9.3 Tangente

Ein wichtiges Prinzip in der Mathematik besteht darin, komplizierte Objekte durch einfachere Objekte anzunähern. Man verwendet dieses Prinzip etwa, um eine Funktion durch eine Tangente an einer bestimmten Stelle zu approximieren. Solange man sich in einer kleinen Umgebung der Stelle befindet, macht sich der Unterschied zwischen Funktion und Tangente kaum bemerkbar. Dasselbe Prinzip lässt sich auf Kurven übertragen. Die Tangente einer Kurve wird als Grenzwert definiert.

Der Grenzwert für den Tangentenvektor ist koordinatenweise zu verstehen. Auf den ersten Blick fragt man sich vielleicht in Definition 9.8, warum man den Tangentenvektor nicht

als Grenzwert der Di erenz der beiden Ortsvektoren ohne den Vorfaktor 1 , also durch

definiert hat. Die Antwort auf diese Frage ist nahe liegend. Ohne den Faktor 1 würde t

sich im Grenzwert der Nullvektor ergeben.

Zur Bezeichnung des Tangentenvektors verwenden wir bei Kurven den Ableitungsstrich. Das deutet an, dass man den Tangentenvektor durch die erste Ableitung berechnen kann. Interpretiert man den Grenzwert für den Tangentenvektor koordinatenweise, dann ergibt sich der Tangentenvektor gerade aus den ersten Ableitungen der Koordinatenfunktionen.

Satz 9.2 (Tangentenvektor und Ableitung)

Die Ableitung der Parameterdarstellung einer Kurve c(t) nach dem Parameter t ergibt den Tangentenvektor der Kurve:

Für eine sinnvolle Definition des Tangentenvektors müssen wir natürlich voraussetzen, dass die erste Ableitung jeder einzelnen Koordinatenfunktion existiert. Mit anderen Worten: Wir betrachten nur Kurven mit di erenzierbaren Koordinatenfunktionen.

sind unterschiedlich. Es ändert sich also nicht nur die Richtung des Tangentenvektors, sondern auch die Länge. Ì

In Beispiel 9.8 wird ein und dieselbe Kurve durch unterschiedliche Parametrisierungen beschrieben. Die Richtung der Tangentenvektoren ist unabhängig von der gewählten Parametrisierung. Die Wahl der Parametrisierung hat jedoch Einfluss auf die Länge der Tangentenvektoren. Man bezeichnet deshalb die Richtung der Tangente als eine geometrische Eigenschaft der Kurve. Die Länge der Tangente ist keine geometrische Eigenschaft der Kurve, denn sie hängt von der gewählten Parametrisierung ab. Die Länge des Tangentenvektors entspricht in der Physik der Geschwindigkeit, mit der die Kurve durchlaufen wird.

Definition 9.9 (Singulärer Punkt einer Kurve)

Ein Kurvenpunkt einer Kurve mit der Parameterdarstellung c(t), an dem der Tangentenvektor die Länge null hat, heißt singulärer Punkt. An einem singulären Punkt hält man beim Durchlaufen der Kurve kurz an. Besitzt der Tangentenvektor an einem singulären Punkt einen Vorzeichenwechsel, so spricht man von einem Umkehrpunkt.

Ändert sich die Länge des Tangentenvektors nicht, so wird die Kurve mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufen. Für den Einsatz in Produktionsprozessen sind Parameterdarstellungen mit konstanter Geschwindigkeit besonders gut geeignet. Eine Parameterdarstellung mit der Eigenschaft Sc′(t)S = 1 nennt man Bogenlängenparametrisierung einer Kurve, siehe Definition 9.14. Diese Parametrisierung ist eindeutig. Allerdings ist es bei praktischen Problemen oft schwierig, die Bogenlängenparametrisierung zu bestimmen.

Beispiel 9.9 (Tangenten der Schraubenlinie)

Für die Schraubenlinie mit der Parameterdarstellung aus Beispiel 9.3 berechnen wir den Tangentenvektor durch Ableiten der Koordinatenfunktionen:

Eine Parameterdarstellung der Tangente im Startpunkt der Kurve erhalten wir aus

Dabei ist λ der Parameter in der Punktrichtungsform der Geraden g, siehe Definition 3.19. Ì

9.4 Krümmung

Die Krümmung einer Kurve ist ein Maß dafür, wie stark eine Kurve von der Geraden abweicht. Eine Gerade hat überall die Krümmung null. Krümmungswerte sind auf den Kreis normiert. Einem Kreis mit Radius r ordnet man den konstanten Krümmungswert

κ= 1 zu. Kreise mit kleinen Radien r haben große Krümmungen κ, Kreise mit großen r

Radien r haben kleine Krümmungen κ.

Definition 9.10 (Krümmung einer Raumkurve)

Die Krümmung κ(t) einer Raumkurve mit der Parameterdarstellung c(t) ist definiert durch

κ(t) = Sc′(t) × c′′(t)S.

Sc′(t)S3

Für die Krümmung benötigen wir also die erste und die zweite Ableitung der Parameterdarstellung. Aus diesen beiden Vektoren wird das Kreuzprodukt gebildet. Außerdem benötigt man noch die Länge dieses Kreuzproduktvektors und die Länge des Tangentenvektors. Die Krümmung ist eine geometrische Eigenschaft der Kurve. Man kann unterschiedliche Parametrisierungen derselben Kurve betrachten. Es ergibt sich in ein und demselben Kurvenpunkt bei unterschiedlichen Parameterdarstellungen stets derselbe Krümmungswert.

Beispiel 9.10 (Krümmung der Schraubenlinie)

Die Schraubenlinie mit der Parameterdarstellung aus Beispiel 9.3 hat folgende Ableitungen der

Eine ebene Kurve kann man als Raumkurve interpretieren, die in der Ebene z = 0 liegt. Dadurch kann man Definition 9.10 verwenden, um eine Formel für die Krümmung einer ebenen Kurve herzuleiten:

Der Tangentenvektor hat die Länge

Sc′(t)S = »x′(t)2 + y′(t)2

und das Kreuzprodukt der ersten und zweiten Ableitung berechnen wir nach Satz 3.14 zu

Definition 9.11 (Krümmung einer ebenen Kurve)

Die Krümmung κ(t) einer ebenen Kurve mit der Parameterdarstellung c(t) und den Koordinatenfunktionen x(t) und y(t) ist definiert durch

Manchmal wird in der Literatur die Krümmung in der Ebene auch vorzeichenbehaftet definiert. Dazu lässt man den Betrag im Zähler der Definition der Krümmung weg.

Beispiel 9.11 (Krümmung)

Wir überprüfen die Formel für die Krümmung einer ebenen Kurve anhand einer Parameterdarstellung eines Kreises mit Radius r. Dazu benötigen wir die erste und die zweite Ableitung

Definition 9.12 (Krümmungskreis einer ebenen Kurve)

Der Mittelpunkt des Krümmungskreises einer ebenen Kurve im Punkt c(t0) liegt auf der Geraden, die senkrecht zur Tangente durch den Punkt c(t0) verläuft. Zum Kurvenpunkt hat er den Abstand

r(t0) = 1 . κ(t0)

Der Krümmungskreisradius entspricht dem Kehrwert der Krümmung.