13.4 Aufgaben |
555 |
13.4 Aufgaben
Verständnisaufgaben
Aufgabe 13.1
Welche Fourier-Reihen haben die Funktionen f(t) = sin2(t), g(t) = cos2(t), h(t) = sin3(t)?
Aufgabe 13.2
Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der Funktion f mithilfe der Fourier-Reihe aus Beispiel 13.7:
1 |
für |
0 ≤ t < π |
||||
f(t) = œ 2 |
für |
π |
≤ |
t |
< |
2π , f(t + 2π) = f(t). |
Aufgabe 13.3 |
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||
Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der Funktion f mithilfe der Fourier-Reihe aus Beispiel 13.6:
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¢ |
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t |
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für |
0 |
t |
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T |
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f t |
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2T |
, f t |
T |
f |
t . |
||||||
T |
|
t |
für |
T |
|
t |
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|||||||
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¨ |
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2 |
≤ < |
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||
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¨ |
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( |
+ |
) = |
( ) |
( ) = ¦ |
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|||||
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¨ |
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− |
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|
≤ |
|
< |
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¨ |
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|
|||
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¤ |
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Aufgabe 13.4
Eine 2π-periodische Funktion f hat die komplexen Fourier-Koe zienten
c0 = 0, ck = (−1) |
k j |
, k = ±1, ±2, ±3, . . . |
k |
Geben Sie die reelle Darstellung der Fourier-Reihe an. Welche Eigenschaften der Funktion f kann man direkt aus den Koe zienten ablesen?
Aufgabe 13.5
Die komplexen Fourier-Koe zienten einer 2π-periodische Funktion f sind
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¢ |
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1 |
(k+1) |
j |
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1 2 |
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, |
k |
|
1, 3, 5, . . . |
||||
ck |
2 k2 |
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||||||||
|
¨ |
(− ) |
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|
0, |
k |
= ± |
0, 2, 4, . . . |
||
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¨ |
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± |
± |
||
|
= ¦ |
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¨ |
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¨ |
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¤ |
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Wie lautet die reelle Darstellung |
der Fourier-Reihe von f? Ist die Funktion f stetig? Welche |
|||||||||
|
= |
± |
± |
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Symmetrieeigenschaften hat die Funktion f?
Aufgabe 13.6
Wodurch unterscheiden sich die Fourier-Reihen der 2-periodischen Funktion
f t |
t t 2 |
für 0 t |
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2 , |
f |
t |
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2 |
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f t |
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und der |
π |
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< |
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( |
|
+ |
|
) = |
( ) |
(-periodischen) = − ( − ) Funktion≤ |
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g(x) = −x(x − π) |
für 0 ≤ x < π , |
g(x + π) = g(x)? |
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556 13 Fourier-Reihen
Rechenaufgaben
Aufgabe 13.7
Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der Funktion mit Periode 2
f(t) = −t(t − 2) für 0 ≤ t < 2 , f(t + 2) = f(t).
Aufgabe 13.8
Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der Funktion
f(t) = œ sin t für 0 ≤ t ≤ π , f(t + 2π) = f(t).
0für π < t < 2π
Aufgabe 13.9
Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der Funktion
1für 0 ≤ t < π
f(t) = œ |
2 |
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für |
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π |
≤ |
t |
< |
2π |
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, |
|
f(t + 2π) = f(t). |
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Aufgabe 13.10 |
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Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der Funktion mit Periode T |
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t |
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für |
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0 |
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t |
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T |
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||||
f |
t |
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2 |
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T |
≤ |
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t< |
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, |
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f |
t |
T |
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f |
t . |
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|||||||
|
( ) = œ |
T |
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t |
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für |
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T |
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− |
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2 |
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( |
+ ) = ( ) |
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Aufgabe 13.11 |
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≤ |
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|
< |
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Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der 2π-periodischen Funktion |
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f(t) = e−StS |
für |
− π ≤ t < π, |
|
|
f(t + 2 π) = f(t). |
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Aufgabe 13.12 |
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Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der Funktion |
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2 π |
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f |
t |
¢ |
1 |
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cos 2 t |
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für |
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2 |
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t |
|
2 |
π |
, |
|
f t |
|
|
f |
t . |
||||||||
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¨ |
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|
0 |
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|
für |
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|
− |
π |
≤ |
t |
< − |
2 |
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||||
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|
¨ |
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|
π |
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¨ |
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0 |
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t |
|
π |
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¨ |
|
+ |
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|
|
( |
|
) |
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− |
π |
≤ |
≤ |
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( ) = ¦ |
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für |
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π |
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( |
+ |
|
) = |
|
( ) |
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2 |
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||||||||||||||||||
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¨ |
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¨ |
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¨ |
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|
< |
|
< |
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¤ |
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Aufgabe 13.13¨ |
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Bestimen Sie die Fourier-Reihe der 2π-periodischen Funktion |
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f |
t |
¢ sin 2 t |
|
für |
|
− |
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2 |
≤ t< − |
2 |
|
, |
f t |
|
2 π |
|
f t |
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|||||||||||||||
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¨ |
|
|
0 |
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|
für |
|
|
|
π |
|
|
t |
|
|
π |
|
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|||||
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2 |
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||||||||||
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|
¨ |
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|
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π |
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¨ |
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|
0 |
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|
t |
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|
π |
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¨ |
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|
π |
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||||||
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( ) = ¦ |
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( |
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) |
für |
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− |
≤ |
|
≤ |
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π |
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( |
+ |
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|
) = |
( ) |
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2 |
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¨ |
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¨ |
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¨ |
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¨ |
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¤ |
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13.12. |
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mithilfe des Ergebnisses aus Aufgabe< |
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< |
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