362 |
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8 Potenzreihen |
Aufgabe 8.8 |
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Bestimmen Sie durch Potenzreihenentwicklung die folgenden Grenzwerte: |
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ln 1 3x |
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sin x2 |
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c) |
lim 1 x2 x1 |
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a) lim |
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b) lim |
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x 0 |
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||||||
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2 |
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||||||||||
x 0 |
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x |
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x |
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0 |
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→ ( + ) |
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||||||
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→ |
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ln 1 |
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x |
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||||||
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( − ) |
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+ |
) |
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||||||||||||
Aufgabe 8.9 |
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→ |
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( |
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Stellen Sie die Funktion |
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f(x) = 2 Π|
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4 |
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+ ex2 ‘ |
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x |
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1 x2 |
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als Potenzreihe mit−der |
Entwicklungsstelle |
x0 |
= |
0 dar. Für welche x konvergiert die Reihe? |
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Bestimmen Sie f(8) |
( |
0 |
) |
und f(111) |
( |
0 |
) |
. |
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Aufgabe 8.10 |
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|||||||||||
Stellen Sie die Funktion |
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||||||||||||||
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1 |
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cos |
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x |
1 |
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2 |
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||
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f(x) = |
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− |
x ( |
1 |
−4 |
) |
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1 dar und bestimmen Sie lim f x . Berechnen |
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als Potenzreihe mit der Entwicklungsstelle x0 |
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( |
|
− |
|
) |
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|
= |
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x→1 ( ) |
||
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|
2 f |
( |
x dx |
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10 |
− |
3 |
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|
||||||
Sie S1 |
) |
|
mit einer Genauigkeit von mindestens |
|
|
. |
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|||||||||||||||||||||||||||
Anwendungsaufgaben
Aufgabe 8.11
Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung aus der Statistik
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Φ x |
1 |
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x−1 |
e |
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21 |
|
1 |
t |
2 dt |
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||
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|
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||||||
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|
( ) = |
|
2π |
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S− |
1 |
|
− |
|
( |
|
+ ) |
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|
soll für x |
√ |
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3 |
bestimmt werden. Wie viele Glieder |
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0.35 mit einer Genauigkeit von mindestens 5 10− |
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|||||||||||||||||||||||
der |
Reihenentwicklung sind dabei zu berücksichtigen? Wie lautet dieser Näherungswert? |
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= |
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Aufgabe 8.12 |
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1 |
cos x2 |
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Potenzreihenentwicklung den Grenzwert lim |
und geben Sie einen |
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|||||||||||||||||
Berechnen Sie durch |
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1 |
1 cos x2 |
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x→0 |
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− x2 |
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3 |
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Näherungswert für das Integral |
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dx mit einer Genauigkeit von mindestens 5 |
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10 |
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S0 |
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− x2 |
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− |
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|||||||||||||||||||
an. |
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Aufgabe 8.13
Nach der Relativitätstheorie nimmt die Masse m eines Elektrons mit seiner Geschwindigkeit v zu. Es besteht der Zusammenhang
m |
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v |
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m0 |
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. |
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( |
) = » |
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||||
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1 |
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c |
|
2 |
|
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|||
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|
v |
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Dabei bezeichnet |
m0 die Ruhemasse des Elektrons und c die Lichtgeschwindigkeit. Wie lautet |
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− ( |
|
) |
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( |
|
) |
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|||||
eine Näherungsformel für die Funktion m |
v |
unter der Annahme, dass die Geschwindigkeit v viel |
||||||||||||
kleiner als c ist? |
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||||||