17.3 Lösung von Di erenzengleichungen |
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Definition 17.3 (Vorwärtsdi erenzen)
Die Vorwärtsdi erenz der Folge (fk) ist eine Folge mit den Gliedern
fk = fk+1 − fk, k = 0, 1, 2, . . .
Vorwärtsdi erenzen höherer Ordnung sind rekursiv definiert:
n fk = n−1 fk+1 − n−1 fk.
Zur Durchführung der z-Transformation der Vorwärtsdi erenz verwenden wir die Linearität aus Satz 17.2 und die Verschiebung nach links aus Satz 17.4:
( fk) = (fk+1) − (fk) c s = z (F (z) − f0) − F (z) = (z − 1)F (z) − z f0.
Satz 17.6 (Di erenzensatz) |
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Die Vorwärtsdi erenz der Folge fk |
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im Zeit- |
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bereich entspricht einer Multiplikation mit dem |
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fk |
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c |
s |
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F z |
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( |
) |
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( |
× |
) |
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( |
) |
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Faktor z |
1 der z-Transformierten |
F im Fre- |
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quenzbereich. Außerdem muss der Anfangswert |
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× |
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− |
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× |
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z |
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× |
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z f0 |
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fk |
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1 F |
z |
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× |
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× |
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z f0 subtrahiert werden. |
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Ö |
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c |
s ( |
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Ö |
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( |
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) |
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− ) |
( |
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) − |
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Beispiel 17.4 (Di erenzensatz) |
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Die z-Transformation der Folge |
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(σk) |
c |
s F (z) = |
z |
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z 1 |
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kennen wir aus Beispiel 17.1. Nach Satz 17.6 über die Di erenzen gilt dann |
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− |
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( σk) c |
s (z − 1)F (z) − z f0 = (z − 1) |
z |
− z 1 = 0. |
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z 1 |
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σk |
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ergibt die |
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Dieses Ergebnis ist zu erwarten, denn die Vorwärtsdi erenz der konstanten Folge |
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− |
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) |
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Nullfolge. Die z-Transformierte der Nullfolge ist die Nullfunktion im Bildbereich. ( |
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Ì |
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17.3 Lösung von Di erenzengleichungen
Eine Di erenzengleichung stellt eine Beziehung zwischen unterschiedlich verschobenen Folgen her. Dabei betrachtet man eine gemeinsame Ausgangsfolge und Folgen, die durch Indexverschiebungen nach links oder rechts aus dieser Ausgangsfolge entstehen. Eine rekursiv definierte Folge, siehe Definition 5.32, stellt eine Di erenzengleichung dar. Der wichtigste Spezialfall sind die sogenannten linearen Di erenzengleichungen.
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17 z-Transformation |
Definition 17.4 (Lineare Di erenzengleichung)
Eine Di erenzengleichung, die man in der Form
an fk+n + an−1 fk+n−1 + . . . + a1 fk+1 + a0 fk = rk, k = 0, 1, 2, . . .
schreiben kann, nennt man eine lineare Di erenzengleichung n-ter Ordnung mit den Koe zienten a0, a1, . . ., an. Dabei ist (rk) eine beliebige Folge.
Für lineare Di erenzengleichungen gibt es eine ähnliche Lösungstheorie wie für lineare Differenzialgleichungen. Entsprechend nennt man eine lineare Di erenzengleichung homogen, falls alle Folgenglieder der Folge (rk) null sind. Analog zur Laplace-Transformation bei linearen Di erenzialgleichungen und linearen Di erenzialgleichungssystemen kann man bei Di erenzengleichungen die z-Transformation zur Lösung des Problems verwenden. Den Anfangswerten bei Di erenzialgleichungen entsprechen die ersten Folgenglieder bei Di e- renzengleichungen. Die Rücktransformation erfolgt mit bekannten Korrespondenzen und mithilfe von Tabellen.
Beispiel 17.5 (Fibonacci-Folge)
Die Fibonacci-Folge aus Beispiel 5.49 ist eine rekursiv definierte Zahlenfolge
fk+2 fk+1 fk, |
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k 0, 1, 2, . . . , f0 0, |
f1 |
1. |
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Diese Gleichung= |
stellt+ |
eine Di= erenzengleichung= dar. Zur= Lösung verwenden wir die z-Transfor- |
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mation |
fk |
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F |
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z . Die z-Transformierten der nach links verschobenen Folgen erhalten |
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wir aus Satz 17.4: |
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( |
) |
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( |
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) |
c |
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s |
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(fk+1) |
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c |
s z (F (z) − f0) , (fk+2) |
c |
s z2 ‰F (z) − f0 − f1z−1Ž . |
|||||||
Aus der rekursiven Definition der Fibonacci-Folge erhalten wir eine Gleichung im Bildbereich:
z2 ‰F (z) − f0 − f1z−1Ž = z (F (z) − f0) + F (z).
Mit den |
Anfangsgliedern f0 |
= |
0 und f1 |
= |
1 ergibt sich |
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|||
2 |
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‰z |
2 |
− z − 1Ž F (z) = z |
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z |
||||
z |
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F (z) − z = (z + 1)F (z) Ô |
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Ô F (z) = |
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. |
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z2 − z − 1 |
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Eine explizite Formel für die Fibonacci-Folge erhalten wir aus der Rücktransformation von F (z). Dazu zerlegen wir
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1 |
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1 |
√ |
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, z2 |
1 |
√ |
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. |
||||
F |
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z |
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|
z |
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|
z |
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|
|
z |
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, z1 |
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5 |
5 |
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z2 |
z |
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z |
z |
|
|
z |
z |
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( |
) = |
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− 1 = √5 |
‹ |
1 |
− |
2 |
• |
= |
|
= |
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|
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− |
|
− |
|
− |
|
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+2 |
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|
|
−2 |
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Zur Rücktransformation verwenden wir die Korrespondenz aus Beispiel 17.1:
1 |
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z |
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z |
s |
c |
1 |
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k |
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k |
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F (z) = |
√ |
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‹ |
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− |
|
• |
(fk) = Π|
√ |
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Š(z1) |
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− (z2) |
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•‘ . |
||
z z1 |
z z2 |
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|||||||||||||||
5 |
|
5 |
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||||||||||||||
Somit haben wir eine −explizite−Berechnungsformel für die Glieder der Fibonacci-Folge. Es ist |
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verblü end, dass diese Formel für jedes k eine natürliche Zahl erzeugt. |
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Ì |
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