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Koch_Mathematik fur das Ingenieurstudium.pdf
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6 Di erenzialrechnung

b)Die Ableitung von f(x) = arcsin x kann man ebenfalls durch implizites Di erenzieren bestimmen. Wenn wir die Gleichung sin (f(x)) = x nach der Variablen x ableiten, ergibt sich nach der Kettenregel

sin (f(x))

cos (f(x)) f(x)

= x

V

d

,

dx

=1.

Die untere Gleichung können wir nach f(x) auflösen und umformen zu

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

f(x) =

 

=

»

 

 

 

 

 

 

 

.

 

cos (f(x))

 

 

 

 

1

sin2

(

f

x

Dabei haben wir wegen

±

 

 

 

( ))

 

sin2 x + cos2 x = 1

 

Ô

cos x = ±

 

 

 

1 − sin2 x

die Funktion cos x mithilfe von sin x ausgedrückt. Schließlich ergibt sich

f(x) =

 

 

 

1

 

 

 

=

 

 

 

1

 

 

 

=

 

1

 

 

»

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

1

sin2

(

f

x

1

sin2

(

arcsin x

 

1

x2

±

 

 

 

( )) ±

 

 

 

) ±

 

 

 

 

Nun müssen wir uns noch Gedanken über das Vorzeichen machen. Da der Arkussinus streng monoton wachsend ist, kommen nur postive Steigungen vor und es gilt

(

arcsin x

)

 

 

 

1

 

.

Ì

 

 

 

 

 

 

1

x2

 

 

= √

 

 

 

Implizites Di erenzieren

Beim Ableiten einer impliziten Gleichung mit x und y

F (x, y) = 0

nach x, betrachtet man y als Funktion der Variablen x, also y(x). Beim Ableiten der Gleichung nach x muss man beachten, dass y von der Variablen x abhängt und man deshalb nach der Kettenregel die innere Ableitung y(x) berücksichtigen muss.

In Abschnitt 10.3.4 werden wir eine Formel für die implizite Ableitung aufstellen.

6.2.5 Zusammenfassung

In der folgenden Tabelle sind die wichtigsten Ableitungsregeln zusammengefasst. Dabei bezeichnen f, g und u di erenzierbare Funktionen, C ist eine beliebige Konstante.

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