Beispiel 6.30 (Globale Extrema)

a)Die Funktion f(x) = cos x hat an den Stellen x = k π für k Z jeweils ein lokales Extremum. Das globale Minimum und Maximum wird also nicht nur an einer einzigen Stelle, sondern an unendlich vielen Stellen angenommen.

Sofern man sich auf abgeschlossene Intervalle beschränkt, ist die Existenz von Minimum und Maximum bei stetigen Funktionen sichergestellt.

Satz 6.15 (Extrema stetiger Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen)

Jede auf einem abgeschlossenen Intervall I = [a, b] definierte stetige Funktion besitzt dort ein globales Minimum und ein globales Maximum. Es kann jedoch mehrere Stellen geben, an denen die Funktion den minimalen und den maximalen Funktionswert annimmt.

Satz 6.15 verdeutlicht die Bedeutung abgeschlossener Intervalle. Für die mathematische Theorie ist die Unterscheidung zwischen abgeschlossenen und o enen Intervallen an vielen Stellen von fundamentaler Bedeutung. Bei praktischen Problemen sind nicht abgeschlossene Intervalle eher selten. Deshalb verzichten wir an dieser Stelle auf weiterführende Untersuchungen.

6.5 Numerische Verfahren

Schon seit dem Mittelalter sind numerische Verfahren bekannt, die Methoden der Differenzialrechnung verwenden, um praktische Probleme zu lösen. Durch den Einsatz von Mikroprozessoren und Computern sind diese Verfahren fester Bestandteil unseres täglichen Lebens geworden. Beispiele dafür sind elektronische Steuerungen von Heizungsund Klimaanlagen oder die Navigation mithilfe von Satelliten.

6.5.1 Numerische Di erenziation

Die zentrale Idee bei der numerischen Di erenziation besteht darin, verschiedene Di e- renzenquotienten als Näherung für die Ableitung einer Funktion f an bestimmten Stellen heranzuziehen. Es geht also um eine näherungsweise Berechnung von f′(x0) ohne Kenntnis der Ableitung f′. Natürlich stellt sich die Frage, warum wir uns mit einem Näherungswert begnügen sollten, schließlich kennen wir doch genügend Methoden zur exakten Bestimmung von Ableitungsfunktionen. In vielen Situationen steht die Funktion selbst jedoch nur indirekt zur Verfügung. Beispielsweise werden Funktionswerte experimentell durch Messungen oder mithilfe von Simulationen erzeugt. In solchen Fällen ist man auf numerische Näherungswerte angewiesen.

Im einfachsten Fall betrachten wir die Linearisierung der Funktion f an der Stelle x0: f(x0 + h) ≈ f(x0) + hf′(x0).

Dabei ist h eine kleine Abweichung von x0. Hieraus ergibt sich unmittelbar der sogenannte Vorwärtsdi erenzenquotient

f′(x0) ≈ f(x0 + h) − f(x0). h

Alternativ kann man auf der x-Achse auch um h nach links gehen:

f(x0 − h) ≈ f(x0) − hf′(x0).

Daraus erhalten wir den Rückwärtsdi erenzenquotienten

f′(x0) ≈ f(x0) − f(x0 − h). h

Durch Mittelung der beiden einseitigen Di erenzenquotienten kann man nun zum einen die Asymmetrie beheben und zum anderen die Genauigkeit der Formel erhöhen. Wir gelangen zum zentralen Di erenzenquotienten

Definition 6.14 (Di erenzenquotienten)

Die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 kann angenähert werden durch

Dabei ist die Genauigkeit der Näherung abhängig von der Wahl von h.

Prinzipiell ist die Genauigkeit um so besser, je kleiner h gewählt wird. Allerdings gibt es bei der Anwendung auf Computern nach unten eine kritische Grenze für h. Wird h sehr klein gewählt, dann verfälschen Rundungsfehler das Ergebnis entscheidend.

Man spricht hier vom Dilemma zwischen dem sogenannten Diskretisierungsfehler und dem Rundungsfehler. Eine der zentralen Aufgaben der numerischen Mathematik besteht darin, möglichst optimale Werte für h zu bestimmen. Ein optimales h wird im Wesentlichen von der Genauigkeit des Rechners bestimmt. Als Faustregel für das kleinste sinnvolle h gilt 10− 12 s, wobei s die Anzahl der verfügbaren Dezimalstellen im Rechner ist.

Beispiel 6.31 (Numerische Di erenziation)

a)Wir suchen die Ableitung der Funktion f(x) = e−x2 an der Stelle x0 = 1. Mit h = 0.1 ergibt sich für die Vorwärtsund Rückwärtsdi erenzenquotienten

Im Vergleich mit dem exakten Wert f′(1) = −2 e−1 ≈ −0.73575 liefert der zentrale Di erenzenquotient also bereits bei relativ großem h einen recht guten Näherungewert.

b)Die Funktion f(x) = sin(x + 1)2 besitzt für h = 0.1 und h = 0.01 die beiden zentralen Di erenzenquotienten

In Beispiel 6.31 liefert der zentrale Di erenzenquotient ein besseres Ergebnis als die beiden anderen. Dieser Sachverhalt gilt allgemein. Die Genauigkeit des zentralen Di erenzenquotienten ist in der Regel höher als die Genauigkeit der einseitigen Di erenzenquotienten.

6.5.2 Newton-Verfahren

Bei naturwissenschaftlichen und technischen Anwendungen sind die Funktionen in der Regel so komplex, dass eine exakte Berechnung der Nullstellen durch Formeln nur in Ausnahmefällen möglich ist. Somit ist man bei vielen Problemstellungen aus der Praxis auf numerische Näherungsverfahren angewiesen.

Das bekannteste Näherungsverfahren zur Bestimmung von Nullstellen einer Funktion geht auf den englischen Mathematiker Isaac Newton zurück. Die Grundidee beruht darauf, die Funktion an geeigneten Punkten durch die Tangente zu linearisieren und dann die Nullstelle der Tangente zu bestimmen.