Zur Herleitung der Formel bettet man die beiden Geraden g1 und g2 mit den Richtungsvektoren a1 und a2 in parallele Ebenen E1 und E2 ein. Ein Lotvektor für beide Ebenen ist n = a1 × a2. Nun kann man den Verbindungsvektor der beiden Einstiegspunkte x1 und

x2 senkrecht auf n projizieren, siehe Definition 3.8. Das Ergebnis ist der Lotvektor L1L2, dessen Länge der gesuchte Abstand ist:

T L1L2 T = Wn (x2 − x1) nW = Sn (x1 − x2)S.

SnS

3.4.6 Winkel

Neben Abständen spielen Winkel eine wichtige Rolle im Umgang mit Geraden und Ebenen. Sind zwei Geraden g1 und g2 in der Punktrichtungsform gegeben, so ist der Winkel zwischen den beiden Geraden einfach der Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren a1 und a2:

cos (g1, g2) = cos (a1, a2).

Winkel zwischen Vektoren haben wir bereits in Abschnitt 3.2.3 untersucht.

Satz 3.20 (Winkel zwischen zwei Geraden)

Den Winkel zwischen den beiden Geraden g1 und g2 in der Darstellung

kann man mit folgender Formel berechnen:

cos (g1, g2) = a1 a2 .

Sa1S Sa2S

Beispiel 3.26 (Winkel zwischen zwei Geraden)

Den Winkel zwischen den beiden Geraden

kann man über das Skalarprodukt der Richtungsvektoren bestimmen:

Der Winkel zwischen einer Geraden g und einer Ebene E ist der Winkel zwischen der Geraden und der senkrechten Projektion der Geraden auf die Ebene. Dieser Winkel wird auch als Neigungswinkel bezeichnet. Er liegt im Intervall [0, π]. Zur Berechnung dieses Winkels geht man einen Umweg über den Nachbarwinkel zwischen der Geraden g mit

Richtungsvektor a und dem Normalenvektor n der Ebene. Diesen Nachbarwinkel kann man mithilfe von Satz 3.20 bestimmen. Es gilt dann

sin (g, E) = S cos (a, n)S.

Satz 3.21 (Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene)

Den Winkel zwischen der Geraden g und der Ebene E in der Darstellung

kann man mit folgender Formel berechnen:

sin (g, E) = Sa nS. SaS SnS

Schließlich ist noch der Winkel zwischen zwei Ebenen E1 und E2 relevant. Dieser ist gleich dem Winkel zwischen den beiden Normalenvektoren n1 und n2:

cos (E1, E2) = cos (n1, n2).

Satz 3.22 (Winkel zwischen zwei Ebenen)

Den Winkel zwischen den beiden Ebenen E1 und E2 in der Darstellung

kann man mit folgender Formel berechnen:

cos (E1, E2) = n1 n2 .

Sn1S Sn2S

Beispiel 3.27 (Winkel zwischen zwei Ebenen)

Den Winkel zwischen den beiden Ebenen

kann man über die Normalenvektoren bestimmen: