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2 Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme haben sich zum Lieblingsspielzeug der Mathematiker entwickelt. Viele wesentliche theoretische Fragestellungen, die lineare Gleichungssysteme betre en, sind gelöst. In den letzten Jahrzehnten wurden Verfahren entwickelt, mit denen man selbst lineare Gleichungssysteme mit weit über einer Million Unbekannten mit Computerprogrammen stabil und e zient lösen kann. Das Lösen linearer Gleichungssysteme bildet die Basis für viele Berechnungsverfahren, wie beispielsweise Crash-Simulation oder Strömungssimulation. Auch die Finite-Elemente-Methode führt die Problemstellung auf das Lösen linearer Gleichungssysteme zurück. Ströme in elektrischen Netzwerken und Kräfte in mechanischen Konstruktionen werden durch lineare Gleichungssysteme berechnet. Verfahren zur Bewertung von Internetseiten durch Internetsuchmaschinen und die Wettervorhersage basieren ebenfalls auf linearen Gleichungssystemen. Nichtlineare Gleichungen werden oftmals dadurch gelöst, dass man sie iterativ durch lineare Gleichungssysteme annähert.

In Computerprogrammen werden lineare Gleichungssysteme in der Regel durch Matrizen dargestellt. In diesem Kapitel betrachten wir lineare Gleichungssysteme jedoch ohne dabei auf die Darstellung mit Matrizen zurückzugreifen. Den Zusammenhang zwischen linearen Gleichungssystemen und Matrizen stellen wir in Kapitel 4 her.

2.1 Einführung

In Abschnitt 1.5 haben wir Problemstellungen betrachtet, bei denen eine einzige Unbekannte x in einer einzigen Gleichung oder Ungleichung vorkommt. Jetzt betrachten wir Probleme mit mehreren Unbekannten und mehreren Gleichungen. Dabei beschränken wir uns aber auf ganz spezielle Typen von Gleichungen, nämlich lineare Gleichungen.

Beispiel 2.1 (Lineares Gleichungssystem)

Das lineare Gleichungssystem

drei Koe zienten vor den Unbekannten und durch einen Koe zient auf der rechten Seite darge-

Bei einem linearen Gleichungssystem kommen die Unbekannten jeweils nur in der ersten Potenz vor. Somit lassen sich lineare Gleichungssysteme immer auf dieselbe Art struktu-

riert darstellen. Wir betrachten lineare Gleichungssysteme immer in der Form, dass alle Unbekannten auf der linken Seite der Gleichheitszeichen stehen. In jeder einzelnen Gleichung stellen wir die Unbekannten in derselben Reihenfolge dar. Auf der rechten Seite der Gleichheitszeichen steht jeweils nur ein einziger Koe zient, der auch null sein kann. Die Anzahl der Gleichungen und die Anzahl der Unbekannten muss nicht übereinstimmen.

Definition 2.1 (Lineares Gleichungssystem)

Ein System aus m Gleichungen mit n Unbekannten x1, x2, . . ., xn in der Form

nennt man ein lineares Gleichungssystem (LGS). Die Zahlen aij sind die Koe zienten, b1, b2, . . ., bm bezeichnet man als Absolutglieder oder rechte Seite.

Die Koe zienten aij eines linearen Gleichungssystems bilden eine Tabellenstruktur mit m Zeilen und n Spalten. Üblicherweise bezeichnet der erste Index i die Zeile und der zweite Index j die Spalte. Insgesamt wird ein lineares Gleichungssystem durch m n Koe zienten und m Absolutglieder beschrieben.

Lösung eines linearen Gleichungssystems

Die Lösung eines linearen Gleichungssystems besteht aus allen Zahlen x1, x2, . . ., xn, bei denen alle m Gleichungen erfüllt sind.

Ohne genaue Untersuchung eines linearen Gleichungssystems kann man nicht entscheiden, ob es überhaupt eine Lösung gibt. Die speziellen Situationen, die beim Lösen linearer Gleichungssysteme auftreten können, zeigen sich bereits bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Bei zwei Unbekannten kann man jede Gleichung als Gleichung einer Geraden interpretieren. Anschaulich besteht die Lösungsmenge aus allen Punkten, die auf beiden Geraden liegen. Einzelheiten zu Punkten und Geraden findet man in Abschnitt 3.4.

Beispiel 2.2 (Grafische Lösung eines linearen Gleichungssystems)