Für die Komponentenzerlegung im Raum benötigt man drei linear unabhängige Vektoren.

Definition 3.14 (Komponentenzerlegung im Raum)

Falls die drei Vektoren a1, a2 und a3 linear unabhängig sind, nennt man

b = λ1a1 + λ2a2 + λ3a3

die Komponentenzerlegung des Vektors b in Richtung der Vektoren a1, a2 und a3. Für die Koe zienten λ1, λ2 und λ3 gilt:

Wir müssen noch klären, wie die Berechnungsformeln der Koe zienten λ1, λ2 und λ3 in Definition 3.14 zu rechtfertigen sind. Dazu multiplizieren wir die Komponentenzerlegung des Vektors b mit dem Vektor a2 × a3:

Da der Vektor a2 × a3 sowohl auf dem Vektor a2 als auch auf dem Vektor a3 senkrecht steht, ergeben die jeweiligen Skalarprodukte null. Dadurch erhalten wir

[b, a2, a3] = λ1 [a1, a2, a3] .

Unter der Voraussetzung, dass die drei Vektoren a1, a2 und a3 linear unabhängig sind, ist das Spatprodukt dieser Vektoren nicht null und wir können die Gleichung nach λ1 auflösen. Auf dieselbe Art erfolgt die Berechnung von λ2 und λ3. Diese Berechnungsmethode ist unter dem Namen Cramersche Regel zum Lösen linearer Gleichungssysteme bekannt, siehe

Satz 4.4.

3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung

Laut Definition 3.1 sind Vektoren mathematische Objekte, die eine bestimmte Richtung und eine bestimmte Länge besitzen. Diese Definition ist zwar geometrisch anschaulich, allerdings erfordert es einigen Aufwand, geometrisch definierte Berechnungen, wie etwa das Skalarprodukt, das Kreuzprodukt oder das Spatprodukt, mit Computerprogrammen zu realisieren. Deshalb wählen wir in diesem Abschnitt einen neuen Ansatz. Wir beschreiben Vektoren durch Koordinaten und klären, wie man die Berechnungen mithilfe dieser Koordinaten durchführen kann.

3.3.3 Skalare Multiplikation

Die Multiplikation des Vektors a mit dem Skalar λ erfolgt durch

λ a = λ (a1 e1 + a2 e2 + a3 e3) = (λ a1)e1 + (λ a2)e2 + (λ a3)e3.

Jede einzelne Koordinate wird also mit dem Faktor λ multipliziert.

Satz 3.12 (Skalare Multiplikation von Vektoren in Koordinaten)

Für die skalare Multiplikation des Vektors a mit dem Skalar λ gilt:

Beispiel 3.9 (Einheitsvektoren)

Zu den Vektoren

sollen die jeweiligen Einheitsvektoren bestimmt werden. Dazu multiplizieren wir jeden Vektor mit dem Kehrwert der jeweiligen Länge:

3.3.4 Skalarprodukt

Entscheidend für das Skalarprodukt zweier Vektoren sind die Skalarprodukte der Basisvektoren. Das Skalarprodukt von zwei Vektoren ist definiert als das Produkt der beiden Längen der Vektoren multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels, siehe Definition 3.7. Zwei verschiedene Basisvektoren stehen immer senkrecht zueinander, dadurch ist ihr Skalarprodukt null. Beim Skalarprodukt eines Basisvektors mit sich selbst sind die beiden Längen jeweils 1 und der Winkel ist 0○. Dadurch ergibt dieses Skalarprodukt immer 1. Insgesamt erhalten wir

Beim Skalarprodukt müssen wir also lediglich sich entsprechende Koordinaten multiplizieren und dann diese Produkte addieren.

Satz 3.13 (Skalarprodukt von Vektoren in Koordinaten)

Für das Skalarprodukt der Vektoren a und b gilt:

Für welche Werte der Koordinate b2 stehen die beiden Vektoren senkrecht und für welche Werte ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren größer als 90○? Die beiden Vektoren a und b stehen senkrecht, falls das Skalarprodukt null ergibt:

Aus den Koordinaten lässt sich das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen:

a b = 1 2 + 2 1 + (−1) 1 = 3.

Mit dem Skalarprodukt berechnen wir den Winkel α zwischen den beiden Vektoren:

Die senkrechte Projektion des Vektors b in Richtung des Vektors a liefert Definition 3.8:

Skalarprodukte ermöglichen die Berechnung von Winkeln. Insbesondere können wir damit die Winkel, die ein Vektor a mit den Basisvektoren einschließt, berechnen: