637
A Anhang
A.1 Ableitungsregeln
Regel |
Formel |
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|||||||||||
Faktorregel |
(C f(x))′ |
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= |
C f′(x) |
|
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|||||||||||||||
Summenregel |
(f(x) ± g(x))′ |
= |
f′(x) ± g′(x) |
|
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g′ |
|
||||||||||||||||||||
Produktregel |
|
f x |
|
|
g |
( |
x |
)) |
′ |
= |
f′ |
|
x |
|
|
g x |
|
|
f x |
x |
||||||||
|
( f( x) |
|
|
|
f |
|
( x) |
g( x) + |
|
f( x) |
g |
|
( x) |
|||||||||||||||
|
Œ g(x) ‘ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
( ) ( g) − ( ) |
|
|
( ) |
|||||||||||||
Quotientenregel |
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′ |
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|
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′ |
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x |
|
2 |
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′ |
|
|||
|
( |
) |
|
|
|
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|
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|
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|
u( |
) |
|
|
|
||||||||
Kettenregel |
( |
|
)))′ |
|
|
= |
f |
′ |
|
u |
x |
)) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(1 |
( |
x |
|
|
|
|
(1 ( |
|
|
′( |
|
) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
f u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
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|||
Umkehrfunktion |
‰f− |
(y)Ž′ |
|
|
|
= |
|
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|
|
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|
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|
||||||||||
|
|
|
f′(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
A.2 Ableitungen
Funktion f |
|
x |
|
Ableitung f |
′ x |
Funktion f x |
Ableitung f′ |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
( |
|
) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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( ) |
x |
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
x21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||
√x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
> |
0 |
) |
|
|
|
ln a a |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||
|
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|
x |
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||
|
a |
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|
|
√a |
|
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1 |
|
|
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|
|
|
(1 |
|
|
) |
|
|
|
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|
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||||||||||||||
x |
|
(a R) |
|
|
a x |
|
− |
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
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|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
(a>0, a≠1) |
|
x |
1 |
|
|
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|||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
loga x |
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||||||||||||
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(ln a) x |
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||||||||||||||||||
sin x |
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cos x |
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|
sinh x |
|
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|
|
cosh x |
|
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|||||||||||||||||||
cos x |
|
|
|
−sin x |
|
2 |
|
|
|
cosh x |
|
|
|
|
|
sinh x |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
tan x |
|
|
|
|
1 + tan2 |
|
x |
|
tanh x |
|
|
|
1 − tanh2 |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||
cot x |
|
|
|
− |
1 |
|
|
cot |
x |
|
coth x |
|
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|
1 − |
coth |
x |
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|||||||||||||||||||||||||
|
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|
− |
1 |
|
|
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|
1 |
|
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|
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|
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|||||||||||
arcsin x |
|
|
|
|
|
√ |
|
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|
|
|
arsinh x |
|
|
|
|
√ |
|
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||||||||||||||||
|
|
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1 |
1 |
|
x2 |
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1 |
1 |
|
x2 |
|
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|||||||||||||||||||||||||
arccos x |
|
|
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|
|
− |
|
|
|
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|
arcosh x |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
−√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
1 |
− |
x2 |
|
|
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|
1 |
− |
1 |
|
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|||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
x2 |
|
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||||||||||||
arctan x |
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artanh x |
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|||||||||||||
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|
2 |
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1 −1x |
2 |
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|||||||||||||||
arccot x |
|
|
|
− |
|
1 +1x |
|
|
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|
arcoth x |
|
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|||||||||||||||||||
|
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|
2 |
|
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|
2 |
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|||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
1 + x |
|
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−x |
− 1 |
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|||||||||||||||
638 |
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A Anhang |
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A.3 Potenzreihen |
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||||||||||||||||||||
Funktion |
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Potenzreihe |
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Konvergenzradius |
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|
|
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|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
= |
∞ xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
+ |
x |
|
x2 |
+ |
x3 |
|
. . . |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
kQ0 |
1 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
+ x2 |
|
x3+ |
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||
e − |
|
|
|
|
= |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Q= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
= + x+ |
|
2 |
x+ |
|
|
x+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
∞ |
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|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ln 1 x |
|
k 0 k! |
|
|
|
|
− |
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∞ |
(− ) |
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||
( + ) = |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Q= |
|
|
|
|
1 k |
|
|
|
= − x3 |
+ x5 |
− x7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
∞ |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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||
sin x |
|
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|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
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|
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|
. . . |
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||||||
|
|
(− ) |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
k 0 |
|
|
2k |
|
= − x2 |
+ x4 |
− x6 |
± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Q= |
|
|
|
1 |
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2k |
+ |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
5! |
|
|
7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
cos |
|
|
|
∞ |
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
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|
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|
|||||||
|
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|
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|
||||||||||
|
|
x |
|
k 0 |
(− ) |
|
|
x |
|
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||||||||
|
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|
|
= Q |
( |
|
|
1 |
|
k |
|
|
2k 1 |
|
= − x3 |
+ x5 |
− x7 ± |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
arctan x |
|
|
= |
2k |
|
! |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
|
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4! |
|
|
6! |
|
|
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. . . |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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1 |
|
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||||||||||||||
|
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|
) |
|
|
|
|
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|||||||||||||
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∞ |
(− ) |
|
|
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|
+ |
|
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||||||
|
|
|
|
= |
k 0 |
|
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|
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= − x3 |
+ x5 |
− x7 ± |
|
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|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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Q |
2k |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
sinh x |
|
|
= |
+ |
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
= |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
k |
|
2k |
|
|
|
1 |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
5! |
|
|
|
7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
cosh x |
Q0 |
( |
1 |
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
= + x2 |
+ x4 |
+ x6 |
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
+ x) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
||||||||||||||
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|
|
|
= |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= + |
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
kQ=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(2k)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4! |
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
A.4 Integralregeln |
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||
Regel |
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Formel |
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|
|||||||||||
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|||||||||||||
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|
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||||||||||||||||||||||||
Faktorregel |
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|
S C f(x) dx |
|
|
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|
|
= |
C S f(x) dx |
|
|
g(x) dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Summenregel |
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
S |
|
f(x) ± g(x) dx |
|
|
= |
S |
|
|
f(x) dx ± |
S |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Substitution |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
f |
( |
u |
x |
)) |
u′ |
|
|
x dx |
= |
|
|
f |
u |
) |
du |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
( |
|
|
|
( ) |
|
|
1 |
|
|
|
|
2( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f′ |
|
|
|
|
dx |
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 f |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
S |
|
f((x) |
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
= |
ln |
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
f (x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
S |
|
|
|
( |
|
)S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Partielle Integration |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
(x ) |
g |
|
x dx |
|
|
|
f |
|
|
x |
|
|
|
g x |
|
|
f |
′ |
|
x |
|
g |
x dx |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
S |
|
|
|
( ) |
′( ) |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
( |
|
|
|
)a |
|
( ) − S |
|
( |
|
) |
|
( ) |
||||||||||||||||
Vertauschen |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
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|
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|
|
|
|
b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
a b f(x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
− |
|
|
cb |
|
|
f(x) dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Integrationsbereich |
|
|
|
|
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|
|
S |
|
|
f(xt) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
S |
S |
|
|
f(x) dx + |
S |
|
|
f(x) dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
da |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
c |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
S |
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|
|
|
|
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|
f(x) dx•′ |
|
|
|
|
|
|
|
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Hauptsatz I |
|
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b‹Sa |
|
|
|
= |
f(t) |
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|
dt |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
Hauptsatz II |
|
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|
|
Sa |
f(x) dx |
|
|
|
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|
|
|
|
|
= |
F (b) − F (a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
A.5 Integrale |
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|
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|
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|
|
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|
|
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|
639 |
|||||||||||||||||
A.5 Integrale |
|
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|
|
|
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|
||||||||||||||||||||
Funktion |
|
|
|
|
|
|
|
Stammfunktion |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Funktion |
|
|
|
|
Stammfunktion |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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(ohne Konstante C) |
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(ohne Konstante C) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||
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1 |
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|
|
x |
|
|
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|
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|
ln x |
|
|
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ex dx |
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|
ex |
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|||||||||||||||||||
S x |
d |
|
|
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|
= |
2 |
|
S S |
|
|
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S |
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x |
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= |
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1 |
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|
x |
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S |
√x dx |
|
|
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|
= |
|
|
|
x√x |
|
|
|
|
|
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|
|
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S |
a |
|
dx |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
( |
a |
|
|
> |
0 |
) |
|
|
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|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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3 |
|
|
|
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|
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|
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|
|
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ln a |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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a |
|
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|
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1 |
|
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a |
1 |
|
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|
||||||||||||||||||
x |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
+ |
|
|
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|
a |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ln x dx |
|
= x ln x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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a 1 |
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S |
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
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|
|
|
|
|
|
( |
|
|
≠ − |
|
|
) |
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
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|
|
− |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||
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|
loga x dx |
= x loga x |
|
|
|
loga e |
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
0, a |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
( |
|
|
|
> |
|
) |
|
|
|
≠ |
|
) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
S sin x dx |
|
|
= −cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
S |
sinh x dx |
= |
|
|
|
cosh x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S cos x dx |
|
|
= |
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
cosh x dx |
= |
|
|
|
sinh x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S tan x dx |
|
|
= |
|
−ln S cos xS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
tanh x dx |
= |
|
|
|
ln S cosh xS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S cot x dx |
|
|
= |
|
|
|
ln S sin xS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
coth x dx |
= |
|
|
|
ln S sinh xS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S arcsin x dx |
= |
|
x arcsin x + |
√ |
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
S |
arsinh x dx |
= |
x arsinh x − |
|
|
√ |
x |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
arccos x dx |
= x arccos x |
|
|
√1 |
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
arcosh x dx |
= x arcosh x |
|
|
|
|
|
√x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
S |
arctan x dx |
= x arctan x− |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
artanh x dx |
= x artanh x− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x arcoth x + |
|
|
|
|
|
2− |
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S |
arccot x dx |
= x arccot x − |
ln 1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
S |
arcoth x dx |
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ( 2− ) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ( + ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
= |
|
|
|
ln x |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
= |
|
|
|
1 |
arctan |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
S |
x |
|
− |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
− S1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
dx = |
ln x |
|
|
|
|
bx c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
a n− |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
bx c |
|
|
|
|
|
S |
|
|
+ + S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S |
( |
|
|
|
|
− ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( − |
|
|
)( |
|
|
− ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
S |
|
|
+ + |
|
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|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||
|
x eax dx |
|
|
= |
|
ax 1 |
|
eax |
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( ≠ ) |
|
|
x2 eax dx |
= |
a2x2 2ax 2 |
eax |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2 |
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−a3 |
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|
+ |
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x sin ax dx |
= |
1 |
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sin ax |
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x |
cos ax |
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x cos ax dx |
= |
1 |
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cos ax |
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x |
sin ax |
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2 |
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S |
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x2 |
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ax |
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x |
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a2x2 |
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2 |
cos ax |
x2 cos ax dx |
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2x |
a2x2 |
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2 |
sin ax |
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S |
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sin |
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e |
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ax |
cos bx dx = |
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e |
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e |
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a sin bx |
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b cos bx |
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e |
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a cos bx |
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b sin bx |
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2 |
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2 |
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S |
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) |
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2 |
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x 1 |
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2 |
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x 1 |
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sin x cos x |
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S |
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2 − 2 |
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S |
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+ 2 |
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||||||||||||||||
640 |
A Anhang |
A.6 Fourier-Reihen
Funktion |
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Fourier-Reihe |
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f(x) |
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ak |
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bk |
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−π |
−1 |
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π |
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1 |
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k |
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¢ |
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π |
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x |
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0 |
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4 |
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sin x |
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sin33 |
x |
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x |
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1 |
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0 |
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π |
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π |
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sin55 . . . |
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¤ |
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bk |
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−1 |
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π |
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x |
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k |
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k |
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¢ |
0 |
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− |
π |
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x |
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2 |
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1 |
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2 |
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cos 3x |
cos 5x |
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1 |
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cos x |
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f |
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π |
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. . . |
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2 |
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2 |
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2 |
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π |
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x |
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bk |
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−π |
−1 |
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x |
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k |
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k |
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(x) = |
2 |
− |
4 |
‹ |
cos 2x |
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cos 6x |
+ . . .• |
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f |
π |
π |
1 3 |
3 5 |
5 7 |
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1 |
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f(x) |
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1 |
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ak |
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−1 |
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k |
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1 |
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k |
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|
|
|
|
|
|
|||
f |
x |
¢ |
0 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
x |
|
|
0 |
f |
x |
1 |
|
|
2 |
|
|
cos 2x |
|
|
cos 4x |
|
cos 6x |
. . . |
sin x |
||||||||||
sin x |
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
|
π |
π |
|
|
π |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
3 |
|
5 |
|
5 |
|
7 |
2 |
||||||||||||
|
|
¨ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
≤ |
|
|
|
< |
|
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¨ |
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|
( ) = − ‹ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ • + |
|||||||||||||
|
( ) = ¦ |
|
|
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|
||||||||||||||
|
|
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
||||||
|
|
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|||||
|
|
¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
A.6 |
Fourier-Reihen |
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
641 |
||||||
Funktion |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fourier-Reihe |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||
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|
|
|
f(x) |
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|
ak |
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|
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|
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|
bk |
|||
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
−π |
−1 |
|
|
|
π |
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
1 |
|
|
k |
|||
|
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|
|
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|
|
− |
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
− |
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||||||||||
|
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|||
f(x) = x |
− π ≤ x < π |
|
|
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|
f(x) = 2 ‹sin x − |
sin 2x |
sin 3x |
. . .• |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
+ |
3 |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
|
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|
f(x) |
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|
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|
|
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|
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|
ak |
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|
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|
bk |
|||
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
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|
|
−π |
−1 |
|
|
|
π |
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
1 |
|
|
k |
|||
|
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|
|
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|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f x |
¢ |
0 |
π |
|
x |
|
|
0 |
|
|
f |
x |
|
π |
|
2 |
|
cos x |
|
|
cos 3x |
|
cos 5x |
|
. . . |
|
|||||||
x |
0 |
|
x |
|
|
π |
|
|
|
4 |
|
π |
|
|
|
32 |
|
52 |
|
|
|
||||||||||||
|
¨ |
|
− |
≤ |
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2x |
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = −x |
|
+ |
+ . . . |
|
+ • |
|
||||||||||||||||
( ) = ¦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‹ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
¨ |
|
|
≤ |
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||
|
|
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|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bk |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
−1 |
|
|
|
π |
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
2 |
|
|
k |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||
f(x) = SxS |
|
− π ≤ x < π |
|
|
|
f |
(x) = |
π |
− |
4 |
‹cos x + |
cos 3x |
+ |
cos 5x |
+ . . .• |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
π |
32 |
52 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bk |
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
−1 |
|
|
|
π |
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
2 |
|
|
k |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f x |
|
x π |
x |
|
|
π |
|
|
x |
|
0 |
f |
x |
|
π2 |
4 |
|
cos 2x |
|
cos 4x |
cos 6x |
. . . |
|
||||||||||
¢x π |
x |
|
|
0 |
|
x |
|
π |
|
6 |
|
|
|
|
22 |
|
32 |
|
|
||||||||||||||
|
¨ |
|
( |
+ ) |
− |
|
|
≤ |
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
¨ |
|
|
|
|
|
|
( ) = |
|
− ‹ |
|
|
|
+ |
|
+ |
|
+ • |
|||||||||||||||
( ) =¦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
¨ |
|
( |
− ) |
|
|
|
|
≤ |
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|