12.7 Anwendungen

Di erenzialgleichungen werden in vielen Bereichen der Naturwissenschaften und der Technik angewendet. In diesem Abschnitt haben wir eine kleine Auswahl von Anwendungen zusammengestellt, die jeweils typische Aspekte beinhalten und gleichzeitig nur ein überschaubares Wissen in den einzelnen Fachgebieten erfordern.

12.7.1 Temperaturverlauf

Ein Körper mit einer Anfangstemperatur T0 befindet sich in einem umgebenden Medium mit konstanter Temperatur T . Aus der Physik ist bekannt, dass die Temperaturänderung des Körpers proportional zur Temperaturdi erenz ist. Beschreibt T (t) die Temperatur des Körpers zur Zeit t, und ist k > 0 die Proportionalitätskonstante, so gilt die Di erenzialgleichung erster Ordnung

dT = −k(T − T ). dt

Diese lineare Di erenzialgleichung mit konstanten Koe zienten hat die homogene Lösung

Th(t) = Ce−k t.

Eine partikuläre Lösung erhält man durch Variation der Konstanten zu

12.7.2 Radioaktiver Zerfall

Wir betrachten ein radioaktives Präparat, das zur Zeit t = 0 die Anzahl N(0) = N0 radioaktive Kerne hat. Einzelne radioaktive Atomkerne zerfallen völlig zufällig. Da es sich aber um eine sehr große Anzahl von Kernen handelt, betrachtet man eine Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit. Diese Zerfallswahrscheinlichkeit wird üblicherweise durch die Halbwertszeit ausgedrückt. Die Halbwertszeit gibt an, nach welcher Zeit durchschnittlich die Hälfte der ursprünglichen radioaktiven Kerne zerfallen sind. Abhängig von der

Substanz kann die Halbwertszeit Sekundenbruchteile oder Milliarden Jahre betragen. Die Zerfallsgeschwindigkeit N˙ ist immer proportional zur Anzahl der radioaktiven Teilchen. Es gilt also die lineare Di erenzialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koe zienten

dN = −λN. dt

Zur Bestimmung der Anzahl der radioaktiven Teilchen zur Zeit t müssen wir eine Funktion N bestimmen, die diese Gleichung erfüllt und zur Zeit t = 0 den Wert N(0) = N0 hat. Die Lösung dieses Anfangswertproblems ist gegeben durch

N(t) = N0 e−λ t.

Die Halbwertszeit t bestimmt man aus

In unserem Modell ist die Halbwertszeit t unabhängig von der ursprünglichen Anzahl N0.

12.7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand

Einen freien Fall mit Luftwiderstand erlebt man beispielsweise beim Fallschirmoder Bungee-Springen. Aber auch das Eindringen eines Meteoriten in die Erdatmosphäre fällt in diese Kategorie der Bewegungsbeschreibung. Durch die Erdanziehungskraft mit Erdbeschleunigung g wird die Masse m beschleunigt. Andererseits bremst der Luftwiderstand den Fall. Wir betrachten die Luftreibung nicht proportional zur Geschwindigkeit v, sondern proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit. In der Physik spricht man dabei von Viskose-Reibung. Aus dem Kräftegleichgewicht ergibt sich die Bewegungsgleichung:

m v˙ + k v2 − m g = 0.

Dabei wird die Bewegung nach unten durch negative Geschwindigkeitswerte v angegeben. Die Konstante k hängt von der Querschnittsfläche A und dem Widerstandsbeiwert cw des Körpers, aber auch von der Dichte ρ der Luft ab:

1

k = 2 cw A ρ.

Sofern alle Parameter unabhängig von der Zeit sind, wird das Problem durch eine nichtlineare Di erenzialgleichung erster Ordnung beschrieben. Diese Di erenzialgleichung ist separierbar:

Eine explizite Formel für v lässt sich mithilfe einer Partialbruchzerlegung durch elementare Stammfunktionen berechnen. Siehe dazu auch Aufgabe 12.24.

12.7.4 Feder-Masse-Schwinger

Unter einem Feder-Masse-Schwinger, auch Federschwinger oder Federpendel genannt, versteht man eine Versuchsanordnung mit einer Feder mit Federkonstante c. Die Masse m des Systems stellt man sich idealisierter Weise konzentriert in einem einzigen Punkt vor. Reibungseinflüsse werden nur proportional zur Geschwindigkeit berücksichtigt und durch eine Dämpfungskonstante k angegeben. In der Physik spricht man dabei von Stokes-Reibung. Das System kann an der Aufhängung der Feder von außen angeregt werden. Das Verhalten des Feder-Masse-Schwingers wird durch den zeitlichen Verlauf der Auslenkung x der Masse beschrieben. In Ruhelage definieren wir den Nullpunkt der Auslenkung, Positionen oberhalb der Ruhelage haben eine Auslenkung x 0 und Auslenkungen unterhalb der Ru-

x(t)

Reibung berücksichtigen wir proportional zur Ge-

k

schwindigkeit

FR = −k x˙.

Außerdem kann eine Kraft F von außen wirken.

Nach dem Newtonschen Gesetz werden diese Kräfte durch das Produkt aus Masse m und Beschleunigung x¨ kompensiert:

matischer Sicht ist der Feder-Masse-Schwinger eine Schwingungsdi erenzialgleichung:

¯¯ ²

Methoden aus Abschnitt 12.4 anwenden und die Lösung mathematisch beschreiben. Das mathematische Modell des Feder-Masse-Schwingers hat vielfältige Anwendungsgebiete. In der Automobilindustrie wird das Schwingungsverhalten am sogenannten Viertelfahrzeug untersucht. In der Computergrafik verwendet man den Feder-Masse-Schwinger, um realitätsnahe Bewegungsabläufe zu simulieren. In der Medizin werden Feder-Masse- Systeme zur Simulation operativer Eingri e eingesetzt.

522 12 Gewöhnliche Di erenzialgleichungen

12.7.5 Pendel

Wir betrachten eine Masse m, die sich im Abstand l von einem Drehpunkt befindet. Auf die Masse wirkt die Erdanziehungskraft mit Erdbeschleunigung g. Oft spricht man in diesem Zusammenhang von einem Fadenpendel. Für unsere Betrachtungen ist es jedoch zweckmäßiger, wenn die Masse durch eine starre Stange mit dem Drehpunkt verbunden ist. Dadurch können wir auch Bewegungen mit Überschlägen, wie bei einer Schi schaukel, berücksichtigen. Wir lassen nur Bewegungen innerhalb einer Ebene zu. Außerdem gehen

In beiden Fällen handelt es sich um eine nichtlineare Di erenzialgleichung zweiter Ordnung. Ohne Berücksichtigung von Reibung kann man das Prinzip der Energieerhaltung anwenden und Gleichungen für die Phasenkurven in der x-x˙-Ebene herleiten.

Unter Berücksichtigung von Reibung ist das Problem nicht mehr elementar lösbar. Man kann sich dann auf sehr kleine Auslenkungen beschränken. Die Linearisierung sin x ≈ x ergibt dann eine Schwingungsdi erenzialgleichung

m ` x¨ + k x˙ + m g x = 0,

die wir mit den Methoden aus Abschnitt 12.4 analysieren können. Falls man sich nicht auf kleine Auslenkungen beschränken kann, ist man auf numerische Näherungslösungen angewiesen, siehe Abschnitt 12.6.2. Der Verlauf der Lösungskurven in der Phasenebene orientiert sich an den Gleichgewichtspunkten, siehe Abschnitt 12.5.5.

12.7.6 Wechselstromkreise

Aus Sicht der Mathematik muss man zwischen zwei Arten elektrischer Stromkreise unterscheiden. Bei Gleichstromkreisen bleibt die Stärke und die Richtung der Spannungen und Ströme zeitlich konstant. Die einzelnen Spannungen und Ströme in einem Gleichstromkreis lassen sich durch lineare Gleichungssysteme berechnen, siehe Abschnitt 2.5.2.

In Wechselstromkreisen verändert sich die Stärke und die Richtung der Spannungen und Ströme mit der Zeit. Spannungen und Ströme sind in diesem Fall also Funktionen der Zeit. Auch in Wechselstromkreisen gelten, unter bestimmten Einschränkungen, die Kirchho schen Gesetze, siehe Abschnitt 2.5.2. Für unsere Betrachtung genügt das 2. Kirchho sche Gesetz. Nach diesem Gesetz, der sogenannten Maschenregel, ist die Summe aller Teilspannungen in einer Masche null. In einem Wechselstromkreis betrachtet man neben Widerständen auch Spulen und Kondensatoren.

Durch die Zusammenhänge zwischen Wechselspannung und Wechselstrom ergeben sich aus den Kirchho schen Gesetzen Di erenzialgleichungen. In der Regel sind diese Di erenzialgleichungen oder Di erenzialgleichungssysteme linear. Weitere Einzelheiten zu Themen aus der Elektrotechnik findet man beispielsweise bei [Küpfmüller].

( ) =

mit einer Konstanten K. Partikuläre Lösungen sind abhängig von der angelegten Spannung u(t). Bei konstanter Spannung u(t) = U0 erhalten wir durch den Ansatz ip(t) = I0:

Beispiel 12.53 (RLC-Schwingkreis)