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15 Fourier-Transformation

Die Fourier-Transformation ist ein mächtiges mathematisches Werkzeug, das vor allem dann eingesetzt wird, wenn das Schwingungsverhalten von Funktionen analysiert werden soll. Sie wird in vielen Bereichen der Physik, wie beispielsweise der Akustik, der Optik und der Astrophysik, verwendet. In der Signalverarbeitung und der Kryptographie ist die Fou- rier-Transformation von zentraler Bedeutung. Auch in nicht technischen Bereichen spielt sie eine wichtige Rolle. Mit der Fourier-Transformation werden in den Wirtschaftswissenschaften Aktienkurse analysiert und in der Meereskunde Strömungen untersucht.

Die Fourier-Analyse, die wir in Kapitel 13 bereits kennengelernt haben, zerlegt eine periodische Funktion in eine Summe von Sinusund Kosinusfunktionen. Dadurch werden die Frequenzanteile der periodischen Funktion sichtbar. Der französische Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier hat 1822 eine Methode verö entlicht, mit der man Frequenzanteile auch von nicht periodischen Funktionen bestimmen kann. In diesem Kapitel stellen wir die grundlegenden Ideen dieser Methode vor.

15.1 Integraltransformation

Bei der Fourier-Transformation wird einer Funktion eine neue Funktion zugeordnet. Abbildungen, die Funktionen wieder Funktionen zuordnen, nennt man in der Mathematik Transformationen. Die Fourier-Transformation und die Laplace-Transformation in Kapitel 16 sind mithilfe von Integralen definiert. Man bezeichnet sie deshalb als Integraltransformationen.

Allgemein spricht man bei Abbildungen, die als Argument Funktionen besitzen, auch von Operatoren oder Funktionalen. Das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit solchen Abbildungen beschäftigt, wird als Funktionalanalysis bezeichnet. Wir wählen in diesem Buch einen Zugang zu den Integraltransformationen, der sich auf anwendungsnahe Aspekte beschränkt und kein tieferes Verständnis der Funktionalanalysis erfordert.

15.1.1 Definition

Welchen Sinn und Zweck hat die Fourier-Transformation? Letztendlich verfolgen alle Integraltransformationen dasselbe Ziel. Durch die Transformation bleibt der Informationsgehalt der Ausgangsfunktion erhalten. In der transformierten Funktion steckt dieselbe Information wie in der Ausgangsfunktion. Es handelt sich also nur um eine andere Darstellung der Funktion. Oftmals hat diese neue Art der Darstellung Vorteile gegenüber der

ursprünglichen Darstellung. In der neuen Darstellung kann man bestimmte Eigenschaften der Funktion schneller erfassen oder bestimmte Veränderungen besser vornehmen.

Definition 15.1 (Fourier-Transformation)

Die Fourier-Transformation ordnet einer Funktion s im Zeitbereich eine Funktion S im Frequenzbereich zu. Die Fourier-Transformation von s ist definiert durch

c s ∞ dt.

Die Funktion S wird als Fourier-Transformierte coders als Spektralfunktion bezeichnet. Man verwendet das Korrespondenzsymbol für die Fourier-Transformation.

In diesem Abschnitt bezeichnen wir Funktionen, die transformiert werden, mit Kleinbuchstaben. Für das Ergebnis der Transformation verwenden wir Großbuchstaben. In Anlehnung an die Anwendung in der Signalverarbeitung bezeichnen wir die Funktion, die transformiert wird, als Zeitfunktion und das Ergebnis der Transformation als Frequenzfunktion. Entsprechend verwenden wir die Begri e Zeitbereich und Frequenzbereich. Diese Begri e sollen uns dabei helfen, zwischen der Funktion, die transformiert wird, und dem Ergebnis der Transformation klar zu trennen. Man sollte jedoch nicht vergessen, dass die FourierTransformation auch in vielen Bereichen eingesetzt wird, in denen die Funktionen weder von der Zeit noch von der Frequenz abhängen.

Beim Korrespondenzsymbol c s ist zu beachten, dass üblicherweise der Kreis auf der Seite der Funktion im Zeitbereich nicht ausgefüllt und auf der Seite der Funktion im Frequenzbereich ausgefüllt dargestellt wird.

Die Formel für die Fourier-Transformation hat gewisse Ähnlichkeit mit den Formeln für Fourier-Reihen aus Kapitel 13. Wir werden den Zusammenhang dieser Formeln in Abschnitt 15.5 genauer untersuchen.

Die Definition der Fourier-Transformation basiert auf einem uneigentlichen Integral. Bei uneigentlichen Integralen sind grundsätzlich Grenzwertbetrachtungen erforderlich. Es stellt sich also die Frage, welche Eigenschaften die Funktion s haben muss, damit die FourierTransformierte existiert. Die Beantwortung dieser Frage erfordert ein tiefer gehendes mathematisches Verständnis, sodass wir dieser Frage hier nicht weiter nachgehen. Weitere Informationen zu diesem Thema findet man beispielsweise bei [Heuser:Analysis].

In der Literatur existieren verschiedene Varianten für die Fourier-Transformation, die sich im Wesentlichen durch einen konstanten Faktor vor dem Integral und der Verwendung der Variablen ω = 2 π f unterscheiden. Deshalb ist äußerste Sorgfalt geboten, wenn man bei der Fourier-Transformation Formeln oder Korrespondenzen aus unterschiedlichen Quellen verwendet.

Beispiel 15.3 (Fourier-Transformation mit Realund Imaginärteil)

Da σ(t) für negative t-Werte null ist, gilt

00

Zerlegung in Realund Imaginärteil

Die Fourier-Transformierte einer reellen Funktion s ist in der Regel eine komplexwertige Funktion S, die von der reellen Variablen f abhängt. Man kann S durch Aufspalten in Realteil R und Imaginärteil I darstellen:

S(f) = R(f) + i I(f)

Die Funktionen R und I sind rein reelle Funktionen.

Wir werden noch klären, unter welchen Umständen die Fourier-Transformierte einer reellen Zeitfunktion s tatsächlich rein reell oder rein imaginär ist.

15.1.3 Sinusund Kosinustransformation

Der Realteil R und der Imaginärteil I der Fourier-Transformierten S lassen sich auch mithilfe rein reeller Formeln direkt berechnen. Zur Herleitung dieser Formeln zerlegen wir die Exponentialfunktion nach dem Satz von Euler, siehe Satz 11.1, in Kosinus und Sinus:

=S−∞ s(t) cos(2 π f t) dt + i (−1) S−∞ s(t) sin(2 π f t) dt .

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

Definition 15.2 (Sinusund Kosinus-Fourier-Transformation)

Für den Realteil R und den Imaginärteil I der Fourier-Transformierten gilt:

L Man kann R mithilfe der Kosinus-Fourier-Transformation berechnen:

∞

R(f) = S−∞ s(t) cos(2 π f t) dt.

Die Funktion R ist eine rein reelle und gerade Funktion.

L Man kann I mithilfe der Sinus-Fourier-Transformation berechnen:

∞

I(f) = −S−∞ s(t) sin(2 π f t) dt.

Die Funktion I ist eine rein reelle und ungerade Funktion.

Die Kosinus-Fourier-Transformierte R ist eine gerade Funktion, denn

R(−f) = S−∞ s(t) cos ‰2 π (−f) tŽ dt = S−∞ s(t) cos (2 π f t) dt = R(f).

Auf dieselbe Weise kann man zeigen, dass die Sinus-Fourier-Transformierte I eine ungerade Funktion ist: