwendungen
- •2.5.1 Produktion
- •2.5.2 Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik
- •2.6 Aufgaben
- •3 Vektoren
- •3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten
- •3.2.1 Addition und Subtraktion
- •3.2.2 Skalare Multiplikation
- •3.2.3 Skalarprodukt
- •3.2.4 Vektorprodukt
- •3.2.5 Spatprodukt
- •3.2.6 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung
- •3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung
- •3.3.1 Koordinatendarstellung
- •3.3.2 Addition und Subtraktion
- •3.3.3 Skalare Multiplikation
- •3.3.4 Skalarprodukt
- •3.3.5 Vektorprodukt
- •3.3.6 Spatprodukt
- •3.3.7 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung
- •3.4 Punkte, Geraden und Ebenen
- •3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem
- •3.4.2 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen
- •3.4.3 Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen
- •3.4.4 Schnitte von Geraden und Ebenen
- •3.4.5 Abstände
- •3.4.6 Winkel
- •3.5 Anwendungen
- •3.5.1 Kraft
- •3.5.2 Arbeit
- •3.5.3 Drehmoment
- •3.6 Aufgaben
- •4 Matrizen
- •4.2 Rechnen mit Matrizen
- •4.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation
- •4.2.2 Multiplikation von Matrizen
- •4.3 Determinanten
- •4.3.1 Determinante einer (2,2)-Matrix
- •4.3.2 Determinante einer (3,3)-Matrix
- •4.3.3 Determinante einer (n,n)-Matrix
- •4.4 Inverse Matrix
- •4.4.1 Invertierbare Matrizen
- •4.4.2 Inverse einer (2,2)-Matrix
- •4.4.3 Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem
- •4.5 Lineare Abbildungen
- •4.5.1 Matrizen als Abbildungen
- •4.5.2 Kern, Bild und Rang
- •4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
- •4.7 Numerische Verfahren
- •4.7.1 Potenzmethode
- •4.8 Anwendungen
- •4.9 Aufgaben
- •5 Funktionen
- •5.1 Einführung
- •5.1.2 Wertetabelle
- •5.1.3 Schaubild
- •5.1.4 Explizite und implizite Darstellung
- •5.1.6 Funktionsschar
- •5.1.7 Verkettung von Funktionen
- •5.2 Polynome und rationale Funktionen
- •5.2.1 Potenzfunktionen mit ganzen Hochzahlen
- •5.2.2 Polynome
- •5.2.3 Gebrochenrationale Funktionen
- •5.3 Eigenschaften
- •5.3.1 Symmetrie
- •5.3.2 Periode
- •5.3.3 Monotonie
- •5.3.4 Beschränktheit
- •5.4 Sinus, Kosinus und Tangens
- •5.4.2 Eigenschaften
- •5.5 Grenzwert und Stetigkeit
- •5.5.1 Zahlenfolgen
- •5.5.2 Grenzwert einer Funktion
- •5.5.3 Stetigkeit
- •5.5.4 Asymptotisches Verhalten
- •5.6.1 Exponentialfunktionen
- •5.6.2 Die e-Funktion
- •5.6.3 Hyperbelfunktionen
- •5.7 Umkehrfunktionen
- •5.7.1 Das Prinzip der Umkehrfunktion
- •5.7.2 Wurzelfunktionen
- •5.7.3 Arkusfunktionen
- •5.7.4 Logarithmusfunktionen
- •5.7.5 Area-Funktionen
- •5.8 Numerische Verfahren
- •5.8.1 Berechnung von Funktionswerten
- •5.8.2 Bisektionsverfahren
- •5.9 Anwendungen
- •5.9.1 Messwerte
- •5.9.2 Industrieroboter
- •5.10 Aufgaben
- •6.1 Steigung und Ableitungsfunktion
- •6.1.3 Ableitungsfunktion
- •6.1.5 Höhere Ableitungen
- •6.2 Ableitungstechnik
- •6.2.1 Ableitungsregeln
- •6.2.2 Ableitung der Umkehrfunktion
- •6.2.5 Zusammenfassung
- •6.3 Regel von Bernoulli-de l’Hospital
- •6.4 Geometrische Bedeutung der Ableitungen
- •6.4.1 Neigungswinkel und Schnittwinkel
- •6.4.2 Monotonie
- •6.4.3 Krümmung
- •6.4.4 Lokale Extrema
- •6.4.5 Wendepunkte
- •6.4.6 Globale Extrema
- •6.5 Numerische Verfahren
- •6.5.2 Newton-Verfahren
- •6.5.3 Sekantenverfahren
- •6.6 Anwendungen
- •6.6.1 Fehlerrechnung
- •6.6.2 Extremwertaufgaben
- •6.7 Aufgaben
- •7 Integralrechnung
- •7.1 Flächenproblem
- •7.1.1 Integralsymbol
- •7.1.2 Integral als Grenzwert von Summen
- •7.1.3 Bestimmtes Integral
- •7.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral
- •7.2.1 Integralfunktion
- •7.2.2 Stammfunktion
- •7.2.3 Bestimmtes Integral und Stammfunktion
- •7.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung
- •7.3 Integrationstechnik
- •7.3.1 Integrationsregeln
- •7.3.2 Integration durch Substitution
- •7.3.3 Partielle Integration
- •7.3.4 Gebrochenrationale Funktionen
- •7.3.5 Uneigentliche Integrale
- •7.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen
- •7.4.1 Flächeninhalte
- •7.4.2 Bogenlänge
- •7.4.3 Rotationskörper
- •7.5 Numerische Verfahren
- •7.5.1 Trapezregel
- •7.5.2 Romberg-Verfahren
- •7.6 Anwendungen
- •7.6.2 Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen
- •7.7 Aufgaben
- •8 Potenzreihen
- •8.1 Unendliche Reihen
- •8.2 Potenzreihen und Konvergenz
- •8.3 Taylor-Reihen
- •8.4 Eigenschaften
- •8.5 Numerische Verfahren
- •8.5.1 Berechnung von Funktionswerten
- •8.6 Anwendungen
- •8.6.1 Normalverteilung in der Statistik
- •8.7 Aufgaben
- •9 Kurven
- •9.1 Parameterdarstellung
- •9.2 Kegelschnitte
- •9.3 Tangente
- •9.4 Krümmung
- •9.5 Bogenlänge
- •9.6 Numerische Verfahren
- •9.6.1 Bézier-Kurve
- •9.7 Anwendungen
- •9.7.1 Mechanik
- •9.7.2 Straßenbau
- •9.8 Aufgaben
- •10 Funktionen mit mehreren Variablen
- •10.1.2 Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen
- •10.1.3 Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien
- •10.2 Grenzwert und Stetigkeit
- •10.2.1 Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen
- •10.2.2 Stetigkeit
- •10.3.3 Gradient und Richtungsableitung
- •10.3.5 Höhere partielle Ableitungen
- •10.3.6 Extremwerte
- •10.4 Ausgleichsrechnung
- •10.4.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate
- •10.4.2 Ausgleichsrechnung mit Polynomen
- •10.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung
- •10.5 Vektorwertige Funktionen
- •10.6 Numerische Verfahren
- •10.6.1 Mehrdimensionales Newton-Verfahren
- •10.6.2 Gradientenverfahren
- •10.7 Anwendungen
- •10.7.1 Fehlerrechnung
- •10.8 Aufgaben
- •11 Komplexe Zahlen und Funktionen
- •11.1.1 Komplexe Zahlen
- •11.1.2 Gaußsche Zahlenebene
- •11.1.3 Polarkoordinaten
- •11.1.4 Exponentialform
- •11.2 Rechenregeln
- •11.2.1 Gleichheit
- •11.2.2 Addition und Subtraktion
- •11.2.3 Multiplikation und Division
- •11.2.4 Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl
- •11.2.5 Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl
- •11.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome
- •11.3.1 Potenzen
- •11.3.2 Wurzeln
- •11.3.3 Fundamentalsatz der Algebra
- •11.4 Komplexe Funktionen
- •11.4.1 Ortskurven
- •11.4.2 Harmonische Schwingungen
- •11.4.3 Transformationen
- •11.5 Anwendungen
- •11.5.1 Komplexe Wechselstromrechnung
- •11.6 Aufgaben
- •12.1 Einführung
- •12.1.3 Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie
- •12.2.1 Separation der Variablen
- •12.2.2 Lineare Substitution
- •12.3.3 Allgemeine Eigenschaften
- •12.4.1 Allgemeine Form
- •12.4.2 Freie Schwingung
- •12.4.3 Harmonisch angeregte Schwingung
- •12.4.4 Frequenzgänge
- •12.5.1 Eliminationsverfahren
- •12.5.2 Zustandsvariablen
- •12.5.5 Stabilität
- •12.6 Numerische Verfahren
- •12.6.1 Polygonzugverfahren von Euler
- •12.7 Anwendungen
- •12.7.1 Temperaturverlauf
- •12.7.2 Radioaktiver Zerfall
- •12.7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand
- •12.7.4 Feder-Masse-Schwinger
- •12.7.5 Pendel
- •12.7.6 Wechselstromkreise
- •12.8 Aufgaben
- •13 Fourier-Reihen
- •13.1 Fourier-Analyse
- •13.1.1 Periodische Funktionen
- •13.1.2 Trigonometrische Polynome
- •13.1.3 Fourier-Reihe
- •13.1.4 Satz von Fourier
- •13.1.5 Gibbssches Phänomen
- •13.2 Komplexe Darstellung
- •13.2.1 Komplexe Fourier-Reihe
- •13.2.3 Spektrum
- •13.2.4 Minimaleigenschaft
- •13.3 Eigenschaften
- •13.3.1 Symmetrie
- •13.3.2 Integrationsintervall
- •13.3.3 Mittelwert
- •13.3.4 Linearität
- •13.3.5 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
- •13.3.6 Zeitverschiebung
- •13.4 Aufgaben
- •14 Verallgemeinerte Funktionen
- •14.1 Heaviside-Funktion
- •14.2 Dirac-Distribution
- •14.3 Verallgemeinerte Ableitung
- •14.4 Faltung
- •14.5 Aufgaben
- •15 Fourier-Transformation
- •15.1 Integraltransformation
- •15.1.4 Transformation gerader und ungerader Funktionen
- •15.1.5 Darstellung mit Amplitude und Phase
- •15.2 Eigenschaften
- •15.2.1 Linearität
- •15.2.2 Zeitverschiebung
- •15.2.3 Amplitudenmodulation
- •15.2.4 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
- •15.3 Inverse Fourier-Transformation
- •15.3.2 Vertauschungssatz
- •15.3.3 Linearität
- •15.4.3 Multiplikationssatz
- •15.4.5 Faltung
- •15.5 Periodische Funktionen
- •15.5.1 Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe
- •15.5.3 Grenzwertbetrachtung
- •15.6 Anwendungen
- •15.6.1 Lineare zeitinvariante Systeme
- •15.7 Aufgaben
- •16 Laplace-Transformation
- •16.1 Bildbereich
- •16.2 Eigenschaften
- •16.2.1 Linearität
- •16.2.2 Ähnlichkeit
- •16.2.3 Zeitverschiebung
- •16.2.4 Dämpfung
- •16.3.2 Integration
- •16.3.3 Faltung
- •16.3.4 Grenzwerte
- •16.4 Transformation periodischer Funktionen
- •16.5 Rücktransformation
- •16.7 Anwendungen
- •16.7.1 Regelungstechnik
- •16.8 Aufgaben
- •17 z-Transformation
- •17.1 Transformation diskreter Signale
- •17.1.2 z-Transformation und Laplace-Transformation
- •17.2 Eigenschaften
- •17.2.1 Linearität
- •17.2.2 Verschiebung
- •17.2.3 Dämpfung
- •17.4 Anwendungen
- •17.4.1 Zeitkomplexität von Quicksort
- •A Anhang
- •A.1 Ableitungsregeln
- •A.2 Ableitungen
- •A.3 Potenzreihen
- •A.4 Integralregeln
- •A.5 Integrale
- •A.6 Fourier-Reihen
- •A.7 Fourier-Transformationen
- •A.8 Laplace-Transformationen
- •A.9 Griechisches Alphabet
- •A.10 Bedeutende Mathematiker
- •Literaturverzeichnis
- •Sachwortverzeichnis
627
17 z-Transformation
Die z-Transformation ist das diskrete Analogon der Laplace-Transformation. Einer Folge von diskreten Zahlenwerten wird bei der z-Transformation eine Funktion im Bildbereich zugeordnet. Durch die Digitaltechnik hat die z-Transformation immens an Bedeutung gewonnen. Zum Verständnis der wesentlichen Begri e und Eigenschaften der z-Trans- formation ist ein Grundverständnis der Laplace-Transformation aus Kapitel 16 hilfreich, aber nicht unbedingt erforderlich. Querbezüge zwischen der z-Transformation und der Laplace-Transformation stellen wir in Abschnitt 17.1.2 her.
17.1 Transformation diskreter Signale
Ausgangsbasis für die z-Transformation sind Zahlenfolgen, siehe Definition 5.29. Wir betrachten Folgen
(fk) = f0, f1, f2, f3, . . . , fk, . . .
mit unendlich vielen Folgengliedern, die mit dem Index null starten. In der Regel sind die Folgenglieder reelle Zahlen. Die meisten Begri e und Eigenschaften lassen sich jedoch unmittelbar auf Folgen mit komplexen Zahlen übertragen.
Der Fall mit endlich vielen Folgegliedern ist bei unseren Betrachtungen als Spezialfall enthalten. Eine Folge, die nur endlich viele Folgenglieder hat, können wir zu einer unendlichen Folge erweitern, indem wir den restlichen Folgengliedern den Wert null zuordnen.
An der einen oder anderen Stelle kann die Vorstellung hilfreich sein, dass sich die Werte der Folgenglieder durch Abtasten eines kontinuierlichen Signals ergeben. Die z-Transfor- mation stellt jedoch ein mathematisches Werkzeug dar, mit der sich jegliche Art von Zahlenfolgen analysieren lassen.
17.1.1 Definition
Bei der z-Transformation einer Zahlenfolge (fk) wird jedes Folgenglied fk mit dem Faktor z−k multipliziert. Anschließend werden alle Produkte aufsummiert. Da es sich bei der Summe um eine unendliche Reihe handelt, muss sichergestellt sein, dass diese Reihe konvergiert. Sofern z eine komplexe Zahl mit SzS > 1 ist, besteht Ho nung, dass die Reihe konvergiert. Die Folgenglieder werden mit dem Faktor z−k multipliziert. Mit wachsendem k geht dieser Faktor für SzS > 1 gegen null. Wenn die Folgenglieder nicht zu stark anwachsen, geht das Produkt fk z−k entsprechend schnell gegen null und die Summe konvergiert. Die mathematischen Feinheiten der Konvergenzfrage werden wir nicht genauer untersuchen.
628 |
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|
17 z-Transformation |
||
Definition 17.1 (z-Transformation) |
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||||||||||||
Die z-Transformation ordnet einer Folge |
fk |
|
f0, f1, f2, f3, . . . , fk, . . . im Zeitbe- |
|||||||||||||||
reich |
eine Funktion |
F |
|
im |
Bildbereich |
zu.( |
Die z-Transformation der Folge f |
|
ist |
|||||||||
|
|
|
|
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|
|
) = |
( |
k |
) |
||||||||
definiert durch |
s |
|
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|
− |
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|
||||||
|
|
fk |
|
c |
F |
|
z |
|
k 0 |
|
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|
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|
|||
|
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|
|
∞ fk z |
k. |
|
|
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||||||
|
( |
|
) |
|
|
( |
|
) = Q |
|
|
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|
|
|
|||
=
Diec Variables z im Bildbereich ist komplex. Man verwendet das Korrespondenzsymbol für die z-Transformation.
Analog zur Laplace-Transformation verwendet man bei der z-Transformation ebenfalls die Begri e Zeitbereich und Bildbereich.
Die z-Transformation kann man auch als eine Art Potenzreihe, siehe Definition 8.5, interpretieren. Im Gegensatz zu einer Potenzreihe ist die Variable komplex und die Potenzen haben negative Hochzahlen. In der Mathematik bezeichnet man Potenzreihen mit positiven und negativen Hochzahlen als Laurent-Reihen, benannt nach Pierre Alphonse Laurent. Die z-Transformierte ist also eine spezielle Laurent-Reihe.
Beispiel 17.1 (z-Transformation)
a) Bei der Dirac-Folge |
|
|
||
δk = œ |
1 |
für k |
= |
0 |
0 |
sonst |
|
||
hat das erste Folgenglied den Wert 1. Alle ande-
ren Folgenglieder sind null. Entsprechend lautet |
||
die z-Transformation |
||
(δk) |
c s |
F (z) = 1 z0 = 1. |
b)Die Folgenglieder der Folge (σk) haben alle den Wert 1. Die z-Transformation dieser Folge ergibt
|
|
|
c s |
|
|
|
k 0 |
|
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|
− |
|
||
( |
σk |
) |
|
|
|
F |
( |
z |
∞ |
1 |
|
z |
|
k. |
|
|
|
|
|
|
) = Q= |
|
|
|
|
||||
fk 
1 |
|
(δk) |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
k |
fk 
(σk)
1 
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
k |
Bei dieser Summe handelt es sich um eine geometrische Reihe, siehe Beispiel 8.4. Jedoch ist
q = 1 hier nicht reell, sondern komplex. Auch für komplexe Zahlen gilt z
1 + q + q2 + q3 + . . . + qk + . . . = |
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 q |
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||||
allerdings nur für |
q |
1 |
. Dadurch |
ergibt sich |
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||||||||||
S S < |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∞ z |
k |
|
1 |
1 2 |
1 3 |
|
1 |
k |
|
|
1 |
|
|
z |
|
|
|
|
||||||||
F z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
, |
z |
1. |
|
|||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
z |
z |
|
z |
z |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
= |
z 1 |
S S > |
|
Ì |
||||||||||||
( ) = Q0 |
|
= + + ‹ • + ‹ • + + ‹ • + = |
|
− |
− |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
17.1 Transformation diskreter Signale |
629 |
17.1.2 z-Transformation und Laplace-Transformation
Die z-Transformation wirkt auf einer Folge diskreter Werte, die Laplace-Transformation ist für kontinuierliche Funktionen definiert. Aus einer kontinuierlichen Funktion kann man durch Abtasten eine Folge diskreter Werte erzeugen. Dabei betrachten wir einen Abtastvorgang mit konstanter Abtastzeit T . Umgekehrt kann man aus jeder Folge diskreter Werte eine Treppenfunktion erzeugen. Auch dabei betrachten wir Treppen mit konstanter Breite T .
Definition 17.2 (Abtastwerte und Treppenfunktion)
Durch Abtasten einer Funktion f mit konstanter Abtastzeit T entsteht eine Folge diskreter Werte
(fk) = (f(k T )) .
Zu jeder Folge diskreter Werte kann man durch
fT (t) = fk, k T ≤ t < (k + 1)T, k N0
fT (t) |
|
f(t) |
|
|
|
|
|
T 2T · · · |
· · · |
kT · · · |
t |
eine Treppenfunktion erzeugen.
Die Laplace-Transformierte der Treppenfunktion erhalten wir aus den Transformierten der einzelnen Rechteckfunktionen. Die Rechteckfunktion r0 mit der Länge T , die bei t = 0 startet, hat die Laplace-Transformierte
r0(t) c s 1 − e−T s ,
siehe Beispiel 16.7. Die Laplace-Transformation einer um k T nach rechts verschobenen Rechteckfunktion rk ermitteln wir daraus durch Zeitverschiebung, siehe Satz 16.3
rk(t) = r0(t − k T ) c s e−k T s 1 − e−T s .
∞
fT (t) = kQ0 fk rk(t) = f0 r0(t) + f1 r1(t) + f2 r2(t) + . . . + fk rk(t) + . . . |
|
|||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Aufgrund der Linearität der Laplace-Transformation ergibt sich daraus |
|
|
|
|||||||||||||
fT t |
∞ fk rk |
t |
|
|
|
∞ fk e |
|
k T s |
1 |
e−T s |
1 |
e−T s |
∞ fk e |
|
k T s. |
|
c |
s |
− |
|
|
|
− |
||||||||||
( ) = |
k 0 |
( ) |
k 0 |
|
|
− s |
|
− s |
k 0 |
|
||||||
Q |
|
|
|
Q |
|
|
|
= |
|
|
Q |
|
|
|||
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
Die Laplace-Transformation einer Tre enfunktion lässt sich also mithilfe der z-Transfor- mation der diskreten Werte darstellen.