4.4 Inverse Matrix

4.4.1 Invertierbare Matrizen

Die Lösung einer linearen Gleichung a x = b berechnet man, indem man die Gleichung auf beiden Seiten durch a teilt und dadurch nach x auflöst. Sofern a nicht null ist, erhält man x = ab als eindeutige Lösung. Bei einem linearen Gleichungssystem in Matrixform Ax = b kann man im Prinzip genauso vorgehen. Falls die Determinante einer quadratischen Matrix A ungleich null ist, ist das lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar. Wir versuchen, die Gleichung Ax = b nach x aufzulösen. Dazu multiplizieren wir beide Seiten mit der sogenannten inversen Matrix A−1:

Ax = b Ô A−1 Ax = A−1 b.

Die inverse Matrix A−1 bestimmen wir so, dass das Produkt der Matrizen A−1 und A die Einheitsmatrix E ergibt: A−1 A = E. Dann erhalten wir x = A−1 b.

Definition 4.16 (Inverse Matrix)

Zu jeder quadratischen Matrix A, deren Determinante nicht null ist, gibt es eine eindeutig bestimmte inverse Matrix A−1 so, dass

A−1 A = E.

Eine Matrix A, die eine inverse Matrix besitzt, nennt man invertierbar oder regulär. Eine nicht invertierbare Matrix heißt singulär.

Man kann zeigen, dass aus A−1 A = E auch immer A A−1 = E folgt und umgekehrt. Eine sogenannte linksinverse Matrix ist also immer auch eine rechtsinverse Matrix.

Beispiel 4.22 (Nachweis einer inversen (3,3)-Matrix)

Die Determinante der Matrix A

ist nicht null. Somit ist die Matrix A invertierbar und besitzt eine inverse Matrix A−1. Die Berechnung von A−1 ist aufwendig und wir verzichten auf die Details der Berechnung. Allerdings lässt sich die Vermutung

’8 −1 −3 “

einfach durch Matrixmultiplikation überprüfen:

Definition 4.16 liefert kein Berechnungsverfahren für die inverse Matrix. Wir beschränken uns darauf, die inverse Matrix einer (2, 2)-Matrix anzugeben, siehe Abschnitt 4.4.2. Für n > 2 ist die Berechnung der inversen Matrix aufwendig. Da Problemstellungen in der Praxis ohnehin selten mithilfe der inversen Matrix gelöst werden, verzichten wir auf weitere Details.

4.4.2 Inverse einer (2,2)-Matrix

Die inverse Matrix einer (2, 2)-Matrix existiert nur dann, wenn die Determinante der Matrix nicht null ist. Bei einer (2, 2)-Matrix ergeben sich die Koe zienten der inversen Matrix unmittelbar aus den Koe zienten der Ausgangsmatrix, wobei durch die Determinante geteilt wird.

Satz 4.10 (Inverse einer (2,2)-Matrix)

Falls die Determinante einer (2, 2)-Matrix nicht null ist, kann man die inverse Matrix durch folgende Formel berechnen:

Die Gültigkeit der Formel aus Satz 4.10 lässt sich einfach überprüfen. Dazu multiplizieren wir die beiden Matrizen:

Beispiel 4.23 (Inverse einer (2,2)-Matrix)

Zur Bestimmung der inversen Matrix A−1 der Matrix A benötigen wir die Determinante von A:

Dadurch ergibt sich die inverse Matrix zu

4.4.3 Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem

Die Berechnung der inversen Matrix ist in der Regel aufwendiger als das Lösen eines linearen Gleichungssystems. Wenn man die inverse Matrix jedoch kennt, dann kann man die Lösung eines linearen Gleichungssystems für beliebige rechte Seiten durch einfache Matrixmultiplikationen berechnen.