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3 Vektoren

Bisher haben wir uns in der Mathematik mit Objekten beschäftigt, die sich vollständig durch Zahlenwerte beschreiben lassen. Zahlenwerte lassen sich auf der Skala von Messinstrumenten ablesen und man bezeichnet sie deshalb als Skalare. Typische Beispiele für skalare Größen sind Temperatur, Masse, Zeit, Arbeit, Widerstand und Spannung. In den Naturwissenschaften und der Technik spielen jedoch auch Größen eine Rolle, die Richtungen aufweisen, wie beispielsweise Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Impuls und Drehmoment. Bei manchen Größen ist uns oft gar nicht bewusst, dass es sich um vektorielle Größen handelt. Umgangssprachlich sagt man: Ein Tachometer zeigt die Geschwindigkeit an. Tatsächlich ist das nur die halbe Wahrheit, denn die Richtung der Geschwindigkeit wird durch einen Tachometer gar nicht angezeigt.

In der Mathematik ist ein Vektor ein Element eines Vektorraumes. Dadurch wird ein Vektor als ein abstraktes mathematisches Objekt mit gewissen Eigenschaften definiert. Der Vektorbegri ist eine Verallgemeinerung des geometrisch anschaulichen Vektorbegri s, wie er in der Physik üblich ist. Wir konzentrieren uns in diesem Kapitel auf den anschaulichen Vektorbegri und visualisierten Vektoren durch Pfeile.

Dieses Kapitel ist bewusst so strukturiert, dass wir uns zunächst mit Vektoren ohne Koordinatendarstellung beschäftigen. Erst in Abschnitt 3.3 verwenden wir Koordinatensysteme in der Ebene und im Raum, um Vektoren durch Koordinaten zu beschreiben.

3.1 Der Begri eines Vektors

Ein Vektor wird durch eine Richtung und durch eine Länge festgelegt. Wir können uns das nochmals am Beispiel der Geschwindigkeit klar machen. Die Länge des Geschwindigkeitsvektors wird durch den Tachometer angezeigt, die Richtung gibt an, wohin man sich fortbewegt.

Der Betrag eines Vektors ist niemals negativ.

Vektoren und Geraden unterscheiden sich grundsätzlich. Eine Gerade hat keinen Anfangsund keinen Endpunkt. Geraden besitzen eine unendliche Ausdehnung. Im Gegensatz dazu haben Vektoren eine endliche Länge.

Um Skalare und Vektoren schnell zu unterscheiden, werden in diesem Buch Vektoren durch fettgedruckte Kleinbuchstaben dargestellt. Ebenfalls gebräuchlich in der Literatur

Ñ

ist auch die Schreibweise aÑ, b, cÑ mit Kleinbuchstaben und Pfeilen darüber. Zur grafischen Darstellung von Vektoren verwenden wir Pfeile. Hierbei ist jedoch zu beachten, dass wir mit sogenannten freien Vektoren arbeiten. Freie Vektoren dürfen beliebig parallel verschoben werden, ohne sich zu ändern. Zwei Vektoren, die dieselbe Richtung und denselben Betrag haben, sind identisch und zwar unabhängig von der Stelle, an der wir die Vektoren skizzieren.

Bei technischen Anwendungen arbeitet man teilweise auch mit ortsfesten oder linienflüchtigen Vektoren. Ortsfeste Vektoren haben einen festen Angri spunkt und linienflüchtige Vektoren lassen sich nur in Richtung einer Wirkungslinie verschieben. Weitere Einzelheiten zu diesen speziellen Vektoren betrachten wir in diesem Buch jedoch nicht.

Definition 3.2 (Nullvektor und Einheitsvektoren)

Den Vektor mit der Länge 0 bezeichnet man als Nullvektor 0, es ist S0S = 0. Alle Vektoren mit der Länge 1 bezeichnet man als Einheitsvektoren e, für sie gilt SeS = 1.

Es gibt genau einen Nullvektor, aber viele verschiedene Einheitsvektoren mit unterschiedlichen Richtungen. Man könnte nun lang darüber philosophieren, ob der Nullvektor keine Richtung hat oder ob der Nullvektor jede beliebige Richtung hat. Für das weitere Vorgehen ist diese Frage jedoch unerheblich.