155

5 Funktionen

Der Funktionsbegri bildet das Herzstück der modernen Mathematik. Er ist das Bindeglied zwischen Technik, Wirtschaftswissenschaften und Naturwissenschaft einerseits und der Mathematik andererseits. Wenn es gelingt, die Funktionsweise einer konkreten Anwendung mithilfe von mathematischen Funktionen darzustellen, dann bietet die Mathematik ein reichhaltiges Repertoire zur Analyse dieser Funktionsweise.

5.1 Einführung

Die wesentlichen Begri e zur Darstellung von Funktionen werden bereits in der Schulmathematik behandelt. Trotzdem greifen wir sie an dieser Stelle nochmals auf und illustrieren sie anhand von Beispielen.

5.1.1 Begri der Funktion

Der Begri Funktion wird in der Mathematik sehr allgemein gefasst. Typischerweise definiert man eine Funktion als eine Abbildung von einer Menge in eine andere Menge. Für unsere Zwecke reicht es jedoch aus, diese abstrakte Sichtweise für den Fall einer Abbildung zwischen reellen Zahlen zu konkretisieren.

Definition 5.1 (Reelle Funktion)

Unter einer reellen Funktion f versteht man eine Abbildung, die jeder reellen Zahl x aus einer Definitionsmenge D R genau eine reelle Zahl y aus einer Wertemenge W zuordnet.

x ( y = f(x), x D.

Man bezeichnet x als unabhängige Variable und y als abhängige Variable.

Üblich ist auch die Schreibweise f D → W oder allgemeiner f R → R. Streng genommen sollte man in der Mathematik genau zwischen f und f(x) unterscheiden. f ist der Name der Funktion und f(x) der Wert, der x zugeordnet ist. In der Definition ist x ein Platzhalter; man könnte auch andere Bezeichnungen wie etwa f(u) oder f(t) wählen. Manchmal sagt man auch Definitionsund Wertebereich anstelle von Definitionsund Wertemenge.

156

b)Die Funktion f(x) = −x2 + 2 x + 8 ist für alle x-Werte definiert, für die der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ wird. Diese x-Werte erfüllen die Bedingung −x2 + 2 x + 8 ≥ 0. Die Lösungen der Gleichung −x2 + 2 x + 8 = 0 ergeben sich zu

√

x1,2 = −2 ± 4 + 32 = −2, 4.

−2

Für x-Werte zwischen 2 und 4 ist der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ, also ist der

Wertebereich

Zur Bestimmung des Wertebereichs einer Funktion benötigt man in der Regel einige Informationen über die Funktion, wie etwa die Extremwerte, die Monotonieeigenschaften und das asymptotische Verhalten.

Wie man solche Informationen für Funktionen systematisch erhält, werden wir später genauer betrachten. Bei einfachen Funktionen lässt sich der Wertebereich durch einfache Überlegungen ermitteln. Manchmal spricht man bei f(D) auch vom sogenannten Bildbereich der Funktion f.

In der Mathematik sind im Zusammenhang mit dem Definitionsund Wertebereich einer Funktion noch die Begri e Injektivität, Surjektivität und Bijektivität gebräuchlich.

Definition 5.2 (Injektive, surjektive und bijektive Funktion)

Eine Funktion f D → W heißt

Linjektiv, falls jeder Funktionswert y ein eindeutiges Argument x mit f(x) = y hat,

Lsurjektiv, falls jede Zahl y aus der Wertemenge W auch tatsächlich mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird,

Lbijektiv, falls f sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Bei bijektiven Funktionen spricht man auch von sogenannten ein-ein-deutigen Funktionen. Sie sind also sowohl von x nach y als auch in der Rückrichtung von y nach x eindeutig. Sie werden im Zusammenhang mit Umkehrfunktionen in Abschnitt 5.7 noch eine wesentliche Rolle spielen.

Beispiel 5.3 (Injektive, surjektive und bijektive Funktionen)

a)Die Funktion f R → R mit f(x) = x3 ist injektiv und surjektiv und damit auch bijektiv. Jeder Wert y aus R wird von der Funktion f angenommen, und zwar genau einmal.

b)Die Funktion f R → R mit f(x) = x2 ist nicht injektiv und nicht surjektiv. Alle negativen Zahlen werden durch f, also durch Quadrieren, nicht erzeugt. Alle positiven Zahlen hingegen werden doppelt erzeugt, denn es ist

f(x) = f(−x) = x2.

c)Die Funktion f R → [0, ∞) mit f(x) = x2 ist nicht injektiv, aber surjektiv. Hier wird jeder Wert des Intervalls [0, ∞) von der Funktion f erzeugt, abgesehen von der null jeweils sogar doppelt.

d)Die Funktion f [0, ∞) → R mit f(x) = x2 ist injektiv, aber nicht surjektiv. Negative Werte nimmt f nicht an.

Definition 5.3 (Nullstelle)

Eine Nullstelle einer Funktion f ist ein x-Wert, an dem die Funktion den Wert null hat. Eine Nullstelle erfüllt die Gleichung f(x) = 0.

Bei einfachen Funktionen f, wie beispielsweise bei Geraden und Parabeln, kann man alle Nullstellen durch Lösen der Gleichung f(x) = 0 bestimmen. Je nach Typ der Funktion kann die Bestimmung der Nullstellen aufwendig sein. Oft ist man zur Berechnung von Nullstellen auf numerische Näherungsverfahren angewiesen. In manchen Fällen ist es sogar problematisch, verlässliche Aussagen über die Anzahl der Nullstellen einer Funktion zu tre en.

5.1.2 Wertetabelle

Kennt man für die Funktion eine explizite Funktionsgleichung, dann kann man die Zuordnung der y-Werte zu den x-Werten in Form einer Tabelle wiedergeben. Dazu berechnet man die Funktionswerte für ausgewählte x-Werte.

Wertetabelle

Eine Wertetabelle einer Funktion enthält die Zuordnung der Funktionswerte zu einigen speziellen x-Werten. Damit die Tabelle das Verhalten der Funktion gut beschreibt, müssen die x-Werte geeignet ausgewählt werden.

Beispiel 5.4 (Wertetabelle einer Funktion)

2

Wir erstellen für die Funktion f(x) = eine Wertetabelle für x-Werte im Bereich von −5 bis

1 − x

5. Dazu verwenden wir, wie in der Schule üblich, x-Werte im Abstand von 1.

Wertetabellen lassen sich mithilfe von Computern einfach erstellen. Oftmals übersieht man, dass der Informationsgehalt einer Wertetabelle weitaus geringer ist als der Informationsgehalt einer Funktionsgleichung. Durch eine Funktionsgleichung sind unendlich viele Funktionswerte definiert, eine Wertetabelle erfasst lediglich eine endliche Anzahl von Werten. In diesem Zusammenhang spricht man auch von einer Diskretisierung der Funktion.

5.1.3 Schaubild

In der Regel fällt es sehr schwer, Informationen aus Zahlenkolonnen zu erfassen. Andererseits verfügt das menschliche Gehirn über hervorragende Fähigkeiten, Bilder entsprechend zu interpretieren. Deshalb verwendet man gerne eine visuelle Darstellung einer Funktion mithilfe von Schaubildern.

Definition 5.4 (Schaubild, Graph)

Die grafische Darstellung der Punkte (x S f(x)) in einem kartesischen Koordinatensystem nennt man Schaubild oder Graph der Funktion f.

Schaubilder von Funktionen lassen sich ebenfalls mithilfe von Computern mühelos erstellen. Doch genau wie bei einer Wertetabelle ist der Computer lediglich in der Lage, endlich viele Werte herauszugreifen und damit ein Schaubild zu erstellen. Auch wenn die Computerprogramme zur Visualisierung von Funktionen in den vergangenen Jahren einen beachtlichen Stand erreicht haben, gehört es zu den Kompetenzen eines Ingenieurs, den Verlauf einfacher Funktionen, zumindest in Gedanken, skizzieren zu können.