- •1 Grundlagen
- •1.1 Logik und Mengen
- •1.1.1 Aussagenlogik
- •1.1.2 Mengen
- •1.2 Zahlen
- •1.2.1 Natürliche Zahlen
- •1.2.2 Ganze Zahlen
- •1.2.3 Rationale Zahlen
- •1.2.4 Reelle Zahlen
- •1.2.5 Ordnung
- •1.2.6 Intervalle
- •1.2.7 Betrag und Signum
- •1.2.8 Summe und Produkt
- •1.3 Potenz und Wurzel
- •1.3.1 Potenzen
- •1.3.2 Potenzgesetze
- •1.3.3 Wurzeln
- •1.3.4 Binomischer Satz
- •1.4 Trigonometrie
- •1.4.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
- •1.5 Gleichungen und Ungleichungen
- •1.5.1 Lineare Gleichungen
- •1.5.2 Potenzgleichungen
- •1.5.3 Quadratische Gleichungen
- •1.5.4 Wurzelgleichungen
- •1.5.5 Ungleichungen
- •1.6 Beweise
- •1.6.1 Direkter Beweis
- •1.6.2 Indirekter Beweis
- •1.6.3 Konstruktiver Beweis
- •1.6.4 Vollständige Induktion
- •1.7 Aufgaben
- •2 Lineare Gleichungssysteme
- •2.1 Einführung
- •2.2 Gauß-Algorithmus
- •2.2.1 Äquivalenzumformungen
- •2.2.2 Vorwärtselimination
- •2.2.3 Rückwärtseinsetzen
- •2.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren
- •2.2.5 Rechenschema
- •2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme
- •2.3.1 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung
- •2.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen
- •2.3.3 Systeme mit redundanten Gleichungen
- •2.3.4 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme
- •2.3.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
- •2.3.6 Homogene lineare Gleichungssysteme
- •2.3.7 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern
- •2.4 Numerische Verfahren
- •2.4.1 Jakobi-Iteration
- •2.4.2 Gauß-Seidel-Iteration
- •2.5 Anwendungen
- •2.5.1 Produktion
- •2.5.2 Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik
- •2.6 Aufgaben
- •3 Vektoren
- •3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten
- •3.2.1 Addition und Subtraktion
- •3.2.2 Skalare Multiplikation
- •3.2.3 Skalarprodukt
- •3.2.4 Vektorprodukt
- •3.2.5 Spatprodukt
- •3.2.6 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung
- •3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung
- •3.3.1 Koordinatendarstellung
- •3.3.2 Addition und Subtraktion
- •3.3.3 Skalare Multiplikation
- •3.3.4 Skalarprodukt
- •3.3.5 Vektorprodukt
- •3.3.6 Spatprodukt
- •3.3.7 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung
- •3.4 Punkte, Geraden und Ebenen
- •3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem
- •3.4.2 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen
- •3.4.3 Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen
- •3.4.4 Schnitte von Geraden und Ebenen
- •3.4.5 Abstände
- •3.4.6 Winkel
- •3.5 Anwendungen
- •3.5.1 Kraft
- •3.5.2 Arbeit
- •3.5.3 Drehmoment
- •3.6 Aufgaben
- •4 Matrizen
- •4.2 Rechnen mit Matrizen
- •4.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation
- •4.2.2 Multiplikation von Matrizen
- •4.3 Determinanten
- •4.3.1 Determinante einer (2,2)-Matrix
- •4.3.2 Determinante einer (3,3)-Matrix
- •4.3.3 Determinante einer (n,n)-Matrix
- •4.4 Inverse Matrix
- •4.4.1 Invertierbare Matrizen
- •4.4.2 Inverse einer (2,2)-Matrix
- •4.4.3 Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem
- •4.5 Lineare Abbildungen
- •4.5.1 Matrizen als Abbildungen
- •4.5.2 Kern, Bild und Rang
- •4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
- •4.7 Numerische Verfahren
- •4.7.1 Potenzmethode
- •4.8 Anwendungen
- •4.9 Aufgaben
- •5 Funktionen
- •5.1 Einführung
- •5.1.2 Wertetabelle
- •5.1.3 Schaubild
- •5.1.4 Explizite und implizite Darstellung
- •5.1.6 Funktionsschar
- •5.1.7 Verkettung von Funktionen
- •5.2 Polynome und rationale Funktionen
- •5.2.1 Potenzfunktionen mit ganzen Hochzahlen
- •5.2.2 Polynome
- •5.2.3 Gebrochenrationale Funktionen
- •5.3 Eigenschaften
- •5.3.1 Symmetrie
- •5.3.2 Periode
- •5.3.3 Monotonie
- •5.3.4 Beschränktheit
- •5.4 Sinus, Kosinus und Tangens
- •5.4.2 Eigenschaften
- •5.5 Grenzwert und Stetigkeit
- •5.5.1 Zahlenfolgen
- •5.5.2 Grenzwert einer Funktion
- •5.5.3 Stetigkeit
- •5.5.4 Asymptotisches Verhalten
- •5.6.1 Exponentialfunktionen
- •5.6.2 Die e-Funktion
- •5.6.3 Hyperbelfunktionen
- •5.7 Umkehrfunktionen
- •5.7.1 Das Prinzip der Umkehrfunktion
- •5.7.2 Wurzelfunktionen
- •5.7.3 Arkusfunktionen
- •5.7.4 Logarithmusfunktionen
- •5.7.5 Area-Funktionen
- •5.8 Numerische Verfahren
- •5.8.1 Berechnung von Funktionswerten
- •5.8.2 Bisektionsverfahren
- •5.9 Anwendungen
- •5.9.1 Messwerte
- •5.9.2 Industrieroboter
- •5.10 Aufgaben
- •6.1 Steigung und Ableitungsfunktion
- •6.1.3 Ableitungsfunktion
- •6.1.5 Höhere Ableitungen
- •6.2 Ableitungstechnik
- •6.2.1 Ableitungsregeln
- •6.2.2 Ableitung der Umkehrfunktion
- •6.2.5 Zusammenfassung
- •6.3 Regel von Bernoulli-de l’Hospital
- •6.4 Geometrische Bedeutung der Ableitungen
- •6.4.1 Neigungswinkel und Schnittwinkel
- •6.4.2 Monotonie
- •6.4.3 Krümmung
- •6.4.4 Lokale Extrema
- •6.4.5 Wendepunkte
- •6.4.6 Globale Extrema
- •6.5 Numerische Verfahren
- •6.5.2 Newton-Verfahren
- •6.5.3 Sekantenverfahren
- •6.6 Anwendungen
- •6.6.1 Fehlerrechnung
- •6.6.2 Extremwertaufgaben
- •6.7 Aufgaben
- •7 Integralrechnung
- •7.1 Flächenproblem
- •7.1.1 Integralsymbol
- •7.1.2 Integral als Grenzwert von Summen
- •7.1.3 Bestimmtes Integral
- •7.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral
- •7.2.1 Integralfunktion
- •7.2.2 Stammfunktion
- •7.2.3 Bestimmtes Integral und Stammfunktion
- •7.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung
- •7.3 Integrationstechnik
- •7.3.1 Integrationsregeln
- •7.3.2 Integration durch Substitution
- •7.3.3 Partielle Integration
- •7.3.4 Gebrochenrationale Funktionen
- •7.3.5 Uneigentliche Integrale
- •7.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen
- •7.4.1 Flächeninhalte
- •7.4.2 Bogenlänge
- •7.4.3 Rotationskörper
- •7.5 Numerische Verfahren
- •7.5.1 Trapezregel
- •7.5.2 Romberg-Verfahren
- •7.6 Anwendungen
- •7.6.2 Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen
- •7.7 Aufgaben
- •8 Potenzreihen
- •8.1 Unendliche Reihen
- •8.2 Potenzreihen und Konvergenz
- •8.3 Taylor-Reihen
- •8.4 Eigenschaften
- •8.5 Numerische Verfahren
- •8.5.1 Berechnung von Funktionswerten
- •8.6 Anwendungen
- •8.6.1 Normalverteilung in der Statistik
- •8.7 Aufgaben
- •9 Kurven
- •9.1 Parameterdarstellung
- •9.2 Kegelschnitte
- •9.3 Tangente
- •9.4 Krümmung
- •9.5 Bogenlänge
- •9.6 Numerische Verfahren
- •9.6.1 Bézier-Kurve
- •9.7 Anwendungen
- •9.7.1 Mechanik
- •9.7.2 Straßenbau
- •9.8 Aufgaben
- •10 Funktionen mit mehreren Variablen
- •10.1.2 Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen
- •10.1.3 Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien
- •10.2 Grenzwert und Stetigkeit
- •10.2.1 Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen
- •10.2.2 Stetigkeit
- •10.3.3 Gradient und Richtungsableitung
- •10.3.5 Höhere partielle Ableitungen
- •10.3.6 Extremwerte
- •10.4 Ausgleichsrechnung
- •10.4.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate
- •10.4.2 Ausgleichsrechnung mit Polynomen
- •10.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung
- •10.5 Vektorwertige Funktionen
- •10.6 Numerische Verfahren
- •10.6.1 Mehrdimensionales Newton-Verfahren
- •10.6.2 Gradientenverfahren
- •10.7 Anwendungen
- •10.7.1 Fehlerrechnung
- •10.8 Aufgaben
- •11 Komplexe Zahlen und Funktionen
- •11.1.1 Komplexe Zahlen
- •11.1.2 Gaußsche Zahlenebene
- •11.1.3 Polarkoordinaten
- •11.1.4 Exponentialform
- •11.2 Rechenregeln
- •11.2.1 Gleichheit
- •11.2.2 Addition und Subtraktion
- •11.2.3 Multiplikation und Division
- •11.2.4 Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl
- •11.2.5 Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl
- •11.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome
- •11.3.1 Potenzen
- •11.3.2 Wurzeln
- •11.3.3 Fundamentalsatz der Algebra
- •11.4 Komplexe Funktionen
- •11.4.1 Ortskurven
- •11.4.2 Harmonische Schwingungen
- •11.4.3 Transformationen
- •11.5 Anwendungen
- •11.5.1 Komplexe Wechselstromrechnung
- •11.6 Aufgaben
- •12.1 Einführung
- •12.1.3 Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie
- •12.2.1 Separation der Variablen
- •12.2.2 Lineare Substitution
- •12.3.3 Allgemeine Eigenschaften
- •12.4.1 Allgemeine Form
- •12.4.2 Freie Schwingung
- •12.4.3 Harmonisch angeregte Schwingung
- •12.4.4 Frequenzgänge
- •12.5.1 Eliminationsverfahren
- •12.5.2 Zustandsvariablen
- •12.5.5 Stabilität
- •12.6 Numerische Verfahren
- •12.6.1 Polygonzugverfahren von Euler
- •12.7 Anwendungen
- •12.7.1 Temperaturverlauf
- •12.7.2 Radioaktiver Zerfall
- •12.7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand
- •12.7.4 Feder-Masse-Schwinger
- •12.7.5 Pendel
- •12.7.6 Wechselstromkreise
- •12.8 Aufgaben
- •13 Fourier-Reihen
- •13.1 Fourier-Analyse
- •13.1.1 Periodische Funktionen
- •13.1.2 Trigonometrische Polynome
- •13.1.3 Fourier-Reihe
- •13.1.4 Satz von Fourier
- •13.1.5 Gibbssches Phänomen
- •13.2 Komplexe Darstellung
- •13.2.1 Komplexe Fourier-Reihe
- •13.2.3 Spektrum
- •13.2.4 Minimaleigenschaft
- •13.3 Eigenschaften
- •13.3.1 Symmetrie
- •13.3.2 Integrationsintervall
- •13.3.3 Mittelwert
- •13.3.4 Linearität
- •13.3.5 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
- •13.3.6 Zeitverschiebung
- •13.4 Aufgaben
- •14 Verallgemeinerte Funktionen
- •14.1 Heaviside-Funktion
- •14.2 Dirac-Distribution
- •14.3 Verallgemeinerte Ableitung
- •14.4 Faltung
- •14.5 Aufgaben
- •15 Fourier-Transformation
- •15.1 Integraltransformation
- •15.1.4 Transformation gerader und ungerader Funktionen
- •15.1.5 Darstellung mit Amplitude und Phase
- •15.2 Eigenschaften
- •15.2.1 Linearität
- •15.2.2 Zeitverschiebung
- •15.2.3 Amplitudenmodulation
- •15.2.4 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
- •15.3 Inverse Fourier-Transformation
- •15.3.2 Vertauschungssatz
- •15.3.3 Linearität
- •15.4.3 Multiplikationssatz
- •15.4.5 Faltung
- •15.5 Periodische Funktionen
- •15.5.1 Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe
- •15.5.3 Grenzwertbetrachtung
- •15.6 Anwendungen
- •15.6.1 Lineare zeitinvariante Systeme
- •15.7 Aufgaben
- •16 Laplace-Transformation
- •16.1 Bildbereich
- •16.2 Eigenschaften
- •16.2.1 Linearität
- •16.2.2 Ähnlichkeit
- •16.2.3 Zeitverschiebung
- •16.2.4 Dämpfung
- •16.3.2 Integration
- •16.3.3 Faltung
- •16.3.4 Grenzwerte
- •16.4 Transformation periodischer Funktionen
- •16.5 Rücktransformation
- •16.7 Anwendungen
- •16.7.1 Regelungstechnik
- •16.8 Aufgaben
- •17 z-Transformation
- •17.1 Transformation diskreter Signale
- •17.1.2 z-Transformation und Laplace-Transformation
- •17.2 Eigenschaften
- •17.2.1 Linearität
- •17.2.2 Verschiebung
- •17.2.3 Dämpfung
- •17.4 Anwendungen
- •17.4.1 Zeitkomplexität von Quicksort
- •A Anhang
- •A.1 Ableitungsregeln
- •A.2 Ableitungen
- •A.3 Potenzreihen
- •A.4 Integralregeln
- •A.5 Integrale
- •A.6 Fourier-Reihen
- •A.7 Fourier-Transformationen
- •A.8 Laplace-Transformationen
- •A.9 Griechisches Alphabet
- •A.10 Bedeutende Mathematiker
- •Literaturverzeichnis
- •Sachwortverzeichnis
7.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral |
|
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303 |
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||||||||||||||
|
Stammfunktionen der wichtigsten Funktionen |
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|
Funktion |
|
Stammfunktion |
|
|
Funktion |
|
|
|
Stammfunktion |
||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
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x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −cos x + C |
||||||
|
S |
eadx |
= |
e 1+ C a 1 |
|
|
|
|
S |
sin x dx |
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
d |
x |
= |
|
|
|
|
x |
+ |
|
C, a |
|
1 |
cos |
x |
d |
x |
|
= |
sin |
x C |
|
|
|
|||||||
|
S |
|
|
|
|
|
a |
|
1 |
+ |
|
≠ − |
S |
|
|
|
+ x C |
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
x C |
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||
|
S |
|
|
d |
|
|
= |
ln+ |
S + |
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
d |
|
= arctan |
+ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||
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|
7.2.3 Bestimmtes Integral und Stammfunktion
Der erste Teil des Hauptsatzes der Di erenzialund Integralrechnung besagt, dass die Integralfunktion A eine Stammfunktion von f ist. Da es zu einer Funktion f keine eindeutig bestimmte Stammfunktion F gibt, müssen wir noch klären, welche Stammfunktion F für die Flächenberechnung die passende Stammfunktion ist. Wegen
A(a) = Sa |
a |
f(x) dx = 0 |
brauchen wir genau die Stammfunktion, die an der Stelle a den Wert 0 hat. Das können wir dadurch erreichen, dass wir eine beliebige Stammfunktion F wählen und dann einfach den Funktionswert an der Stelle a abziehen:
A(t) = Sa |
t |
f(x) dx = F (t) − F (a). |
Somit verfügen wir über eine einfache Strategie, um bestimmte Integrale mithilfe von Stammfunktionen zu ermitteln.
Satz 7.2 (Hauptsatz der Di erenzialund Integralrechnung II)
Das bestimmte Integral einer Funktion f kann man mithilfe einer beliebigen Stammfunktion F von f bestimmen:
bb
S f(x) dx = F (x)V = F (b) − F (a).
aa
Man setzt die Obergrenze b in die Stammfunktion F ein und zieht davon den Wert der Stammfunktion an der Untergrenze a ab.
Die Notation mit dem senkrechten Strich bedeutet, dass bei der Stammfunktion F der Funktionswert an der Stelle b ermittelt wird und davon der Funktionswert an der Stelle a abgezogen wird. Anstelle eines senkrechten Strichs ist auch die Verwendung von zwei eckigen Klammern üblich:
bb
F (x)V = F (x) = F (b) − F (a).
aa
304 |
7 Integralrechnung |
Beispiel 7.7 (Bestimmtes Integral und Stammfunktion)
2
x dx kann man eine beliebige Stammfunktion
1
von f(x) = x verwenden. Die einfachste Wahl ist F (x) = 1 x2. Damit ist
2
2 |
1 |
|
|
2 |
2 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
S1 |
x dx = |
|
x |
|
V1 = 2 − |
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Dasselbe Ergebnis erhalten wir mit der Stammfunktion F |
( |
x |
) = |
1 |
x2 |
+ |
47.11: |
||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
S1 |
x dx = ‹ |
|
|
+ 47.11 •V1 |
= 2 |
+ 47.11 |
− ‹ |
+ 47.11• = |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
b) Wenn wir das bestimmte Integral
S0 |
π |
|
2 |
cos x dx |
berechnen wollen, benötigen wir eine Stammfunktion. Wir wissen bereits, dass die Ableitung von F (x) = sin x die Funktion f(x) = cos x ist. Also ist umgekehrt F (x) = sin x eine Stammfunktion von f(x) = cos x und es gilt
ππ
2 |
2 |
|
π |
|
|
S0 |
cos x dx = sin x V0 |
= sin ‹ |
|
• − sin (0) = 1. |
Ì |
2 |
7.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung
Mittelwerte von Funktionen benötigt man in der Elektrotechnik, um sogenannte E ektivwerte und Wirkleistungen zu berechnen, siehe Abschnitt 7.6.1.
Definition 7.5 (Arithmetisches und quadratisches Mittel)
Bei einer über dem Intervall [a, b] stetigen Funktion f bezeichnet man
L als Mittelwert oder arithmetisches Mittel den Wert
m = b |
1 a |
a |
b |
||
f(x) dx, |
|||||
|
|
− |
|
S |
|
L als quadratisches Mittel den Wert
|
= ¾ |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
1 a |
a b f(x)2 dx. |
|||
f |
|||||||
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
− |
|||
Die Sprechweise ist nicht einheitlich. Manchmal spricht man vom Mittelwert, manchmal auch nur kurz vom Mittel. Beide Begri e beschreiben denselben Sachverhalt.
7.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral |
305 |
Mittelwerte eignen sich, um aus einer Vielzahl von Informationen eine Kennzahl zu generieren. Beim arithmetischen Mittelwert von Zahlen addiert man alle Zahlen und teilt dann durch die Anzahl der Zahlen. Beispielsweise werden Notendurchschnitte durch arithmetische Mittelwerte berechnet. Bei Funktionen übernimmt das Integral die Rolle der Summation und geteilt wird durch die Länge des Integrationsintervalls.
Satz 7.3 (Mittelwertsatz der Integralrechnung)
Bei |
|
einer Funktion f, die auf dem Intervall |
|||||||||
|
a, b |
|
stetig ist, gibt es mindestens eine Stel- |
||||||||
le x |
0] |
|
a, b |
|
mit |
|
|
|
|
||
[ |
|
[ |
|
] |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
b |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f(x0) = m |
= |
|
Sa |
f(x) dx. |
|||
|
|
|
|
b − a |
|||||||
An der Stelle x0 stimmt somit der Funktionswert f(x0) mit dem Mittelwert m überein.
y |
|
|
|
|
|
f(x) |
|
m |
|
|
|
a x0 |
x1 |
x2 |
b x |
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung garantiert, dass es mindestens eine Stelle x0 gibt, an der der Funktionswert mit dem Mittelwert übereinstimmt. Wie viele Stellen es tatsächlich gibt, verrät uns der Mittelwertsatz nicht. Mittelwerte sind in der Regel nicht eindeutig bestimmt. Beispielsweise besitzt die Funktion in der Abbildung von Satz 7.3 genau drei Stellen, nämlich x0, x1 und x2. Außerdem besteht die Möglichkeit, dass es
Stellen x0 außerhalb des Intervalls |
|
a, b |
|
gibt, an denen der Funktionswert f |
x0 |
mit dem |
||||
Mittelwert |
m |
übereinstimmt. |
Durch die Umformung |
( |
) |
|||||
|
|
[ |
|
] |
|
|||||
(b − a)f(x0) = Sa |
b |
|
|
|
|
|
|
|
||
f(x) dx |
|
|
|
|
|
|||||
erkennen wir die anschauliche Bedeutung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung für positive Funktionen. Die Fläche unterhalb der Funktion f zwischen den x-Werten a und b ist gleich groß wie die Fläche des Rechtecks mit der Grundseite b − a und der Höhe f(x0).
Beispiel 7.8 (Mittelwert)
Der Funktionsprototyp f(x) = SxS, bezogen auf das Intervall (−π, π], erzeugt durch die periodische Fortsetzung f(x + 2 π) = f(x) eine periodische Funktion mit Periode T = 2 π. Der Mittelwert über eine ganze Periode ergibt sich als Verhältnis von Fläche zu Periode:
|
1 |
|
π |
1 |
|
2 |
|
π |
||
m = |
S |
−π f(x) dx = |
π |
= |
||||||
2 π |
2 π |
|
2 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y |
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
π |
|
|
−2π |
−π |
π |
2π |
x |
|
Bei der Fläche unter der Funktion handelt es sich um zwei Dreiecke, deren Flächeninhalt zusammen A = π2 beträgt. Die Funktion verläuft im Mittel auf dem Niveau m = π2 . Ì