9.8 Aufgaben

Verständnisaufgaben

Aufgabe 9.1

Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an, die durch die beiden Punkte P (1 S 1) und Q(2 S 3) geht? Unter welchem Winkel schneidet g die x-Achse? Welche Gleichung hat die Gerade, die auf g senkrecht steht und durch den Ursprung geht? Berechnen Sie den Abstand der Geraden g zum Ursprung.

Aufgabe 9.2

Wie lautet die Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt (−2 S 1), der durch den Punkt (1 S −1) geht? Geben Sie eine Parameterdarstellung an.

Aufgabe 9.3

Eine Ellipse soll die vier Geraden x = −2, x = 4, y = 1 und y = 3 berühren. Wie lautet ihre Gleichung? Geben Sie eine Parameterdarstellung an.

Aufgabe 9.4

Von einer Hyperbel kennt man die Asymptoten y = ±23 x und den Punkt P (2 S 1). Wie lautet ihre Gleichung? Geben Sie eine Parameterdarstellung an.

Rechenaufgaben

Aufgabe 9.6

Bestimmen Sie die Art der Kurve (Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel) und ihre charakteristischen Kenngrößen (Mittelpunkt, Radius, Halbachsen, Scheitel, Asymptoten). Geben Sie für jede Kurve eine Parameterdarstellung an.

a)Skizzieren Sie das Kontrollpolygon.

b)Bestimmen Sie den Wert der Kurve für den Parameter t = 12 mithilfe des de CasteljauAlgorithmus zeichnerisch.

c)Bestimmen Sie die Tangentenvektoren im Anfangsund Endpunkt der Kurve.

d)Skizzieren Sie den Verlauf der Kurve.

Anwendungsaufgaben

Aufgabe 9.15

Eine Hochgeschwindigkeitsteststrecke hat eine elliptische Form mit den Halbachsen a = 150 m und b = 100 m. Zur drahtlosen Messdatenübertragung werden in den Brennpunkten der Ellipse zwei Funkstationen vorgesehen. Wie groß muss die Reichweite des Funksystems sein, wenn ein Testfahrzeug stets Funkkontakt zu beiden Stationen haben soll?

Aufgabe 9.16

Der Scheinwerfer eines Sportwagens hat die Form eines Rotationsparaboloids mit einem Durchmesser von 8 cm und einer Tiefe von 6 cm. Wie lautet die Gleichung der Schnittparabel, wenn die Rotationsachse die x-Achse ist, der Brennpunkt im Ursprung liegt und die Parabel nach rechts geö net ist?

Aufgabe 9.17

Ein Gierratensensor im Fahrzeug misst die Rotationsbewegung des Fahrzeugs um seine vertikale Achse, also die Drehbewegung des Fahrzeugs. Die Messdaten einer Testfahrt enthalten eine konstante Gierrate ϕ′(t) = c = 0.3 1s und eine konstante Fahrzeuggeschwindigkeit w = 15 ms über die gesamte Messung. Das Fahrzeug befindet sich zu Beginn der Messung im Ursprung des x-y-Koordinatensystems mit Fahrtrichtung in Richtung der y-Achse. Ermitteln Sie aus der Gierrate und der Fahrzeuggeschwindigkeit die Bewegung des Fahrzeugs in der x-y-Ebene in folgenden Schritten:

a) Bestimmen Sie den Gierwinkel ϕ(t) des Fahrzeugs in der x-y-Ebene.

d) Skizzieren Sie s(t) in der x-y-Ebene.