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Koch_Mathematik fur das Ingenieurstudium.pdf
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7.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen

325

7.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen

Integrale sind uns im Zusammenhang mit der Berechnung von Flächeninhalten bereits begegnet. In diesem Abschnitt werden wir sehen, dass sich Integrale auch zur Bestimmung von Längen und Volumina eigenen.

7.4.1 Flächeninhalte

Aufgrund des Hauptsatzes der Di erenzialund Integralrechnung wissen wir, dass man Flächeninhalte mithilfe von bestimmten Integralen berechnet. Dabei treten veschiedene Aspekte auf, die wir in diesem Abschnitt genauer betrachten. Dazu gehört etwa die Berechnung von Flächeninhalten bei Funktionen mit negativen Funktionswerten und die Berechnung von Flächeninhalten von Flächen, die durch das Schaubild von zwei Funktionen begrenzt werden.

Flächenberechnung

Die Fläche A, die das Schaubild einer nicht negativen Funktion f für x-Werte zwischen a und b mit der x-Achse einschließt, entspricht genau dem bestimmten Integral der Funktion f zwischen a und b:

bb

A = S f(x) dx = F (x)V = F (b) − F (a).

aa

Beispiel 7.29 (Fläche zwischen x2 und der x-Achse)

Die Fläche, die die Funktion f(x) = x2 für x-Werte zwischen −2 und 2 mit der x-Achse einschließt, soll berechnet werden. Die Funktion f(x) = x2 hat keine negativen Funktionswerte. Außerdem können wir die Symmetrie der Funktion ausnutzen und die Berechnung auf das halbe Intervall beschränken. Mit der

Stammfunktion F (x) = 1 x3 ergibt sich der gesuch-

3

te Flächeninhalt zu

2

2

 

1

 

3

2

16

A = 2 S0

x

dx = 2

 

x

 

V0 =

 

.

3

 

3

f (x) = x2 y

4

3

2

1

−3 −2 −1

1 2 3

x

 

Ì

In Beispiel 7.2 haben wir bereits gesehen, dass das bestimmte Integral bei einer Funktion mit negativen Funktionswerten nicht zwingend die Fläche berechnet, die die Funktion mit der x-Achse einschließt. Die Ursache liegt darin, dass das bestimmte Integral bei negativen Funktionswerten einen negativen Wert ergibt. Trotzdem ist die Lösung des Problems o ensichtlich. Wir bestimmen die Nullstellen der Funktion und zerlegen die gesamte Fläche in Bereiche, in denen die Funktion das Vorzeichen nicht wechselt.

326

7 Integralrechnung

Beispiel 7.30 (Fläche zwischen sin x und der x-Achse)

Die Fläche, die der Graph der Funktion f x

sin x

y

 

f(x) = sin x

 

für

x

-Werte zwischen

0

und

2π

mit der

x Achse ein-

 

 

 

 

 

 

 

-( ) =

 

1

 

 

 

 

schließt, soll berechnet werden. In dem betrachte-

 

A+

 

 

 

ten Bereich hat die Funktion die Nullstellen x0

0,

 

 

 

 

 

x1

=

π und x2

=

2 π. Für x-Werte zwischen π und=2π

−1

 

π

A

x

ist

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

die Funktion negativ. Deshalb integrieren wir in

 

 

 

 

 

diesem Bereichπüber −

sin x Insgesamt ergibt sich

 

 

 

 

 

 

.

2π

 

 

π

2π

= 4.

 

 

Ì

 

 

A = S0

 

sin x dx + Sπ

(−sin x) dx = − cos xV0

+ cos xVπ

 

 

Flächenberechnung bei negativen Funktionswerten

Bei der Berechnung des Flächeninhaltes, den das Schaubild einer Funktion f mit der x-Achse bildet, benötigt man alle Nullstellen x0, x1, . . .

der Funktion im Intervall [a, b]. Auf Teilintervallen [xk, xk+1], in denen die Funktion negative Werte annimmt, integriert man über die negative Funktion

A+ = Sxk k+1

(−f(x)) dx.

x

 

y

 

 

 

 

 

 

f(x)

−f(x)

f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

A+

A+

A+

 

 

a

xk

 

xk+1

b

x

 

 

f(x)

 

 

 

Wir betrachten nun Flächen, die durch das Schaubild von zwei Funktionen begrenzt werden. Auch in diesem Fall können wir die Berechnung des Flächeninhalts mithilfe von Integralen durchführen.

Fläche zwischen zwei Funktionen

 

 

 

Den Flächeninhalt A der Fläche, die durch das

y

f(x)

 

Schaubild der beiden Funktionen f und g für

 

 

 

 

 

x-Werte zwischen a und b begrenzt wird, kann

 

 

 

man durch

 

 

 

 

A = Sa

b

 

 

 

(f(x) − g(x)) dx

a

b

x

berechnen. Dabei darf die Funktion f für alle

 

g(x)

 

x-Werte zwischen a und b nicht unterhalb der

 

 

Funktion g verlaufen.

Die Gültigkeit dieser Formel machen wir uns durch eine Annäherung mit Rechtecksummen plausibel. Die Höhe der Rechtecke entspricht gerade der Di erenz der Funktionswerte. Also müssen wir über die Di erenz der beiden Funktionen integrieren. Die Nullstellen der beiden Funktionen spielen dabei keine Rolle.

7.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen

327

Das Berechnungsprinzip lässt sich auch anwenden, wenn die beiden Funktionen abwechselnd oberhalb oder unterhalb voneinander verlaufen. Man zerlegt dann die Fläche in Teilflächen zwischen den Schnittpunkten.

Beispiel 7.31 (Fläche zwischen zwei Funktionen)

a) Die Schaubilder der beiden Funktionen

f(x) = x2 − 6 x + 7, g(x) = 3 − x

begrenzen eine Fläche. Zur Bestimmung des Flächeninhalts A berechnen wir zunächst die x-Werte der Schnittpunkte der beiden Schaubilder. Die zwei x-Werte x1 = 1 und x2 = 4 sind die Lösungen der quadratischen Gleichung

x2 − 6 x + 7 = 3 − x.

y

f (x) = x2 − 6 x + 7

2

1

1

2

3

4

5

6

x

−1

−2

g(x) = 3

Aus der Skizze erkennen wir, dass im Bereich von 1 bis 4 die Funktion g oberhalb von f verläuft. Somit berechnen wir den Flächeninhalt durch

 

= S

4

‰(

3

 

 

 

 

 

x2

6 x

+

7

dx

= S

4

+

5 x

4

Ž

dx

A

 

 

 

x

 

 

x2

 

 

 

 

− ) − (

 

 

 

 

 

‰−

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3

 

5

 

2

 

 

4

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

x

 

+

 

x

 

− 4 x V1

=

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b)

Wir betrachten die beiden Funktionen

y

 

 

 

 

 

 

f

x

sin x,

 

g x

cos x.

f (x) = sin (x)

 

 

 

 

Die

(Schaubilder) =

dieser( ) =Funktionen haben zwar

1

 

 

 

 

 

 

unendlich viele Schnittpunkte, aus Symmetrie-

1

 

 

5

 

x

 

gründen haben aber alle Teilflächen zwischen

π

π

π

 

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

diesen beiden Funktionen denselben Flächenin-

−1

 

 

 

 

 

 

halt. Sinus und Kosinus haben für

 

 

g(x) = cos (x)

 

 

x1 =

π

 

=

5 π

 

 

 

 

 

 

 

 

4 ,

x2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

jeweils dieselben Werte, nämlich

2. Im Bereich von x1

bis x2 verläuft der Sinus ober-

 

2

halb vom Kosinus. Wir

bestimmen den Flächeninhalt A einer einzigen Teilfläche. Dieser ist

 

±

 

 

 

 

 

gegeben durch

 

= S4

5 π

(

 

 

 

= (−

 

 

) U

5 π

A

4

sin x

cos x

dx

cos x

sin x

4

 

 

 

)

 

 

 

4

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

=

 

 

Ì

2 2.

 

 

 

 

7.4.2 Bogenlänge

Unter der Bogenlänge versteht man die Länge, die das Schaubild einer Funktion hat. Dabei wird die Krümmung berücksichtigt. Wir können uns vorstellen, dass wir einen Faden entlang des Schaubildes legen, Anfang und Ende markieren und dann die Länge dieses Fadens mithilfe eines Lineals abmessen.

328

7 Integralrechnung

Satz 7.15 (Bogenlänge)

Das Schaubild einer di erenzierbaren Funktion f für x-Werte zwischen a und b hat die

Bogenlänge

b »

L = S 1 + f(x)2 dx.

a

Die Formel aus Satz 7.15 ist ein Spezialfall der allgemeinen Formel für die Bogenlänge einer parametrisierten Kurve, die wir in Kapitel 9 herleiten werden. Deshalb verzichten wir an dieser Stelle auf eine Herleitung. Allerdings führen wir ein paar Plausibilitätsbetrachtungen durch. Bei einer konstanten Funktion ist die Ableitung überall null und die Formel vereinfacht sich zu

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

dx

 

b a.

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

m x c gilt

 

 

 

Bei einer

=linearen Funktion= −

f x

y

 

 

S

 

 

 

 

( ) =

+

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

L = Sa

1 + m2

dx

 

mb + c

 

f(x) = mx + c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1 + m2 (b a).

 

 

 

 

Das ist gerade der Abstand der beiden Punkte

 

ma + c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mit den

Koordinaten

(

a

S

f

(

a

 

 

 

und

(

b

S

f

(

b

))

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

denn

L = »

 

 

 

 

 

 

))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

b x

 

 

 

 

=

 

(b a).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(b a)2 + (m b m a)2

1 + m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Beispiel 7.32 (Bogenlänge)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Die Bogenlänge des Schaubildes der Funktion

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

f (x) = cosh(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosh x,

 

2

 

 

 

 

 

2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

f

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

berechnet( man) =

mit

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

»1 + sinh2 x dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L = S−2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aufgrund der Symmetrie und wegen

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosh2

2x − sinh2 x = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−3 −2 −1

1 2 3

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gilt L

 

 

 

 

 

 

02

 

2 sinh 2

 

 

e2

 

e−2

 

 

7.2537.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2

0

 

cosh x dx

=

2 sinh x

S

=

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ì

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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