13 Fourier-Reihen

Die Rechteckfunktion aus Beispiel 13.1 und die Sägezahnfunktion aus Beispiel 13.2 verlaufen über die Zeit gemittelt gleich lange oberhalb und unterhalb der t-Achse. Dabei sind die Flächenstücke, die die Funktion oberhalb der t-Achse und unterhalb der t-Achse jeweils mit der t-Achse einschließen, gleich groß. Nicht alle periodischen Funktionen verlaufen auf diese Art symmetrisch zur t-Achse. Eine Verschiebung der Funktion kann mithilfe des Mittelwerts m aus Definition 7.5 bestimmt werden. Dazu definiert man bei einer periodischen Funktion das Verhältnis aus vorzeichenbehaftetem Flächeninhalt über eine volle Periode und der Periode selbst als Mittelwert.

Definition 13.1 (Mittelwert einer periodischen Funktion)

Bei einer Funktion f mit Periode T bezeichnet man das Verhältnis aus dem Integral über eine volle Periode und der Periode selbst

als Mittelwert oder Gleichanteil.

Da die Funktion periodisch ist, kann man das Integrationsintervall in Definition 13.1 beliebig wählen, sofern es sich über eine komplette Periode erstreckt.

Die Dreieckfunktion wird in der Signalverarbeitung zur Darstellung von Signalverläufen verwendet. In der Technik verwendet man Dreieckfunktionen für Filter. Ì

13.1.2 Trigonometrische Polynome

Die Funktionen cos (ω t) und sin (ω t) haben die kleinste Periode T = 2ωπ . Die kleinste Periode der Funktionen cos (2 ω t) und sin (2 ω t) ist zwar T2 , trotzdem sind auch diese Funktionen periodisch mit der Periode T . Auch die Funktionen cos (3 ω t) und sin (3 ω t) sind periodisch mit der Periode T .

Periode von sin (k ω t) und cos (k ω t)

Die Funktionen sin (k ω t) und cos (k ω t) sind für jede natürliche Zahl k periodisch mit der Periode T = 2ωπ .

Die Überlagerung von Funktionen mit derselben Periode T erzeugt eine Funktion mit der Periode T . Dieses Prinzip wendet man auf die Funktionen cos(k ω t) und sin(k ω t) an.

Definition 13.2 (Trigonometrisches Polynom)

Eine Funktion pn mit Periode T , die man in der Form

darstellen kann, nennt man ein trigonometrisches Polynom vom Grad n. Die Ko- e zienten a0, a1, a2, . . ., an und b1, b2, . . ., bn sind dabei beliebige Zahlen, wobei allerdings einer der beiden höchsten Koe zienten an oder bn nicht null sein darf.

Die Definition hat auf den ersten Blick einen kleinen Schönheitsfehler. Warum gibt es einen Koe zienten a0 und keinen Koe zienten b0? Der Grund dafür ist nahe liegend. Für k = 0 ergibt cos(0 ω t) den konstanten Wert 1, hingegen ist sin(0 ω t) null.

Für den Mittelwert eines trigonometrischen Polynoms gilt m = a20 , denn die Integrale der Funktionen cos(k ω t) und sin(k ω t) über eine komplette Periode ergeben jeweils null. Die Skalierung des Koe zienten a0 mit dem Faktor 12 scheint an dieser Stelle willkürlich zu sein. In Abschnitt 13.2.2 werden wir zur komplexen Schreibweise übergehen. Dabei wird genau diese Skalierung zu einfacheren Formeln führen.

Bei trigonometrischen Polynomen wird der Begri Grad anders verwendet, als wir das bisher gewohnt sind. Im Gegensatz zu herkömmlichen Polynomen bezieht sich der Begri Grad nicht auf die höchste Potenz, sondern auf das höchste ganzzahlige Vielfache der