12.2.1 Separation der Variablen

Eine systematische Methode zur Lösung von Di erenzialgleichungen erster Ordnung geht auf den Schweizer Mathematiker Johann Bernoulli zurück. Allerdings lässt sich die sogenannte Separation der Variablen nicht bei allen Di erenzialgleichungen erster Ordnung durchführen. Voraussetzung zur Anwendung dieser Methode ist, dass die Di erenzialgleichung in expliziter Form vorliegt und sich auf der rechten Seite der Di erenzialgleichung Terme, die nur x enthalten und Terme, die nur y enthalten, trennen lassen.

Definition 12.10 (Separierbare Di erenzialgleichung)

Eine Di erenzialgleichung erster Ordnung, die man in der Form

y′ = f(x) g(y)

schreiben kann, bezeichnet man als separierbar.

Beispiel 12.13 (Separierbare Di erenzialgleichung)

Bei der Di erenzialgleichung y′ = −x ersetzen wir y′ formal durch den Di erenzialquotienten y

dy . Dann formen wir die Gleichung so um, dass auf der linken Seite nur noch Ausdrücke mit y dx

und dy und auf der rechten Seite nur noch Ausdrücke mit x und dx stehen und integrieren auf beiden Seiten:

Liegt eine Di erenzialgleichung erst einmal in separierter Form vor, so führt der Lösungsansatz aus Beispiel 12.13 zum Ziel. Integriert man die separierbare Di erenzialgleichung formal nach x, also

so erhält man durch Einsetzen des Di erenzialquotienten y′ = ddxy und Kürzen von dx

Hinter der formalen Umformung mit den Di erenzialen dx und dy steht die Anwendung der Substitutionsregel für Integrale, siehe Satz 7.10.

Separation der Variablen

Die allgemeine Lösung einer separierbaren Di erenzialgleichung kann man durch folgende Schritte bestimmen:

(1) Ersetze y′ formal durch dy .

dx

(2)Separiere alle Terme in x und alle Terme in y und bringe die Di erenzialgleichung damit in die Form g(y) dy = f(x) dx.

(3)Integriere symbolisch S g(y) dy = S f(x) dx separat auf beiden Seiten.

(4)Löse die integrierte Gleichung nach der gesuchten Funktion y(x) auf.

Beim Integrieren der Gleichung ist zu beachten, dass die unbestimmten Integrale formal auf beiden Seiten jeweils eine Integrationskonstante erzeugen. Zur Vereinfachung kann man diese beiden additiven Konstanten zu einer einzigen Konstante zusammenfassen; siehe dazu Beispiel 12.13 und Beispiel 12.14. Beim letzten Schritt der Separation ist zu beachten, dass das Auflösen der integrierten Gleichung nach der gesuchten Funktion nicht immer möglich ist.

Beispiel 12.14 (Separation der Variablen)

a) Die Di erenzialgleichung y′ = y ist separierbar, denn sie kann in der Form

12.2.2 Lineare Substitution

Di erenzialgleichungen mit einer ganz bestimmten Struktur können unter Umständen durch eine Substitution gelöst werden. Die Idee dabei ist, dass durch eine Variablentransformation eine einfachere Di erenzialgleichung entsteht. Bei einer Di erenzialgleichung der Form

y′ = f(a x + b y + c)

b

Diese neue Di erenzialgleichung in u können wir durch Separation lösen:

Satz 12.1 (Lineare Substitution)

Eine Di erenzialgleichung vom Typ

y′ = f(ax + by + c)

lässt sich mit der linearen Substitution u = a x + b y + c und u′ = a + b y′ in eine separierbare Di erenzialgleichung transformieren.

Beispiel 12.15 (Lineare Substitution)

Bei der Di erenzialgleichung

bietet sich die lineare Substitution u = 1 + x − y an. Unter Berücksichtigung von u′ = 1 − y′ ergibt sich eine neue Di erenzialgleichung:

u + ln Su − 1S = x + C .

12.3 Lineare Di erenzialgleichungen

Im letzten Abschnitt haben wir einige Methoden zur Lösung gewöhnlicher Di erenzialgleichungen kennengelernt. Allerdings sind wir mit diesen Methoden nur in der Lage, ein paar ganz spezielle Typen von Di erenzialgleichungen zu lösen. Nun stellt sich die Frage, ob es nicht ein allgemeines Lösungsprinzip für beliebige Di erenzialgleichungen gibt. Leider ist bisher kein solches universelles Lösungsprinzip bekannt. Wenn wir uns aber auf sogenannte lineare Di erenzialgleichungen beschränken, dann können wir für solche Di erenzialgleichungen mit beliebiger Ordnung ein allgemeines Lösungsprinzip angeben. Eine Di erenzialgleichung bezeichnet man als linear, wenn die gesuchte Funktion und die Ableitungen nur linear vorkommen.

Definition 12.11 (Lineare Di erenzialgleichung)

Eine Di erenzialgleichung, die man in der Form

an(x) y(n) + an−1(x) y(n−1) + . . . + a1(x) y′ + a0(x) y = r(x)

schreiben kann, nennt man eine lineare Di erenzialgleichung n-ter Ordnung. Die Koe zienten a0(x), a1(x), . . ., an(x) und die Störfunktion r(x) sind dabei beliebige Funktionen, die von x abhängen.

12.3.1 Homogene und inhomogene lineare Di erenzialgleichungen

Lineare Di erenzialgleichungen besitzen an vielen Stellen Querverbindungen zu linearen Gleichungssystemen. In der Theorie linearer Gleichungssysteme spielen die homogenen Systeme eine zentrale Rolle. Entsprechend nehmen in der Theorie der linearen Di erenzialgleichungen die Gleichungen ohne Störfunktion eine Sonderrolle ein.

Definition 12.12 (Homogene und inhomogene lineare Di erenzialgleichung)

Eine lineare Di erenzialgleichung mit Störfunktion r nennt man eine inhomogene lineare Di erenzialgleichung. Ist die Störfunktion r die Nullfunktion, dann bezeichnet man die Di erenzialgleichung als eine homogene lineare Di erenzialgleichung.

Die beiden Begri e homogen und inhomogen sind nur im Zusammenhang mit linearen Di erenzialgleichungen sinnvoll. Für nichtlineare Di erenzialgleichungen sind diese Begri e nicht definiert. O ensichtlich besitzt jede homogene lineare Di erenzialgleichung die Nullfunktion als Lösung.

Definition 12.13 (Triviale Lösung)

Jede homogene lineare Di erenzialgleichung hat die triviale Lösung y(x) = 0.

®± ®

a1(x) a0(x) r(x)

zeigt.

c) Bei der Di erenzialgleichung y′ = −x handelt es sich um kein lineares Problem. y

d) Die Di erenzialgleichung y′ = y ist linear und homogen, denn x

®®

a1(x) a0(x)

e) Bei der Gleichung x¨ = D x + cos t handelt es sich um eine inhomogene lineare Di erenzial- m

gleichung, denn sie kann in der Form

Die triviale Lösung ist bei praktischen Problemen in der Regel nicht weiter interessant, da sie den Ruhezustand beschreibt. Neben der trivialen Lösung hat eine homogene Di erenzialgleichung noch andere Lösungen, die wir später alle systematisch berechnen werden. Zu jeder inhomogenen linearen Di erenzialgleichung erhalten wir durch Weglassen der Störfunktion eine entsprechende homogene Di erenzialgleichung. Zur besseren Unterscheidung bezeichnen wir eine Lösung der entsprechenden homogenen Di erenzialgleichung als homogene Lösung yh. Eine Lösung der inhomogenen linearen Di erenzialgleichung bezeichnen wir als partikuläre Lösung yp.

Lineare Di erenzialgleichungen besitzen die schöne Eigenschaft, dass sich durch Addition einer partikulären und einer homogenen Lösung wieder eine Lösung ergibt. Dieser Sachverhalt wird deutlich, wenn wir yh + yp in die Di erenzialgleichung aus Definition 12.11 einsetzen:

an(x) Šyh(n) + yp(n)• + . . . + a1(x) ‰yh′ + yp′ Ž + a0(x) (yh + yp) = r(x) .

Der erste Teil ergibt null, da yh eine Lösung der homogenen Di erenzialgleichung ist und der zweite Teil ergibt gerade die Störfunktion, da yp eine partikuläre Lösung ist.

Satz 12.3 (Addition von homogener und partikulärer Lösung)

Addiert man zu einer partikulären Lösung yp einer linearen Di erenzialgleichung eine Lösung yh der entsprechenden homogenen linearen Di erenzialgleichung, dann ergibt

y(x) = yh(x) + yp(x)

wieder eine Lösung der linearen Di erenzialgleichung.

Eine weitere Eigenschaft linearer Di erenzialgleichungen besteht darin, dass sich die allgemeine Lösung einer inhomogenen Di erenzialgleichung aus einer einzigen partikulären Lösung und der allgemeinen Lösung der entsprechenden homogenen Di erenzialgleichung zusammensetzt. Ein ähnliches Verhalten kennen wir bereits von der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems. Der Nachweis dieser Eigenschaft beruht darauf, dass die Di erenz zweier partikulärer Lösungen yp1 − yp2 eine Lösung der homogenen Di erenzialgleichung ergibt. Somit unterscheiden sich partikuläre Lösungen nur durch homogene Lösungen. Diesen Sachverhalt beweisen wir durch Einsetzen in die Di erenzialgleichung aus Definition 12.11:

Die Di erenz der Störfunktionen auf der rechten Seite der Gleichung ergibt null. Somit ist yp1 − yp2 tatsächlich eine Lösung der homogenen Di erenzialgleichung.

Satz 12.4 (Di erenz partikulärer Lösungen)

Bei einer linearen Di erenzialgleichung ergibt die Di erenz zweier partikulärer Lösungen

yp1(x) − yp2(x) = yh(x)

eine Lösung yh der entsprechenden homogenen linearen Di erenzialgleichung.

Aus Satz 12.3 und Satz 12.4 ergibt sich eine generelle Lösungsstrategie für lineare Di e- renzialgleichungen.

Lösungsstrategie für lineare Di erenzialgleichungen

Die allgemeine Lösung y einer linearen Di erenzialgleichung bestimmt man durch:

(1)Berechne die allgemeine Lösung yh der homogenen Di erenzialgleichung.

(2)Berechne eine partikuläre Lösung yp der inhomogenen Di erenzialgleichung.

(3)Die allgemeine Lösung y setzt sich aus der Summe der allgemeinen Lösung der homogenen Di erenzialgleichung yh und der partikulären Lösung yp zusammen:

y(x) = yh(x) + yp(x).

Die Lösungsstrategie lässt sich natürlich auch auf lineare homogene Di erenzialgleichungen anwenden. Ein homogenes Problem hat stets die triviale Lösung. Auf die Bestimmung einer partikulären Lösung kann man in diesem Fall verzichten.

12.3.2 Lineare Di erenzialgleichungen erster Ordnung

Bevor wir uns mit linearen Di erenzialgleichungen beliebiger Ordnung beschäftigen, betrachten wir zunächst Di erenzialgleichungen erster Ordnung etwas genauer. Lineare homogene Di erenzialgleichungen erster Ordnung lassen sich in der Form

a1(x) y′ + a0(x) y = 0

darstellen. Durch Separation ergibt sich

Die allgemeine Lösung der homogenen linearen Di erenzialgleichung kann durch Integration bestimmt werden:

Satz 12.5 (Lösung homogener linearer Di erenzialgleichungen 1. Ordnung)

Die allgemeine Lösung yh einer homogenen linearen Di erenzialgleichung

a1(x) y′ + a0(x) y = 0

erster Ordnung lässt sich durch Separation bestimmen und lautet

Dividiert man die Di erenzialgleichung

a1(x) y′ + a0(x) y = 0

durch a1(x), so erhält man die ebenfalls gebräuchliche homogene Form

y′ + g(x) y = 0

mit der Lösung

yh(x) = C e− ∫ g(x)dx.

Eine spezielle homogene Lösung erhält man, wenn man C = 1 setzt. Diese Lösung y1 nennt man auch Fundamentallösung. Fundamentallösungen sind für das Verständnis linearer Di erenzialgleichungen von zentraler Bedeutung. Wir werden auf diesen Begri in Abschnitt 12.3.4 nochmals eingehen.

Definition 12.14 (Fundamentallösung)

Die spezielle Lösung

einer homogenen linearen Di erenzialgleichung erster Ordnung

a1(x) y′ + a0(x) y = 0

bezeichnet man als Fundamentallösung.

Beispiel 12.18 (Homogene Di erenzialgleichung erster Ordung)

Die Di erenzialgleichung y′ + 1 y = 0 ist eine lineare Di erenzialgleichung erster Ordnung. Mit x

a1(x) = 1 und a0(x) = 1 ergibt sich die allgemeine Lösung x

Im inhomogenen Fall führt ein kleiner Trick im Ansatz zu einer partikulären Lösung. Bei der sogenannten Variation der Konstanten wird die Größe C in der allgemeinen Lösung der homogenen Di erenzialgleichung nicht als Konstante, sondern als Funktion C(x) aufgefasst. Diese Funktion C(x) wird dann durch Ableiten und Einsetzen in die Di erenzialgleichung bestimmt.

Beispiel 12.19 (Inhomogene Di erenzialgleichung erster Ordung)

Die lineare Di erenzialgleichung

hat die homogene Lösung yh(x) = C , siehe Beispiel 12.18. Zur Bestimmung einer partikulären x

Lösung wählen wir den Ansatz yp(x) = C(x) . Einsetzen in die Di erenzialgleichung ergibt x

Da sich nun alle Ausdrücke, die C(x) enthalten, herauskürzen, können wir direkt nach C′(x) auflösen und C(x) durch Integration bestimmen:

Variation der Konstanten

Eine partikuläre Lösung einer linearen Di erenzialgleichung erster Ordnung

a1(x) y′ + a0(x) y = r(x)

lässt sich durch Variation der Konstanten bestimmen:

(1)Berechne die allgemeine Lösung der homogenen Di erenzialgleichung.

(2)Ersetze die Konstante C in der homogenen Lösung durch eine Funktion C(x). Daraus ergibt sich ein Ansatz yp für eine partikuläre Lösung.

(3)Bestimme die Funktion C(x) durch Einsetzen von yp in die Di erenzialgleichung.

Die Vorgehensweise zur Bestimmung einer partikulären Lösung aus Beispiel 12.19 funktioniert bei allen linearen Di erenzialgleichungen erster Ordnung. Man verwendet den Ansatz

yp(x) = C(x) y1(x) .

Setzt man yp und die Ableitung yp′ in die Di erenzialgleichung ein, so ergibt sich

Wir wissen, dass y1 eine Lösung der homogenen Gleichung ist. Somit gilt

C(x) ‰a1(x) y1′ (x) + a0(x) y1(x)Ž + C′(x) a1(x) y1(x) = r(x) . ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

0

Alle Ausdrücke, die C(x) enthalten, kürzen sich heraus und die Gleichung lässt sich direkt nach C′(x) auflösen: