3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten

Zu jedem Vektor existiert ein entsprechender Gegenvektor. Der Gegenvektor ist gleichlang, hat aber die entgegengesetzte Richtung. In der Physik ist dieses Prinzip bei Kräften unter dem dritten Newtonschen Gesetz als „actio et reactio“ bekannt, siehe [Hering-Martin].

3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten

Beim Rechnen mit Vektoren denken die meisten zunächst an die Koordinatendarstellung von Vektoren. Viele Berechnungen mit Vektoren lassen sich jedoch auch ohne Koordinaten durchführen. Oftmals sind Berechnungen ohne Koordinaten kürzer und eleganter. Außerdem ist das Herleiten von Formeln in der koordinatenfreien Darstellung einfacher.

3.2.1 Addition und Subtraktion

Die Addition zweier Vektoren ergibt einen resultierenden Vektor. Der Betrag und die Richtung des resultierenden Vektors ist so festgelegt, dass der resultierende Vektor in seiner Wirkung der Gesamtwirkung der beiden einzelnen Vektoren entspricht. Am einfachsten kann man sich das bei Kräften in der Mechanik vorstellen. Die resultierende Kraft zweier Einzelkräfte ist so festgelegt, dass die Wirkung der beiden Einzelkräfte und der resultierenden Kraft gleich ist. Die resultierende Kraft ist eine Art Ersatzkraft der beiden Einzelkräfte.

Wenn wir den Vektor a in den Endpunkt von Vektor b parallel verschieben, dann erhalten wir nach einem zu Definition 3.5 analogen Konstruktionsprinzip denselben Summenvektor. Also ergeben die beiden Additionen a+b und b+a wie erwartet dasselbe Ergebnis. Durch wiederholtes Anwenden des Konstruktionsprinzips aus Definition 3.5 kann man auch mehr als zwei Vektoren addieren. Das Ergebnis ist dabei unabhängig von der Reihenfolge.

Satz 3.1 (Rechenregeln für die Vektoraddition)

Für beliebige Vektoren a, b und c gilt:

Die erste Eigenschaft nennt man auch Kommutativgesetz, die zweite Assoziativgesetz. Im Grunde besagen die Rechenregeln der Vektoraddition nur, dass wir mit Vektoren und dem Pluszeichen genauso rechnen dürfen, wie wir es mit Zahlen gewohnt sind. Entsprechendes gilt auch für das Minuszeichen. Durch die Definition des Gegenvektors, siehe Definition 3.4, haben wir bereits festgelegt, was wir unter der Subtraktion von Vektoren verstehen:

a − b = a + (−b) .

In einem Parallelogramm, das durch die Vektoren a und b aufgespannt wird, lassen sich beide Diagonalen jeweils in beide Richtungen durch Addition und Subtraktion der Vektoren a und b darstellen.

3.2.2 Skalare Multiplikation

Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl bezeichnet man als skalare Multiplikation. Die Multiplikation mit einem Skalar ändert lediglich den Betrag des Vektors, die Ausrichtung bleibt erhalten. Ist der Skalar positiv, so ändert sich die Richtung nicht. Die Multiplikation mit einer negativen Zahl erzeugt einen Vektor mit entgegengesetzter Richtung. Auch wenn die Namen ähnlich klingen, sollte man die skalare Multiplikation auf keinen Fall mit dem Skalarprodukt aus Abschnitt 3.2.3 verwechseln.

Definition 3.6 (Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor)

Für die Multiplikation mit einem Skalar verwenden wir denselben Malpunkt wie bei der Multiplikation von zwei Zahlen. Schreibfaul wie die Mathematiker nun einmal sind, ist es auch hier üblich, den Malpunkt einfach wegzulassen. Im Zusammenhang mit Vektoren bezeichnet man üblicherweise Skalare mit griechischen Buchstaben, etwa mit λ oder µ.

Addition und skalare Multiplikation sind zwei verschiedene Operationen für Vektoren. Wir müssen nun prüfen, ob diese beiden Operationen miteinander verträglich sind. Wenn wir einen Vektor durch zwei unterschiedliche Werte skalieren und die entstandenen Vektoren dann addieren, erhalten wir dasselbe Resultat, wie wenn wir den Vektor mit den addierten Werten skalieren. Es spielt auch keine Rolle, ob wir zwei Vektoren erst skalieren und dann addieren oder ob wir die Vektoren erst addieren und dann den resultierenden Vektor entsprechend skalieren. Diese Verträglichkeit von Vektoraddition und skalarer Multiplikation bezeichnet man als Distributivgesetze. Distributivgesetze bedeuten letztendlich nur, dass man Klammern ausmultipizieren darf. Die Gültigkeit der Distributivgesetze kann man sich anschaulich klar machen.

Satz 3.2 (Rechenregeln für die skalare Multiplikation)

Für beliebige Vektoren a, b und Skalare λ, µ gilt:

Die skalare Multiplikation kann man zur Normierung eines Vektors verwenden. Dazu teilt man einen Vektor durch dessen Länge. Der normierte Vektor hat die Länge 1.

Einheitsvektor in Richtung eines Vektors

Zu jedem beliebigen Vektor a ≠ 0 kann man durch Multiplikation mit dem Kehrwert des Betrags des Vektors einen Einheitsvektor in Richtung dieses Vektors a erzeugen:

Der Einheitsvektor in Richtung a hat dieselbe Richtung wie a und die Länge 1.

Zu beachten ist, dass bei der Berechnung eines Einheitsvektors nicht durch den Vektor, sondern durch den Betrag des Vektors geteilt wird. Durch Vektoren kann man nämlich nicht teilen! Eine Folgerung aus der Normierung ist die Darstellung a = SaS ea. Jeder Vektor a lässt sich also aus dem Produkt von Länge und Einheitsvektor in Richtung von a darstellen.

3.2.3 Skalarprodukt

Ein weiteres wichtiges Element ist der Winkel zwischen zwei Vektoren. Unter dem Winkel zwischen zwei Vektoren versteht man denjenigen Winkel, den die beiden Richtungen der Vektoren bilden. Man kann den Winkel zwischen zwei Vektoren ermitteln, indem man die Vektoren so parallel verschiebt, dass ihre Anfangspunkte übereinstimmen.

Das Produkt der Beträge zweier Vektoren mit dem Kosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren bezeichnet man als Skalarprodukt der beiden Vektoren. In der Physik verwendet man das Skalarprodukt zur Berechnung der Arbeit, siehe Abschnitt 3.5.2.