14.3 Verallgemeinerte Ableitung

S−∞ f(t) δ(t − t0) dt = S−∞ f(t0) δ(t − t0) dt = f(t0) S−∞ δ(t − t0) dt = f(t0).

Auf den ersten Blick kommen uns die Formeln aus Satz 14.3 nicht spektakulär vor. Jedoch ist gerade die Ausblendeigenschaft der Dirac-Distribution von großer Bedeutung für die Fourier-Transformation und die Laplace-Transformation.

Beispiel 14.3 (Ausblendeigenschaft der Dirac-Distribution)

Die Ausblendeigenschaft der Dirac-Distribution an der Stelle t0 = 0 ergibt

14.3 Verallgemeinerte Ableitung

Mithilfe der Heaviside-Funktion und der Dirac-Distribution besitzen wir die geeigneten Hilfsmittel, um die Frage nach der Ableitung einer Funktion mit Sprungstellen klären zu können. Der Prototyp für eine Funktion mit Sprungstelle ist die Heaviside-Funktion.

Grenzwert und Ableitung bei Heaviside-Funktion und Dirac-Distribution

Die unstetige Heaviside-Funktion σ kann man sich als Grenzwert stetiger Rampenfunktionen für ε gegen null vorstellen. Die Ableitung von sε ist eine Rechteckfunktion dε:

Der Grenzwert dieser Rechteckfunktionen dε für ε gegen null ergibt die Dirac-Distri- bution δ. Der Kreis schließt sich, wenn wir die Dirac-Distribution als Ableitung der Heaviside-Funktion definieren.

Definition 14.4 (Verallgemeinerte Ableitung)

Die verallgemeinerte Ableitung der Heaviside-Funktion ist die Dirac-Distribution:

σ˙ (t) = δ(t).

Durch die Festlegung σ˙ (t) = δ(t) erweitern wir den klassischen Ableitungsbegri auf Funktionen mit Sprungstellen. Diese Erweiterung bezeichnet man als verallgemeinerte Ableitung. Wir können dadurch Funktionen, die im klassischen Sinne nicht di erenzierbar sind, sich aber mithilfe der Einheitssprungfunktion darstellen lassen, eine sinnvolle Ableitungsfunktion zuordnen. Im Sinne der Distributionentheorie besitzt auch die Dirac-Distribution eine Ableitung. Allerdings erfordert eine sinnvolle Definition dieser sogenannten distributiven Ableitung einen tieferen Einstieg in die Materie. Eine ausführliche Darstellung findet man beispielsweise bei [Heuser:FA]. Aus der Beziehung

erkennen wir, dass es sinnvoll ist, die Heaviside-Funktion als Stammfunktion der DiracDistribution zu bezeichnen.

Satz 14.4 (Stammfunktion der Dirac-Distribution)

Die Heaviside-Funktion ist eine Stammfunktion der Dirac-Distribution:

S δ(t) dt = σ(t) + C.

Die erste verallgemeinerte Ableitung besteht also aus zwei Rechtecken. Die zweite verallgemeinerte Ableitung ist

u¨(t) = δ(t + 1) − 2δ(t) + δ(t − 1).

14.4 Faltung

Durch die sogenannte Faltung wird zwei Funktionen eine neue Funktion zugeordnet. Es können sowohl klassische als auch verallgemeinerte Funktionen gefaltet werden. Die Faltung spielt eine wichtige Rolle bei der Fourier-Transformation und bei der Laplace-Trans- formation. Sie wird auch zur Analyse von Übertragungsfunktionen verwendet.

Definition 14.5 (Faltung)

Die Faltung der beiden Funktionen f und g ergibt eine Funktion h. Der Funktionswert der Funktion h an der Stelle t ist definiert durch

∞

h(t) = f(t) † g(t) = S−∞ f(τ) g(t − τ) dτ.

Man verwendet den Operator † für die Faltung zweier Funktionen.

Formal muss man nach der Formel aus Definition 14.5 für jeden t-Wert den Wert eines uneigentlichen Intergrals bestimmen. Die Variable der Faltungsfunktion ist dabei t, die Variable τ ist lediglich eine Integrationsvariable. Bei vielen praktischen Problemstellungen führt die Faltung jedoch auf Integrale mit endlichem Integrationsbereich, sodass die Konvergenz der uneigentlichen Integrale kein Kopfzerbrechen bereitet.

Die Faltung ist kommutativ, denn mit der Substitution u = t − τ und du = −dτ folgt:

Weitere Rechenregeln für die Faltung, wie etwa die Assoziativität oder die Distributivität, ergeben sich aus der Linearität des Integrals.

Satz 14.5 (Rechenregeln für die Faltung)

Bei der Faltung der Funktionen f, g und h gilt für beliebige Konstanten C:

Bezüglich der Faltung nimmt die Dirac-Distribution eine Sonderrolle ein. Die Faltung einer beliebigen Funktion f mit der Dirac-Distribution ergibt

f(t) † δ(t) = S−∞ f(τ) δ(t − τ) dτ = S−∞ f(τ) δ(τ − t) dτ = f(t).

Dabei haben wir die Symmetrie der Dirac-Distribution δ(−t) = δ(t) und die Ausblendeigenschaft aus Satz 14.3 verwendet.

Satz 14.6 (Faltung mit der Dirac-Distribution)

Die Faltung der Funktionen f mit der Dirac-Distribution δ lässt f unverändert:

f(t) † δ(t) = f(t) = δ(t) † f(t).

Insbesondere bei der Laplace-Transformation betrachtet man Funktionen, die für negative Argumente null sind. Bei der Formel zur Berechnung der Faltung in Definition 14.5 verändern sich dann die Grenzen:

Da die Funktion f für negative τ-Werte null ist, startet die Integration bei null. Andererseits wird g(t − τ) für τ-Werte, die größer als t sind, auch null. Somit ergibt sich im Integral die Obergrenze t.

Satz 14.7 (Einseitige Faltung)

Sind die beiden Funktionen f und g für negative Argumente null, dann berechnet sich die einseitige Faltung durch:

t

f(t) † g(t) = S f(τ) g(t − τ) d τ.

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