6.7 Aufgaben

6.7 Aufgaben

Verständnisaufgaben

Aufgabe 6.1

Wo sind die skizzierten Funktionen di erenzierbar? Skizzieren Sie die Ableitungsfunktionen.

Aufgabe 6.2

Gibt es Funktionen, die für alle reellen Zahlen definiert und überall stetig, aber an unendlich vielen Stellen nicht di erenzierbar sind?

Sie damit die beiden Schaubilder in einem gemeinsamen Koordinatensystem.

Aufgabe 6.4

Die folgenden Grenzwerte haben alle die Form eines Di erenzialquotienten. Bestimmen Sie die Grenzwerte mithilfe der Ableitung.

Aufgabe 6.5

Wahr oder falsch? Ein Polynom vom Grad n ist genau n-mal di erenzierbar.

Aufgabe 6.6

Bei den folgenden Polynomen sind a0, a1, a2, . . ., an−1, an beliebige reelle Konstanten. Bestimmen Sie alle Ableitungen der Polynome.

a) f(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 b) f(x) = (a1x + a0)n

Aufgabe 6.7

Für einen beliebigen reellen Parameter a betrachten wir die Funktion

f(x) = (a − x) (a + x) .

a)Berechnen Sie die Ableitung von f direkt mit der Produktregel.

b)Vereinfachen Sie die Funktion f zuerst mithilfe der dritten binomischen Formel und berechnen Sie dann die Ableitung.

Aufgabe 6.8

Unter welchem Winkel schneiden sich die Schaubilder der Funktionen f1(x) = sin x und f2(x) = cos x im Bereich x [0, π]?

Aufgabe 6.17

Leiten Sie mithilfe der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion die Formel für die Ableitung des Arkuskosinus

(arccos x)′ = √ −1

1 − x2

her. Gehen Sie dabei wie bei der Herleitung der Ableitungsformel für den Arkussinus vor. Warum ist die Ableitung des Arkuskosinus immer negativ?

Aufgabe 6.18

Wie oft sind die folgenden abschnittsweise definierten Funktionen di erenzierbar? Skizzieren Sie die Schaubilder von f, f′ und f′′.

Aufgabe 6.19

Bestimmen Sie die Konstanten a0, a1 und a2 jeweils so, dass bei den abschnittsweise definierten

Funktionen die Funktion selbst sowie die Ableitungen f′ und f′′ stetig sind. Skizzieren Sie jeweils f, f′ und f′′.

hat der Punkt R? Bestimmen Sie die Tangente an die Ellipse im Punkt R und skizzieren Sie die Ellipse samt Tangente im Punkt R.

a)Welchen maximalen Definitionsbereich hat die Funktion f? Wo ist die Funktion stetig und wo ist sie di erenzierbar?

b)Bestimmen Sie alle waagrechten Asymptoten der Funktion f.

c)Berechnen Sie alle Nullstellen, Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte der Funktion f.

d)Ist die Funktion f beschränkt? Welche Monotonieeigenschaften hat die Funktion?

e)Skizzieren Sie das Schaubild der Funktion f und geben Sie den Wertebereich an.

a)Untersuchen Sie die Funktion f auf Symmetrie.

b)Ist f an der Stelle x = 0 stetig bzw. di erenzierbar?

c)Bestimmen Sie alle Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte der Funktion f.

d)Skizzieren Sie die Funktion f mit allen bekannten Eigenschaften.

a)Welchen maximalen Definitionsbereich hat die Funktion f? Wo ist die Funktion stetig und wo ist sie di erenzierbar?

b)Zeigen Sie, dass x = 1 eine Nullstelle von f ist, und bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen.

c)Berechnen Sie alle Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte der Funktion f.

d)Ist die Funktion f beschränkt? Welche Monotonieeigenschaften hat die Funktion?

e)Skizzieren Sie das Schaubild der Funktion f und geben Sie den Wertebereich an.

Aufgabe 6.25

Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion −(x − 2)2 . x + 2

a)Welchen maximalen Definitionsbereich besitzt die Funktion f?

b)Welches asymptotische Verhalten hat f für x → ±∞?

c)Bestimmen Sie alle Schnittpunkte mit der x-Achse und der y-Achse.

d)Besitzt die Funktion f Polstellen? Wenn ja, finden Vorzeichenwechsel statt?

e)Bestimmen Sie alle Extremwerte und Wendepunkte der Funktion f.

f)Skizzieren Sie die Funktion f mit allen bisher bestimmten Eigenschaften.

b) Berechnen Sie alle Nullstellen, Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte der Funktion f.

c) Ermitteln Sie den Sättigungswert lim f(t).

x→∞

d)Ist die Funktion f beschränkt? Welche Monotonieeigenschaften hat die Funktion?

e)Zu welchem Zeitpunkt wird der halbe Sättigungswert erreicht?

f)Bestimmen Sie die Tangente der Funktion f an der Stelle t = 0.

g)Skizzieren Sie das Schaubild der Funktion f und geben Sie den Wertebereich an.

Aufgabe 6.34

Ein Fahrmanöver auf einer Teststrecke besteht aus drei Phasen:

1.Beschleunigen aus dem Stand von 0 ms auf 30 ms in 6 Sekunden.

2.Fahren mit konstanter Geschwindigkeit von 30 ms über eine Strecke von 150 m.

3.Bremsen aus 30 ms in den Stand mit einer Verzögerung von −10 sm2 .

Zur Beschreibung aller drei Phasen kann man folgende Bewegungsgleichung verwenden:

s(t) = s0 + v0 t + 1 a0 t2

2

a)Bestimmen Sie allgemein die ersten beiden Ableitungen s′(t) = v(t) und s′′(t) = a(t).

b)Berechnen Sie s(t), v(t) und a(t) für obige drei Phasen und skizzieren Sie die Kurven.

c)Bestimmen Sie die Gesamtzeit und den Gesamtweg des Fahrmanövers.

Aufgabe 6.35

Die Kennlinie eines Motors wird durch Messpunkte charakterisiert.

a) Gegeben sind zunächst folgende Werte:

Durch die ersten beiden Messpunkte soll eine Gerade und durch den zweiten bis vierten Messpunkt soll eine Parabel gelegt werden. Es ergibt sich insgesamt eine stetige Kennlinie. Wie lauten die Funktionsgleichungen der Geraden und der Parabel?

b) Nun sind folgende Werte gegeben:

Kennlinie. Wie lauten nun die Funktionsgleichungen der Geraden und der Parabel?