11.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome

11.3.1 Potenzen

Für natürliche Hochzahlen n ist die n-te Potenz einer komplexen Zahl z genau wie bei reellen Zahlen durch

zn = z z z . . . z

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ n Faktoren

definiert, siehe Definition 1.22. Negative Potenzen entsprechen dem Kehrwert

z−n = 1 . zn

Zur Berechnung von Potenzen eignet sich die Darstellung in Exponentialform.

Satz 11.11 (Potenzen mit ganzzahligen Hochzahlen)

Für jede beliebige ganze Zahl n kann man die n-te Potenz einer komplexen Zahl in Exponentialform z = r ei ϕ durch Potenzieren der Beträge und Vervielfachen des Argumentes berechnen:

zn = ‰r ei ϕŽn = rn ei n ϕ.

Beispiel 11.7 (Potenz einer komplexen Zahl)

Die 8-te Potenz der komplexen Zahl z = 1 + i bestimmen wir nicht in kartesischer Form, sondern in Exponentialform:

z8 = (1 + i)8 = Š√2 ei π4 •8 = 24 ei 2 π = 16.

Man kann dieses Ergebnis auch mit vertretbarem Aufwand in kartesischer Form berechnen, indem man zuerst z2, dann z4 = z2 z2 und schließlich z8 = z4 z4 berechnet. Ì

11.3.2 Wurzeln

Bei Wurzeln komplexer Zahlen stellt man sich dieselbe Frage wie bei Wurzeln reeller Zahlen. Für welche komplexen Zahlen z ergibt zn den Wert a? Mit anderen Worten: Wir suchen alle Lösungen z der Gleichung zn = a, wobei a eine beliebige komplexe Zahl ist.

Definition 11.8 (Wurzeln und Einheitswurzeln)

Alle komplexen Zahlen z, die die Gleichung zn = a erfüllen, bezeichnet man als n-te Wurzeln der komplexen Zahl a. Die Lösungen der Gleichung zn = 1 nennt man die n-ten Einheitswurzeln.

Zur Bestimmung der Einheitswurzeln stellen wir z in Exponentialform dar:

z = r ei ϕ Ô zn = ‰r ei ϕŽn = rn ei n ϕ.

Wir haben schon am Anfang dieses Kapitels erwähnt, dass wir im Zusammenhang mit komplexen Zahlen das Wurzelsymbol nicht verwenden. Würde man mit komplexen Zahlen und dem Wurzelzeichen rechnen, wie wir es von den reellen Zahlen gewohnt sind, dann würden wir auf Widersprüche der folgenden Art tre en:

√ √ » √

−1 = i2 = i i = −1 −1 = (−1)(−1) = 1 = 1.

Beispiel 11.8 (Wurzeln einer komplexen Zahl)

Beim komplexen Wurzelziehen sind die selben Dinge wie bei einem Kindergeburtstag zu beachten. Zunächst muss man die Torte an der richtigen Stelle anschneiden. Dann ist es wichtig, dass jeder ein gleich großes Stück bekommt.

Bestimmung komplexer Wurzeln

Die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl a lassen sich wie folgt ermitteln:

(1) Stelle die komplexe Zahl a in Exponentialform dar: a = % ei α.