- •1 Grundlagen
- •1.1 Logik und Mengen
- •1.1.1 Aussagenlogik
- •1.1.2 Mengen
- •1.2 Zahlen
- •1.2.1 Natürliche Zahlen
- •1.2.2 Ganze Zahlen
- •1.2.3 Rationale Zahlen
- •1.2.4 Reelle Zahlen
- •1.2.5 Ordnung
- •1.2.6 Intervalle
- •1.2.7 Betrag und Signum
- •1.2.8 Summe und Produkt
- •1.3 Potenz und Wurzel
- •1.3.1 Potenzen
- •1.3.2 Potenzgesetze
- •1.3.3 Wurzeln
- •1.3.4 Binomischer Satz
- •1.4 Trigonometrie
- •1.4.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
- •1.5 Gleichungen und Ungleichungen
- •1.5.1 Lineare Gleichungen
- •1.5.2 Potenzgleichungen
- •1.5.3 Quadratische Gleichungen
- •1.5.4 Wurzelgleichungen
- •1.5.5 Ungleichungen
- •1.6 Beweise
- •1.6.1 Direkter Beweis
- •1.6.2 Indirekter Beweis
- •1.6.3 Konstruktiver Beweis
- •1.6.4 Vollständige Induktion
- •1.7 Aufgaben
- •2 Lineare Gleichungssysteme
- •2.1 Einführung
- •2.2 Gauß-Algorithmus
- •2.2.1 Äquivalenzumformungen
- •2.2.2 Vorwärtselimination
- •2.2.3 Rückwärtseinsetzen
- •2.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren
- •2.2.5 Rechenschema
- •2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme
- •2.3.1 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung
- •2.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen
- •2.3.3 Systeme mit redundanten Gleichungen
- •2.3.4 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme
- •2.3.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
- •2.3.6 Homogene lineare Gleichungssysteme
- •2.3.7 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern
- •2.4 Numerische Verfahren
- •2.4.1 Jakobi-Iteration
- •2.4.2 Gauß-Seidel-Iteration
- •2.5 Anwendungen
- •2.5.1 Produktion
- •2.5.2 Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik
- •2.6 Aufgaben
- •3 Vektoren
- •3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten
- •3.2.1 Addition und Subtraktion
- •3.2.2 Skalare Multiplikation
- •3.2.3 Skalarprodukt
- •3.2.4 Vektorprodukt
- •3.2.5 Spatprodukt
- •3.2.6 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung
- •3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung
- •3.3.1 Koordinatendarstellung
- •3.3.2 Addition und Subtraktion
- •3.3.3 Skalare Multiplikation
- •3.3.4 Skalarprodukt
- •3.3.5 Vektorprodukt
- •3.3.6 Spatprodukt
- •3.3.7 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung
- •3.4 Punkte, Geraden und Ebenen
- •3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem
- •3.4.2 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen
- •3.4.3 Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen
- •3.4.4 Schnitte von Geraden und Ebenen
- •3.4.5 Abstände
- •3.4.6 Winkel
- •3.5 Anwendungen
- •3.5.1 Kraft
- •3.5.2 Arbeit
- •3.5.3 Drehmoment
- •3.6 Aufgaben
- •4 Matrizen
- •4.2 Rechnen mit Matrizen
- •4.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation
- •4.2.2 Multiplikation von Matrizen
- •4.3 Determinanten
- •4.3.1 Determinante einer (2,2)-Matrix
- •4.3.2 Determinante einer (3,3)-Matrix
- •4.3.3 Determinante einer (n,n)-Matrix
- •4.4 Inverse Matrix
- •4.4.1 Invertierbare Matrizen
- •4.4.2 Inverse einer (2,2)-Matrix
- •4.4.3 Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem
- •4.5 Lineare Abbildungen
- •4.5.1 Matrizen als Abbildungen
- •4.5.2 Kern, Bild und Rang
- •4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
- •4.7 Numerische Verfahren
- •4.7.1 Potenzmethode
- •4.8 Anwendungen
- •4.9 Aufgaben
- •5 Funktionen
- •5.1 Einführung
- •5.1.2 Wertetabelle
- •5.1.3 Schaubild
- •5.1.4 Explizite und implizite Darstellung
- •5.1.6 Funktionsschar
- •5.1.7 Verkettung von Funktionen
- •5.2 Polynome und rationale Funktionen
- •5.2.1 Potenzfunktionen mit ganzen Hochzahlen
- •5.2.2 Polynome
- •5.2.3 Gebrochenrationale Funktionen
- •5.3 Eigenschaften
- •5.3.1 Symmetrie
- •5.3.2 Periode
- •5.3.3 Monotonie
- •5.3.4 Beschränktheit
- •5.4 Sinus, Kosinus und Tangens
- •5.4.2 Eigenschaften
- •5.5 Grenzwert und Stetigkeit
- •5.5.1 Zahlenfolgen
- •5.5.2 Grenzwert einer Funktion
- •5.5.3 Stetigkeit
- •5.5.4 Asymptotisches Verhalten
- •5.6.1 Exponentialfunktionen
- •5.6.2 Die e-Funktion
- •5.6.3 Hyperbelfunktionen
- •5.7 Umkehrfunktionen
- •5.7.1 Das Prinzip der Umkehrfunktion
- •5.7.2 Wurzelfunktionen
- •5.7.3 Arkusfunktionen
- •5.7.4 Logarithmusfunktionen
- •5.7.5 Area-Funktionen
- •5.8 Numerische Verfahren
- •5.8.1 Berechnung von Funktionswerten
- •5.8.2 Bisektionsverfahren
- •5.9 Anwendungen
- •5.9.1 Messwerte
- •5.9.2 Industrieroboter
- •5.10 Aufgaben
- •6.1 Steigung und Ableitungsfunktion
- •6.1.3 Ableitungsfunktion
- •6.1.5 Höhere Ableitungen
- •6.2 Ableitungstechnik
- •6.2.1 Ableitungsregeln
- •6.2.2 Ableitung der Umkehrfunktion
- •6.2.5 Zusammenfassung
- •6.3 Regel von Bernoulli-de l’Hospital
- •6.4 Geometrische Bedeutung der Ableitungen
- •6.4.1 Neigungswinkel und Schnittwinkel
- •6.4.2 Monotonie
- •6.4.3 Krümmung
- •6.4.4 Lokale Extrema
- •6.4.5 Wendepunkte
- •6.4.6 Globale Extrema
- •6.5 Numerische Verfahren
- •6.5.2 Newton-Verfahren
- •6.5.3 Sekantenverfahren
- •6.6 Anwendungen
- •6.6.1 Fehlerrechnung
- •6.6.2 Extremwertaufgaben
- •6.7 Aufgaben
- •7 Integralrechnung
- •7.1 Flächenproblem
- •7.1.1 Integralsymbol
- •7.1.2 Integral als Grenzwert von Summen
- •7.1.3 Bestimmtes Integral
- •7.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral
- •7.2.1 Integralfunktion
- •7.2.2 Stammfunktion
- •7.2.3 Bestimmtes Integral und Stammfunktion
- •7.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung
- •7.3 Integrationstechnik
- •7.3.1 Integrationsregeln
- •7.3.2 Integration durch Substitution
- •7.3.3 Partielle Integration
- •7.3.4 Gebrochenrationale Funktionen
- •7.3.5 Uneigentliche Integrale
- •7.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen
- •7.4.1 Flächeninhalte
- •7.4.2 Bogenlänge
- •7.4.3 Rotationskörper
- •7.5 Numerische Verfahren
- •7.5.1 Trapezregel
- •7.5.2 Romberg-Verfahren
- •7.6 Anwendungen
- •7.6.2 Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen
- •7.7 Aufgaben
- •8 Potenzreihen
- •8.1 Unendliche Reihen
- •8.2 Potenzreihen und Konvergenz
- •8.3 Taylor-Reihen
- •8.4 Eigenschaften
- •8.5 Numerische Verfahren
- •8.5.1 Berechnung von Funktionswerten
- •8.6 Anwendungen
- •8.6.1 Normalverteilung in der Statistik
- •8.7 Aufgaben
- •9 Kurven
- •9.1 Parameterdarstellung
- •9.2 Kegelschnitte
- •9.3 Tangente
- •9.4 Krümmung
- •9.5 Bogenlänge
- •9.6 Numerische Verfahren
- •9.6.1 Bézier-Kurve
- •9.7 Anwendungen
- •9.7.1 Mechanik
- •9.7.2 Straßenbau
- •9.8 Aufgaben
- •10 Funktionen mit mehreren Variablen
- •10.1.2 Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen
- •10.1.3 Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien
- •10.2 Grenzwert und Stetigkeit
- •10.2.1 Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen
- •10.2.2 Stetigkeit
- •10.3.3 Gradient und Richtungsableitung
- •10.3.5 Höhere partielle Ableitungen
- •10.3.6 Extremwerte
- •10.4 Ausgleichsrechnung
- •10.4.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate
- •10.4.2 Ausgleichsrechnung mit Polynomen
- •10.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung
- •10.5 Vektorwertige Funktionen
- •10.6 Numerische Verfahren
- •10.6.1 Mehrdimensionales Newton-Verfahren
- •10.6.2 Gradientenverfahren
- •10.7 Anwendungen
- •10.7.1 Fehlerrechnung
- •10.8 Aufgaben
- •11 Komplexe Zahlen und Funktionen
- •11.1.1 Komplexe Zahlen
- •11.1.2 Gaußsche Zahlenebene
- •11.1.3 Polarkoordinaten
- •11.1.4 Exponentialform
- •11.2 Rechenregeln
- •11.2.1 Gleichheit
- •11.2.2 Addition und Subtraktion
- •11.2.3 Multiplikation und Division
- •11.2.4 Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl
- •11.2.5 Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl
- •11.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome
- •11.3.1 Potenzen
- •11.3.2 Wurzeln
- •11.3.3 Fundamentalsatz der Algebra
- •11.4 Komplexe Funktionen
- •11.4.1 Ortskurven
- •11.4.2 Harmonische Schwingungen
- •11.4.3 Transformationen
- •11.5 Anwendungen
- •11.5.1 Komplexe Wechselstromrechnung
- •11.6 Aufgaben
- •12.1 Einführung
- •12.1.3 Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie
- •12.2.1 Separation der Variablen
- •12.2.2 Lineare Substitution
- •12.3.3 Allgemeine Eigenschaften
- •12.4.1 Allgemeine Form
- •12.4.2 Freie Schwingung
- •12.4.3 Harmonisch angeregte Schwingung
- •12.4.4 Frequenzgänge
- •12.5.1 Eliminationsverfahren
- •12.5.2 Zustandsvariablen
- •12.5.5 Stabilität
- •12.6 Numerische Verfahren
- •12.6.1 Polygonzugverfahren von Euler
- •12.7 Anwendungen
- •12.7.1 Temperaturverlauf
- •12.7.2 Radioaktiver Zerfall
- •12.7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand
- •12.7.4 Feder-Masse-Schwinger
- •12.7.5 Pendel
- •12.7.6 Wechselstromkreise
- •12.8 Aufgaben
- •13 Fourier-Reihen
- •13.1 Fourier-Analyse
- •13.1.1 Periodische Funktionen
- •13.1.2 Trigonometrische Polynome
- •13.1.3 Fourier-Reihe
- •13.1.4 Satz von Fourier
- •13.1.5 Gibbssches Phänomen
- •13.2 Komplexe Darstellung
- •13.2.1 Komplexe Fourier-Reihe
- •13.2.3 Spektrum
- •13.2.4 Minimaleigenschaft
- •13.3 Eigenschaften
- •13.3.1 Symmetrie
- •13.3.2 Integrationsintervall
- •13.3.3 Mittelwert
- •13.3.4 Linearität
- •13.3.5 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
- •13.3.6 Zeitverschiebung
- •13.4 Aufgaben
- •14 Verallgemeinerte Funktionen
- •14.1 Heaviside-Funktion
- •14.2 Dirac-Distribution
- •14.3 Verallgemeinerte Ableitung
- •14.4 Faltung
- •14.5 Aufgaben
- •15 Fourier-Transformation
- •15.1 Integraltransformation
- •15.1.4 Transformation gerader und ungerader Funktionen
- •15.1.5 Darstellung mit Amplitude und Phase
- •15.2 Eigenschaften
- •15.2.1 Linearität
- •15.2.2 Zeitverschiebung
- •15.2.3 Amplitudenmodulation
- •15.2.4 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
- •15.3 Inverse Fourier-Transformation
- •15.3.2 Vertauschungssatz
- •15.3.3 Linearität
- •15.4.3 Multiplikationssatz
- •15.4.5 Faltung
- •15.5 Periodische Funktionen
- •15.5.1 Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe
- •15.5.3 Grenzwertbetrachtung
- •15.6 Anwendungen
- •15.6.1 Lineare zeitinvariante Systeme
- •15.7 Aufgaben
- •16 Laplace-Transformation
- •16.1 Bildbereich
- •16.2 Eigenschaften
- •16.2.1 Linearität
- •16.2.2 Ähnlichkeit
- •16.2.3 Zeitverschiebung
- •16.2.4 Dämpfung
- •16.3.2 Integration
- •16.3.3 Faltung
- •16.3.4 Grenzwerte
- •16.4 Transformation periodischer Funktionen
- •16.5 Rücktransformation
- •16.7 Anwendungen
- •16.7.1 Regelungstechnik
- •16.8 Aufgaben
- •17 z-Transformation
- •17.1 Transformation diskreter Signale
- •17.1.2 z-Transformation und Laplace-Transformation
- •17.2 Eigenschaften
- •17.2.1 Linearität
- •17.2.2 Verschiebung
- •17.2.3 Dämpfung
- •17.4 Anwendungen
- •17.4.1 Zeitkomplexität von Quicksort
- •A Anhang
- •A.1 Ableitungsregeln
- •A.2 Ableitungen
- •A.3 Potenzreihen
- •A.4 Integralregeln
- •A.5 Integrale
- •A.6 Fourier-Reihen
- •A.7 Fourier-Transformationen
- •A.8 Laplace-Transformationen
- •A.9 Griechisches Alphabet
- •A.10 Bedeutende Mathematiker
- •Literaturverzeichnis
- •Sachwortverzeichnis
572 |
15 Fourier-Transformation |
15.1.4 Transformation gerader und ungerader Funktionen
Für gerade und ungerade Funktionen lässt sich die Formel aus Definition 15.1 vereinfachen. Im Fall einer geraden Funktion s gilt für alle t-Werte s(−t) = s(t). Das Produkt aus zwei geraden Funktionen ist wieder eine gerade Funktion. Andererseits ist das Produkt aus einer geraden und einer ungeraden Funktion eine ungerade Funktion, siehe Abschnitt 5.3.1. Somit gilt
S |
( |
f |
) = |
|
∞ s |
t |
) |
cos 2 π f t |
) |
dt |
− |
i |
|
∞ |
|
|
|
S |
−∞ |
|
( |
( |
|
|
S |
−∞ |
|||||
|
|
|
|
|
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ |
|
|
|
|
||||||
gerade Funktion
s |
t |
) |
sin |
( |
2 π f t |
) |
dt. |
|
( |
|
|
|
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ ungerade Funktion
Das Integral von −∞ bis ∞ über eine ungerade Funktion ist aus Symmetriegründen immer null. Außerdem hat das Integral von −∞ bis ∞ über eine gerade Funktion den doppelten Wert des Integrals von 0 bis ∞, siehe Satz 7.8. Deshalb folgt in diesem Fall
∞
S(f) = R(f) = 2 S s(t) cos(2 π f t) dt.
0
Da R eine gerade Funktion ist, ist in diesem Fall auch S eine gerade Funktion.
Satz 15.1 (Fourier-Transformation einer geraden Funktion)
Wenn die Zeitfunktion s eine gerade Funktion ist, dann ist die Fourier-Transformierte S eine rein reelle und gerade Funktion und wird durch eine Kosinus-Fourier-Transfor- mation erzeugt:
∞
S(f) = R(f) = 2 S s(t) cos(2 π f t) dt.
0
Wenn umgekehrt die Fourier-Transformierte S eine rein reelle und gerade Funktion ist, dann ist die zugehörige Zeitfunktion s eine gerade Funktion.
Beispiel 15.4 (Fourier-Transformation einer Dreieckfunktion)
Die Fourier-Transformierte der Funktion
s(t) = (1 + t)‰σ(t + 1) − σ(t)Ž
+(1 − t)‰σ(t) − σ(t − 1)Ž
berechnen wir mit der Kosinus-Fourier-Transforma- tion, da die Funktion s gerade ist:
|
|
|
2 |
s(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
−3 |
−2 |
−1 |
1 |
2 |
3 |
t |
|
|
|
−1 |
|
|
|
S(f) = R(f) = 2 S0 |
∞ s(t) cos(2 π f t) dt. |
|
) = |
|
− |
|
|
Im Bereich zwischen 0 und 1 gilt die Funktionsgleichung s t |
1 |
t und für Werte größer als 1 |
|||||
ist die Funktion s null. Damit folgt |
( |
|
|
||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
S(f) = 2 S |
(1 − t) cos(2 π f t) dt = 2 S |
cos (2 π f t) dt − 2 S t cos (2 π f t) dt. |
|||||
0 |
0 |
0 |
15.1 Integraltransformation |
573 |
Die Integrale berechnen wir durch Stammfunktionen mithilfe der Formeln aus Anhang A.5:
S |
|
( |
) |
|
sin |
( |
a x |
|
||
cos |
dx |
= |
|
) + |
|
|||||
|
|
a x |
|
|
|
|
|
C, |
||
a
cos (a x) + a x sin (a x)
S x cos (a x) dx = a2 + C.
Dadurch ergibt sich
|
|
|
|
2 |
|
sin |
|
|
2 π f t |
|
1 |
|
2 |
|
cos 2 π f t |
|
|
|
2 π f t sin |
|
2 π f t |
|
|
1 |
||||||||
S |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
( |
) = |
‹ |
|
( |
|
π f |
|
) •V0 |
− |
‹ |
|
( |
|
) + |
|
|
( |
|
|
|
) •V0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 π2 f2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
2 π f |
|
|
|
|
|
cos |
|
2 π f |
|
|
2 π f sin 2 π f |
|
1 . |
|
|||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
− |
|
|
|
( |
|
) + |
2 |
π2 f2 |
( |
|
|
) − |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
π f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Mit den Additionstheoremen für Sinus und Kosinus aus Satz 5.11 folgt
S(f) = 1 |
− |
cos 2 π f |
) = |
sin2 π f |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 π2(f2 |
|
π2(f2 ) . |
|
|
1 |
S(f) =sinc |
|
(πf ) |
|||||
Die Fourier-Transformierte der Dreieckfunktion ist |
|
|
|
|
|
|
t |
||||||
somit eine rein reelle Funktion |
|
−3 |
−2 |
−1 |
1 |
2 |
3 |
||||||
s(t) c |
s |
S(f) = |
sin2 |
π f |
2(π f). |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
π2(f2 ) = sinc |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Weitere Informationen zur sinc -Funktion findet man in Beispiel 6.18. |
Ì |
Bei einer ungeraden Funktion s können wir ähnliche Symmetrieüberlegungen wie bei einer geraden Funktion anstellen und erhalten
S |
( |
f |
) = |
|
∞ |
s |
t |
) |
cos 2 π f t |
) |
dt |
− |
i |
|
∞ s |
t |
) |
sin |
( |
2 π f t |
) |
dt. |
||
|
|
S |
−∞ |
|
( |
( |
|
|
|
S |
−∞ |
|
( |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ |
|
|
|
|
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ungerade Funktion |
|
|
|
|
|
gerade Funktion |
|
|||||||||||
Deshalb folgt in diesem Fall |
∞ s(t) sin(2 π f t) dt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
S(f) = i I(f) = −2 i S0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
wobei wegen S(−f) = −S(f) die Fourier-Transformierte S eine ungerade Funktion ist.
Satz 15.2 (Fourier-Transformation einer ungeraden Funktion)
Wenn die Zeitfunktion s eine ungerade Funktion ist, dann ist die Fourier-Transformierte S eine rein imaginäre und ungerade Funktion und wird durch eine Sinus-Fourier-Trans- formation erzeugt:
∞
S(f) = i I(f) = −2 i S s(t) sin(2 π f t) dt.
0
Wenn umgekehrt die Fourier-Transformierte S eine rein imaginäre und ungerade Funktion ist, dann ist die zugehörige Zeitfunktion s eine ungerade Funktion.
Eine beliebige Funktion s lässt sich sehr einfach in eine Summe aus einer geraden Funktion sg und einer ungeraden Funktion su zerlegen, siehe Satz 5.9.
574 |
15 Fourier-Transformation |
Satz 15.3 (Zerlegung in geraden und ungeraden Anteil)
Jede Funktion s lässt sich in einen geraden und einen ungeraden Anteil zerlegen:
s(t) = |
21 (s(ts)g+ts(−t)) + |
21 (s(ts)u−ts(−t)) |
|
|
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ |
|
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ |
S(f) = |
( ) |
+ |
( ) |
R(f) |
i I(f) |
||
Der Realteil R der Fourier-Transformierten S ergibt sich aus dem geraden Anteil sg und der Imaginärteil I aus dem ungeraden Anteil su.
Beispiel 15.5 (Zerlegung in geraden und ungeraden Anteil)
Die Fourier-Transformation der Funktion |
|
|
|
|
|
||
s(t) = e−tσ(t) c s |
1 |
= S(f) |
|
1 |
s(t) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
1 + i 2 π f |
−3 −2 −1 |
1 |
2 |
3 |
t |
||
haben wir bereits in Beispiel 15.3 durchgeführt. Die Fourier-Transformierte des geraden Anteils sg erhalten wir aus dem Realteil von S:
sg |
t |
|
|
e−tσ |
t |
|
etσ |
t |
|
|
|
|
1 |
|
. |
) = |
|
( |
) + |
|
(− |
) |
c s |
|
|||||||
|
|
1 + 4 |
2 2 |
||||||||||||
|
( |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
π f |
||
Der ungerade Anteil su liefert bei der Transformation den Imaginärteil von S:
su t |
e−tσ |
t |
|
etσ |
t |
|
|
|
|
i |
|
|
2 π f |
|
. |
|
( |
) − |
|
(− |
) |
c s |
|
|
|||||||||
|
|
1 |
− |
2 |
2 |
|||||||||||
( ) = |
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
π f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
sg(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
−2 |
−1 |
1 |
2 |
3 |
t |
|
|
|
1 |
su(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
−2 |
−1 |
1 |
2 |
3 |
t |
Ì
15.1.5 Darstellung mit Amplitude und Phase
Bei komplexen Zahlen hat man immer die Wahlmöglichkeit zwischen verschiedenen Darstellungen. Bisher haben wir die Fourier-Transformation einer Funktion mithilfe von Realund Imaginärteil dargestellt. Insbesondere bei Anwendungen in der Technik ist jedoch die Darstellung mithilfe von Betrag und Phasenwinkel gebräuchlich. Diese Art der Darstellung ändert nichts am mathematischen Informationsgehalt. Für welche Darstellung man sich auch entscheidet, die Fourier-Transformation einer Funktion ist eindeutig festgelegt. Man kann mit den üblichen Formeln zwischen der Darstellung mit Realund Imaginärteil und der Darstellung mit Betrag und Phasenwinkel hinund herschalten.