7.5.2 Romberg-Verfahren

Mit dem Romberg-Verfahren kann man aus Näherungswerten, die man mit der Trapezregel berechnet hat, einen noch besseren Näherungswert erzeugen. Die Idee besteht dabei darin, die Näherungswerte der Trapezregel als Funktion der Schrittweite h zu interpretieren. Aus theoretischer Sicht würde die Trapezregel mit Schrittweite h = 0 ein exaktes Ergebnis liefern. Praktisch kann man die Schrittweite h = 0 natürlich nicht verwenden. Man versucht deshalb, den Wert der Trapezregel mit Schrittweite h = 0 durch Extrapolation bekannter Werte möglichst gut zu schätzen. Eine genaue Beschreibung findet man bei [Mohr:Numerik].

7.6 Anwendungen

Wenn es bei Anwendungen darum geht, Funktionswerte über einen bestimmten Bereich zu summieren, kommen oft Integrale zum Einsatz. Wir betrachten zwei typische Beispiele, eines aus der Elektrotechnik und eines aus der Mechanik. Beim E ektivwert in der Elektrotechnik wird der zeitliche Verlauf eines Signals integriert. Bei Schwerpunkten und statischen Momenten in der Mechanik werden Funktionen über eine räumliche Distanz integriert.

7.6.1 E ektivwert

Energie, die wir über die Steckdose aus dem Stromnetz beziehen, ist in der Regel kein Gleichstrom, sondern Wechselstrom. In den meistern Ländern erfolgt die Spannungsversorgung durch sinusförmige Wechselspannungen mit einer Frequenz von 50 Hz oder 60 Hz. In Deutschland findet man auf Steckdosen und Geräten oft die Bezeichnung 230 V. Diese

Angabe bezeichnet aber nicht, wie oft behauptet wird, die Amplitude der sinusförmigen Wechselspannung. Tatsächlich liegt die Amplitude bei etwa 325 V. In der Elektrotechnik bezeichnet man diesen Wert als Scheitelwert. Den Zusammenhang zwischen diesen beiden Angaben, also 230 V einerseits und Scheitelwert 325 V andererseits, werden wir im Folgenden klären.

Für den Verbraucher ist letztendlich entscheidend, welche Energie bzw. Leistung zur Verfügung gestellt wird. Zu diesem Zweck betrachtet man den sogenannten E ektivwert. Der E ektivwert ist folgendermaßen definiert: Bei einer Wechselspannung wird an einem ohmschen Widerstand über einen gewissen Zeitraum dieselbe Leistung umgesetzt wie bei einer Gleichspannung, deren Spannung dem E ektivwert entspricht. Aus der Elektrotechnik kennt man die Formel zur Berechnung des E ektivwerts, siehe [Küpfmüller],

Dabei bezeichnet T die Periodendauer. Bei einer sinusförmigen Wechselspannung mit

Der E ektivwert ist also unabhängig von der Periode T und der Kreisfrequenz ω. Das Integral berechnen wir mithilfe einer Stammfunktion, siehe Beispiel 7.22,

7.6.2 Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen

Der Schwerpunkt eines Objekts ist in der technischen Mechanik von zentraler Bedeutung. Kräfte, die im Schwerpunkt angreifen, verändern das Rotationsverhalten nicht. Oder anders formuliert, wirkt eine Kraft in einer gewissen Entfernung vom Schwerpunkt auf ein

Objekt, so entsteht ein Drehmoment, siehe Abschnitt 3.5.3. Unser Ziel ist, den Schwerpunkt einer ebenen Fläche, die durch das Schaubild einer nicht negativen, stetigen Funktion f für x-Werte zwischen a und b mit der x-Achse begrenzt wird, zu bestimmen. Ein Schwerpunkt ist ein Gleichgewichtspunkt von Drehmomenten. Wir müssen also zuerst klären, welche Drehmomente auf unsere Flächen wirken. Dazu betrachten wir einen Körper mit sehr kleiner konstanter Dicke ε > 0, dessen Grundfläche gerade unsere Fläche ist. Den Körper könnten wir auf einer Bleistiftspitze balancieren, sofern wir die Spitze genau im Schwerpunkt ansetzen.

Mit der Erdbeschleunigung g wirkt auf diese Masse die Gewichtskraft F k vom Betrag

Fk = SF kS = mk g = % x f(xk) ε g.

Der Schwerpunkt einer Rechteckfläche hat die Koordinaten Sk(xk S 12 f(xk)). Wenn die Gewichtskraft F k senkrecht zur x-y-Ebene wirkt und wir die x-Achse als Drehachse betrachten, dann ergibt sich ein Drehmoment Mx,k mit

Hier geht der Abstand zur y-Achse xk ein. Bezogen auf die y-Achse erhalten wir das Gesamtdrehmoment

Ohne Berücksichtigung der physikalischen Größen g, % und ε bezeichnet man diese Drehmomente als statische Momente einer ebenen Fläche.

Beispiel 7.37 (Schwerpunkt einer ebenen Fläche)

Die Formel für das Rotationsvolumen aus Satz 7.17 und die Formel für die y-Koordinate des Schwerpunkts aus Satz 7.20 enthalten beide das Integral über das Quadrat der Funktion. Dadurch ergibt sich ein Zusammenhang zwischen Rotationsvolumen, Schwerpunktkoordinaten und Flächeninhalt:

Ein ähnlicher Zusammenhang gilt auch für die x-Koordinate des Schwerpunkts.

Satz 7.21 (2. Guldinsche Regel)

Das Flächenstück, das durch das Schaubild einer nicht negativen, stetigen Funktion f für x-Werte zwischen a und b und der x-Achse begrenzt wird, besitzt den Flächeninhalt A und den Schwerpunkt mit den Koordinaten S(xS S yS).

LFür das Volumen Vx, das durch Rotation des Flächenstücks um die x-Achse entsteht, gilt Vx = 2 π yS A.

LFür das Volumen Vy, das durch Rotation des Flächenstücks um die y-Achse entsteht, gilt Vy = 2 π xS A.

Die 2. Guldinsche Regel lässt sich noch allgemeiner formulieren. Zwischen Flächeninhalt A, Rotationsvolumen V und Abstand r des Flächenschwerpunktes von der Rotationsachse gilt V = 2 π r A.

Die 1. Guldinsche Regel stellt einen Zusammenhang zwischen Mantelfläche und Bogenlänge her. Weitere Einzelheiten dazu findet man bei [Bartsch].