Eine direkte Folgerung aus dem Zwischenwertsatz ist der Nullstellensatz. Er garantiert die Existenz einer Nullstelle, falls eine stetige Funktion an einer Stelle negativ und an einer anderen positiv ist. Diese Garantie über das Vorhandensein einer Nullstelle wird beim Bisektionsverfahren in Abschnitt 5.8.2 ausgenutzt.

Satz 5.21 (Nullstellensatz)

Hat eine stetige Funktion f zwei Funktionswerte f(a) und f(b) mit unterschiedlichem Vorzeichen, dann hat die Funktion zwischen a und b mindestens eine Nullstelle.

5.5.4 Asymptotisches Verhalten

Welches Verhalten haben Funktionen, wenn man für x Werte einsetzt, die gegen ∞ oder −∞ gehen? Dieser Frage werden wir in diesem Abschnitt nachgehen. Das Verhalten einer Funktion für x-Werte gegen ∞ oder −∞ bezeichnet man als asymptotisches Verhalten. Bei zeitabhängigen Funktionen beschreibt die Asymptotik das Langzeitverhalten. Aussagen über das Langzeitverhalten von naturwissenschaftlichen und technischen Prozessen sind im Experiment oft schwer zu ermitteln. Deshalb versucht man, das Langzeitverhalten mithilfe mathematischer Modelle zu bestimmen.

Bei Folgen haben wir das Prinzip der asymptotischen oberen Schranke bereits kennengelernt. Ein ähnliches Prinzip beschreibt auch das asymptotische Verhalten von Polynomen. Grob formuliert verhält sich ein Polynom asymptotisch genau gleich wie das Glied mit der höchsten Potenz.

Asymptotisches Verhalten von Polynomen

Ein Polynom f vom Grad n

f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn, an ≠ 0

verhält sich asymptotisch gleich wie das Glied mit der höchsten Potenz. Wir verwenden die Schreibweise

a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn ≈ an xn für x → ±∞.

Asymptotische Gleichheit bedeutet, dass das Verhältnis des Polynoms zum Glied mit der höchsten Potenz im Grenzwert gegen eins geht. Die Berechnung des Grenzwerts

lässt sich durch Division durch das Glied mit der höchsten Potenz direkt durchführen:

Beispiel 5.59 (Asymptotisches Verhalten eines Polynoms)

Das asymptotische Verhalten von Polynomen lässt sich gewinnbringend einsetzen. Bei geradem Grad haben die Grenzwerte für x gegen ∞ und −∞ dasselbe Vorzeichen, bei ungeradem Grad haben die Grenzwerte für x gegen ∞ und −∞ unterschiedliche Vorzeichen. Ein Polynom von geradem Grad ist somit entweder nach oben oder nach unten beschränkt und ein Polynom von ungeradem Grad ist weder nach oben noch nach unten beschränkt und muss aufgrund des Satzes 5.21 mindestens eine Nullstelle besitzen.

Asymptotisches Verhalten von Polynomen

Polynome haben das folgende asymptotische Verhalten: Ein Polynom mit

Lgeradem Grad ist entweder nach unten oder nach oben beschränkt,

Lungeradem Grad ist weder nach unten noch nach oben beschränkt und besitzt mindestens eine Nullstelle.

Das asymptotische Verhalten von Polynomen lässt sich ohne großen Aufwand bestimmen. Deshalb versucht man für beliebige Funktionen Näherungsfunktionen in Form von Polynomen zu bestimmen. Eine Näherungsfunktion einer Funktion bezeichnet man als Asymptote, wenn sie sich im Grenzwert für x gegen ∞ oder −∞ nicht von der Funktion unterscheidet.

In Beispiel 5.60 nähert sich die Funktion für x → ±∞ einem festen Wert. In solchen Fällen spricht man von einer waagrechten Asymptote.

Definition 5.44 (Waagrechte Asymptote)

Besitzt eine Funktion für x gegen ∞ den Grenzwert g, also

lim f(x) = g,

x→∞

dann ist die horizontale Gerade y = g eine waagrechte Asymptote für x → ∞. Entsprechendes gilt für x → −∞.

Bei Funktionen, die sich für x → ±∞ nicht einem festen Wert annähern, wird das asymptotische Verhalten durch kompliziertere Näherungsfunktionen beschrieben. In der Regel versucht man Näherungsfunktionen in Form von Polynomen, insbesondere in Form von Geraden, zu bestimmen. Im Prinzip sind jedoch auch andere Funktionen als Näherungsfunktionen möglich.

Definition 5.45 (Schiefe Asymptote)

Unterscheidet sich eine Funktion für x gegen ∞ von einer Näherungskurve g(x) nicht, also

lim (f(x) − g(x)) = 0,

x→∞

dann ist die Funktion g(x) eine schiefe Asymptote für x → ∞. Entsprechendes gilt für x → −∞.

Die Berechnung des Grenzwertes erfordert ein trickreiches Vorgehen. Dazu erweitern wir den Term geeignet.

Echt und unecht gebrochenrationale Funktionen besitzen unterschiedliches asymptotisches Verhalten. Bei einer echt gebrochenrationalen Funktion ist der Grad im Zähler n kleiner als der Grad im Nenner m. Deshalb gilt

Somit ist die x-Achse eine waagrechte Asymptote. Bei unecht gebrochenrationalen Funktionen entscheidet der Unterschied zwischen dem Grad im Zähler n und dem Grad im Nenner m über das asymptotische Verhalten. In Beispiel 5.60 stimmen Zählerund Nennergrad überein, die Funktion hat dann eine waagrechte Asymptote. Bei einer unecht gebrochenrationalen Funktion ergibt sich durch Polynomdivision ein Polynom vom Grad n − m und ein Rest, der für x → ±∞ gegen null geht.

Asymptotisches Verhalten gebrochenrationaler Funktionen

Gebrochenrationale Funktionen haben das folgende asymptotische Verhalten:

LEcht gebrochenrationale Funktionen haben für x → ±∞ die x-Achse als waagrechte Asymptote.

LBei unecht gebrochenrationalen Funktionen findet man waagrechte und schiefe Asymptoten durch Polynomdivision.