Die Lösung zk entsteht also aus der ersten Lösung z0 durch Multiplikation mit der entsprechenden Einheitswurzel ωk. Anschaulich bewirkt die Multiplikation mit ωk eine Rotation

um den Winkel 2 k π . n

11.3.3 Fundamentalsatz der Algebra

In diesem Abschnitt betrachten wir Polynome vom Grad n, siehe Definition 5.12. Als Veränderliche lassen wir dabei nun auch komplexe Zahlen z zu:

pn(z) = a0 + a1z + a2z2 + . . . + anzn, an ≠ 0.

Auch die Koe zienten ak dürfen komplexe Zahlen sein. Die Funktionseigenschaften dieser Polynome als Abbildungen von der Menge der komplexen Zahlen in die Menge der komplexen Zahlen sind nicht Gegenstand unserer Betrachtungen. Hier interessieren wir uns nur für die Nullstellen der Polynome und auch nur für den Fall, wenn alle Koe zienten ak reell sind.

Die zentrale Aussage besagt, dass jedes nicht konstante Polynom mindestens eine komplexe Nullstelle hat. Durch schrittweises Abspalten von Linearfaktoren, siehe Definition 5.13, kann man bei einem Polynom vom Grad n somit n komplexe Nullstellen garantieren, wobei Nullstellen auch mehrfach auftreten können.

Satz 11.14 (Fundamentalsatz der Algebra)

Jedes Polynom vom Grad n

pn(z) = a0 + a1z + a2z2 + . . . + anzn, an ≠ 0

besitzt im Komplexen genau n Nullstellen. Sind die Koe zienten ak alle reell, dann gibt es zu jeder komplexen Nullstelle a + i b stets eine konjugiert komplexe Nullstelle a − i b.

Der Fundamentalsatz der Algebra klingt zwar einfach, er ist jedoch nicht einfach zu beweisen. Selbst der Beweis, den Johann Carl Friedrich Gauß im Rahmen seiner Dissertation angegeben hat, ist nach heutigem Stand der Mathematik als nicht hundertprozentig vollständig zu bezeichnen. In der Zwischenzeit gibt es eine ganze Reihe unterschiedlicher, vollständig korrekter Beweise des Fundamentalsatzes, siehe [Heuser:Analysis].

Die Aussage über die konjugiert komplexen Nullstellen bei reellen Koe zienten ak lässt sich mit den Rechenregeln für konjugiert komplexe Zahlen beweisen. Wenn z eine Nullstelle des Polynoms pn ist, dann gilt:

pn(z) = Q ak zk = Q ak (zk) = Q (ak zk) = Q ak zk = pn(z) = 0.

Also ist auch z eine Nullstelle des Polynoms pn. Eine unmittelbare Konsequenz des Fundamentalsatzes ist die Zerlegbarkeit eines Polynoms in Linearfaktoren.

Satz 11.15 (Zerlegung von Polynomen in Linearfaktoren)

Ein Polynom vom Grad n lässt sich im Komplexen komplett in Linearfaktoren zerlegen:

pn(z) = a0 + a1z + . . . + anzn = an(z − z1)(z − z2) . . . (z − zn), an ≠ 0.

Dabei können die Nullstellen z1, z2, . . ., zn reell oder komplex sein. Unter Umständen sind Nullstellen mehrfach in der Zerlegung vorhanden.

Der Fundamentalsatz der Algebra ist eine reine Existenzaussage. Er gibt kein Konstruktionsverfahren an, mit dem man die Nullstellen bestimmen kann. Für Polynome vom Grad n = 2 lassen sich Formeln zur Berechnung aller Nullstellen, auch der komplexen, angeben.

Satz 11.16 (Komplexe Lösungen einer quadratischen Gleichung)

Für n = 3 gibt es Formeln, die nach dem italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano benannt sind. Bei der Lösung praktischer Probleme verwendet man zur Bestimmung von Nullstellen von Polynomen vom Grad n > 2 allerdings in der Regel numerische Näherungsverfahren.

Zum Nachweis der Formeln für n = 2 teilt man die Gleichung durch a2 ≠ 0:

Durch quadratisches Ergänzen ergibt sich

Falls die Diskriminante negativ ist, hat diese Gleichung die beiden Lösungen