3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten |
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Das Spatprodukt ist eine Abkürzung für die Kombination aus Skalarprodukt und Kreuzprodukt. Abgesehen vom Vorzeichen entspricht der Wert des Spatproduktes dem Volumen des Spats. Mit dem Spatprodukt haben wir nun auch ein Kriterium, mit dem wir entscheiden können, ob drei Vektoren ein Rechtsoder ein Linkssystem bilden.
Vorzeichen des Spatproduktes
Das Vorzeichen des Spatproduktes der drei Vektoren a, b und c gibt Auskunft darüber, ob die Vektoren ein Rechtssystem oder ein Linkssystem bilden:
L |
a, b, c |
] > |
0 |
|
a, b und c bilden ein Rechtssystem |
[ a, b, c |
0 |
a, b und c liegen in einer Ebene |
|||
L |
[ a, b, c |
] = |
0 |
|
a, b und c bilden ein Linkssystem |
L |
[ |
] < |
|
|
|
Die Rechenregeln für das Spatprodukt ergeben sich natürlich aus den Rechenregeln für das Skalarprodukt, siehe Satz 3.3 und aus den Rechenregeln für das Vektorprodukt, siehe Satz 3.4. O ensichtlich ändert sich der Absolutwert des Spatproduktes beim Vertauschen der Reihenfolge der drei Vektoren nicht. Allerdings hat das Vertauschen der Reihenfolge der drei Vektoren Einfluss auf das Vorzeichen des Spatproduktes.
Satz 3.7 (Rechenregeln für das Spatprodukt)
Für beliebige Vektoren a, b und c gilt:
L [ a, b, c] = [ c, a, b] = [ b, c, a]
L [ a, b, c] = − [ a, c, b] = − [ b, a, c] = −[ c, b, a]
3.2.6 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung
Bei der linearen Abhängigkeit betrachtet man nicht einen einzelnen Vektor, sondern das Zusammenspiel von mehreren Vektoren. Wenn man beispielsweise zwei Vektoren betrachtet, dann werden die beiden Vektoren nur in Ausnahmefällen parallel sein. In diesem Ausnahmefall bezeichnet man die beiden Vektoren als linear abhängig. Die typische Situation bei drei Vektoren ist gegeben, wenn nicht alle drei Vektoren in einer Ebene liegen. Entsprechend bezeichnet man drei Vektoren, die in einer Ebene liegen, als linear abhängig.
Definition 3.12 (Lineare Abhängigkeit)
Die Vektoren a1, a2, . . ., an nennt man linear unabhängig, falls die Gleichung
λ1a1 + λ2a2 + . . . + λnan = 0
nur die triviale Lösung λ1 = 0, λ2 = 0, . . ., λn = 0 besitzt. Andernfalls heißen die Vektoren linear abhängig.
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3 Vektoren |
Für zwei Vektoren lautet die Bedingung
λ1a1 + λ2a2 = 0.
Wenn die beiden Vektoren linear abhängig sind, dann gibt es eine nicht triviale Lösung, bei der der erste Faktor λ1 oder der zweite Faktor λ2 ungleich null ist. Somit gilt
a1 = − |
λ2 |
oder a2 = − |
λ1 |
||
|
a2 |
|
a1. |
||
λ1 |
λ2 |
||||
Mit anderen Worten: Zwei linear abhängige Vektoren sind stets parallel.
Satz 3.8 (Lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren)
Zwei Vektoren a1 und a2 sind genau dann linear abhängig, wenn sie parallel sind.
Ganz ähnlich kann man zeigen, dass drei Vektoren genau dann linear abhängig sind, wenn sie in einer Ebene liegen. Drei Vektoren liegen genau dann in einer Ebene, wenn der von den drei Vektoren aufgespannte Spat das Volumen null hat. Somit können wir die lineare Abhängigkeit von drei Vektoren durch das Spatprodukt überprüfen.
Satz 3.9 (Lineare Abhängigkeit von drei Vektoren)
Drei Vektoren a1, a2 und a3 sind genau dann linear abhängig, wenn sie in einer Ebene liegen. Dies ist genau dann der Fall, wenn das Spatprodukt der drei Vektoren null ist:
[ a1, a2, a3 ] = 0.
Falls zwei Vektoren a1 und a2 linear unabhängig sind, also eine Ebene aufspannen, dann kann man jeden Vektor, der ebenfalls in dieser Ebene liegt, durch die beiden Vektoren a1 und a2 ausdrücken. Dieses Prinzip bezeichnet man als Komponentenzerlegung in der
Ebene.
Definition 3.13 (Komponentenzerlegung in der Ebene)
Falls die beiden Vektoren a1 und a2 linear unabhängig und die drei Vektoren a1, a2 und b linear abhängig sind, nennt man
b λ1a1 λ2a2 |
|
|
|
|
die Komponentenzerlegung= + |
des Vektors b in |
|
b |
|
Richtung der Vektoren a1 und a2. |
a |
2 |
||
λ1a1 |
||||
|
|
|
||
a 2
λ2
a1
Die Berechnung der Koe zienten λ1 und λ2 bei der Komponentenzerlegung in der Ebene in Definition 3.13 erfolgt am einfachsten mithilfe der Koordinatendarstellung von Vektoren, siehe Abschnitt 3.3.