- •1 Grundlagen
- •1.1 Logik und Mengen
- •1.1.1 Aussagenlogik
- •1.1.2 Mengen
- •1.2 Zahlen
- •1.2.1 Natürliche Zahlen
- •1.2.2 Ganze Zahlen
- •1.2.3 Rationale Zahlen
- •1.2.4 Reelle Zahlen
- •1.2.5 Ordnung
- •1.2.6 Intervalle
- •1.2.7 Betrag und Signum
- •1.2.8 Summe und Produkt
- •1.3 Potenz und Wurzel
- •1.3.1 Potenzen
- •1.3.2 Potenzgesetze
- •1.3.3 Wurzeln
- •1.3.4 Binomischer Satz
- •1.4 Trigonometrie
- •1.4.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
- •1.5 Gleichungen und Ungleichungen
- •1.5.1 Lineare Gleichungen
- •1.5.2 Potenzgleichungen
- •1.5.3 Quadratische Gleichungen
- •1.5.4 Wurzelgleichungen
- •1.5.5 Ungleichungen
- •1.6 Beweise
- •1.6.1 Direkter Beweis
- •1.6.2 Indirekter Beweis
- •1.6.3 Konstruktiver Beweis
- •1.6.4 Vollständige Induktion
- •1.7 Aufgaben
- •2 Lineare Gleichungssysteme
- •2.1 Einführung
- •2.2 Gauß-Algorithmus
- •2.2.1 Äquivalenzumformungen
- •2.2.2 Vorwärtselimination
- •2.2.3 Rückwärtseinsetzen
- •2.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren
- •2.2.5 Rechenschema
- •2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme
- •2.3.1 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung
- •2.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen
- •2.3.3 Systeme mit redundanten Gleichungen
- •2.3.4 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme
- •2.3.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
- •2.3.6 Homogene lineare Gleichungssysteme
- •2.3.7 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern
- •2.4 Numerische Verfahren
- •2.4.1 Jakobi-Iteration
- •2.4.2 Gauß-Seidel-Iteration
- •2.5 Anwendungen
- •2.5.1 Produktion
- •2.5.2 Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik
- •2.6 Aufgaben
- •3 Vektoren
- •3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten
- •3.2.1 Addition und Subtraktion
- •3.2.2 Skalare Multiplikation
- •3.2.3 Skalarprodukt
- •3.2.4 Vektorprodukt
- •3.2.5 Spatprodukt
- •3.2.6 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung
- •3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung
- •3.3.1 Koordinatendarstellung
- •3.3.2 Addition und Subtraktion
- •3.3.3 Skalare Multiplikation
- •3.3.4 Skalarprodukt
- •3.3.5 Vektorprodukt
- •3.3.6 Spatprodukt
- •3.3.7 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung
- •3.4 Punkte, Geraden und Ebenen
- •3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem
- •3.4.2 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen
- •3.4.3 Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen
- •3.4.4 Schnitte von Geraden und Ebenen
- •3.4.5 Abstände
- •3.4.6 Winkel
- •3.5 Anwendungen
- •3.5.1 Kraft
- •3.5.2 Arbeit
- •3.5.3 Drehmoment
- •3.6 Aufgaben
- •4 Matrizen
- •4.2 Rechnen mit Matrizen
- •4.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation
- •4.2.2 Multiplikation von Matrizen
- •4.3 Determinanten
- •4.3.1 Determinante einer (2,2)-Matrix
- •4.3.2 Determinante einer (3,3)-Matrix
- •4.3.3 Determinante einer (n,n)-Matrix
- •4.4 Inverse Matrix
- •4.4.1 Invertierbare Matrizen
- •4.4.2 Inverse einer (2,2)-Matrix
- •4.4.3 Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem
- •4.5 Lineare Abbildungen
- •4.5.1 Matrizen als Abbildungen
- •4.5.2 Kern, Bild und Rang
- •4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
- •4.7 Numerische Verfahren
- •4.7.1 Potenzmethode
- •4.8 Anwendungen
- •4.9 Aufgaben
- •5 Funktionen
- •5.1 Einführung
- •5.1.2 Wertetabelle
- •5.1.3 Schaubild
- •5.1.4 Explizite und implizite Darstellung
- •5.1.6 Funktionsschar
- •5.1.7 Verkettung von Funktionen
- •5.2 Polynome und rationale Funktionen
- •5.2.1 Potenzfunktionen mit ganzen Hochzahlen
- •5.2.2 Polynome
- •5.2.3 Gebrochenrationale Funktionen
- •5.3 Eigenschaften
- •5.3.1 Symmetrie
- •5.3.2 Periode
- •5.3.3 Monotonie
- •5.3.4 Beschränktheit
- •5.4 Sinus, Kosinus und Tangens
- •5.4.2 Eigenschaften
- •5.5 Grenzwert und Stetigkeit
- •5.5.1 Zahlenfolgen
- •5.5.2 Grenzwert einer Funktion
- •5.5.3 Stetigkeit
- •5.5.4 Asymptotisches Verhalten
- •5.6.1 Exponentialfunktionen
- •5.6.2 Die e-Funktion
- •5.6.3 Hyperbelfunktionen
- •5.7 Umkehrfunktionen
- •5.7.1 Das Prinzip der Umkehrfunktion
- •5.7.2 Wurzelfunktionen
- •5.7.3 Arkusfunktionen
- •5.7.4 Logarithmusfunktionen
- •5.7.5 Area-Funktionen
- •5.8 Numerische Verfahren
- •5.8.1 Berechnung von Funktionswerten
- •5.8.2 Bisektionsverfahren
- •5.9 Anwendungen
- •5.9.1 Messwerte
- •5.9.2 Industrieroboter
- •5.10 Aufgaben
- •6.1 Steigung und Ableitungsfunktion
- •6.1.3 Ableitungsfunktion
- •6.1.5 Höhere Ableitungen
- •6.2 Ableitungstechnik
- •6.2.1 Ableitungsregeln
- •6.2.2 Ableitung der Umkehrfunktion
- •6.2.5 Zusammenfassung
- •6.3 Regel von Bernoulli-de l’Hospital
- •6.4 Geometrische Bedeutung der Ableitungen
- •6.4.1 Neigungswinkel und Schnittwinkel
- •6.4.2 Monotonie
- •6.4.3 Krümmung
- •6.4.4 Lokale Extrema
- •6.4.5 Wendepunkte
- •6.4.6 Globale Extrema
- •6.5 Numerische Verfahren
- •6.5.2 Newton-Verfahren
- •6.5.3 Sekantenverfahren
- •6.6 Anwendungen
- •6.6.1 Fehlerrechnung
- •6.6.2 Extremwertaufgaben
- •6.7 Aufgaben
- •7 Integralrechnung
- •7.1 Flächenproblem
- •7.1.1 Integralsymbol
- •7.1.2 Integral als Grenzwert von Summen
- •7.1.3 Bestimmtes Integral
- •7.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral
- •7.2.1 Integralfunktion
- •7.2.2 Stammfunktion
- •7.2.3 Bestimmtes Integral und Stammfunktion
- •7.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung
- •7.3 Integrationstechnik
- •7.3.1 Integrationsregeln
- •7.3.2 Integration durch Substitution
- •7.3.3 Partielle Integration
- •7.3.4 Gebrochenrationale Funktionen
- •7.3.5 Uneigentliche Integrale
- •7.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen
- •7.4.1 Flächeninhalte
- •7.4.2 Bogenlänge
- •7.4.3 Rotationskörper
- •7.5 Numerische Verfahren
- •7.5.1 Trapezregel
- •7.5.2 Romberg-Verfahren
- •7.6 Anwendungen
- •7.6.2 Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen
- •7.7 Aufgaben
- •8 Potenzreihen
- •8.1 Unendliche Reihen
- •8.2 Potenzreihen und Konvergenz
- •8.3 Taylor-Reihen
- •8.4 Eigenschaften
- •8.5 Numerische Verfahren
- •8.5.1 Berechnung von Funktionswerten
- •8.6 Anwendungen
- •8.6.1 Normalverteilung in der Statistik
- •8.7 Aufgaben
- •9 Kurven
- •9.1 Parameterdarstellung
- •9.2 Kegelschnitte
- •9.3 Tangente
- •9.4 Krümmung
- •9.5 Bogenlänge
- •9.6 Numerische Verfahren
- •9.6.1 Bézier-Kurve
- •9.7 Anwendungen
- •9.7.1 Mechanik
- •9.7.2 Straßenbau
- •9.8 Aufgaben
- •10 Funktionen mit mehreren Variablen
- •10.1.2 Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen
- •10.1.3 Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien
- •10.2 Grenzwert und Stetigkeit
- •10.2.1 Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen
- •10.2.2 Stetigkeit
- •10.3.3 Gradient und Richtungsableitung
- •10.3.5 Höhere partielle Ableitungen
- •10.3.6 Extremwerte
- •10.4 Ausgleichsrechnung
- •10.4.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate
- •10.4.2 Ausgleichsrechnung mit Polynomen
- •10.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung
- •10.5 Vektorwertige Funktionen
- •10.6 Numerische Verfahren
- •10.6.1 Mehrdimensionales Newton-Verfahren
- •10.6.2 Gradientenverfahren
- •10.7 Anwendungen
- •10.7.1 Fehlerrechnung
- •10.8 Aufgaben
- •11 Komplexe Zahlen und Funktionen
- •11.1.1 Komplexe Zahlen
- •11.1.2 Gaußsche Zahlenebene
- •11.1.3 Polarkoordinaten
- •11.1.4 Exponentialform
- •11.2 Rechenregeln
- •11.2.1 Gleichheit
- •11.2.2 Addition und Subtraktion
- •11.2.3 Multiplikation und Division
- •11.2.4 Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl
- •11.2.5 Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl
- •11.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome
- •11.3.1 Potenzen
- •11.3.2 Wurzeln
- •11.3.3 Fundamentalsatz der Algebra
- •11.4 Komplexe Funktionen
- •11.4.1 Ortskurven
- •11.4.2 Harmonische Schwingungen
- •11.4.3 Transformationen
- •11.5 Anwendungen
- •11.5.1 Komplexe Wechselstromrechnung
- •11.6 Aufgaben
- •12.1 Einführung
- •12.1.3 Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie
- •12.2.1 Separation der Variablen
- •12.2.2 Lineare Substitution
- •12.3.3 Allgemeine Eigenschaften
- •12.4.1 Allgemeine Form
- •12.4.2 Freie Schwingung
- •12.4.3 Harmonisch angeregte Schwingung
- •12.4.4 Frequenzgänge
- •12.5.1 Eliminationsverfahren
- •12.5.2 Zustandsvariablen
- •12.5.5 Stabilität
- •12.6 Numerische Verfahren
- •12.6.1 Polygonzugverfahren von Euler
- •12.7 Anwendungen
- •12.7.1 Temperaturverlauf
- •12.7.2 Radioaktiver Zerfall
- •12.7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand
- •12.7.4 Feder-Masse-Schwinger
- •12.7.5 Pendel
- •12.7.6 Wechselstromkreise
- •12.8 Aufgaben
- •13 Fourier-Reihen
- •13.1 Fourier-Analyse
- •13.1.1 Periodische Funktionen
- •13.1.2 Trigonometrische Polynome
- •13.1.3 Fourier-Reihe
- •13.1.4 Satz von Fourier
- •13.1.5 Gibbssches Phänomen
- •13.2 Komplexe Darstellung
- •13.2.1 Komplexe Fourier-Reihe
- •13.2.3 Spektrum
- •13.2.4 Minimaleigenschaft
- •13.3 Eigenschaften
- •13.3.1 Symmetrie
- •13.3.2 Integrationsintervall
- •13.3.3 Mittelwert
- •13.3.4 Linearität
- •13.3.5 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
- •13.3.6 Zeitverschiebung
- •13.4 Aufgaben
- •14 Verallgemeinerte Funktionen
- •14.1 Heaviside-Funktion
- •14.2 Dirac-Distribution
- •14.3 Verallgemeinerte Ableitung
- •14.4 Faltung
- •14.5 Aufgaben
- •15 Fourier-Transformation
- •15.1 Integraltransformation
- •15.1.4 Transformation gerader und ungerader Funktionen
- •15.1.5 Darstellung mit Amplitude und Phase
- •15.2 Eigenschaften
- •15.2.1 Linearität
- •15.2.2 Zeitverschiebung
- •15.2.3 Amplitudenmodulation
- •15.2.4 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
- •15.3 Inverse Fourier-Transformation
- •15.3.2 Vertauschungssatz
- •15.3.3 Linearität
- •15.4.3 Multiplikationssatz
- •15.4.5 Faltung
- •15.5 Periodische Funktionen
- •15.5.1 Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe
- •15.5.3 Grenzwertbetrachtung
- •15.6 Anwendungen
- •15.6.1 Lineare zeitinvariante Systeme
- •15.7 Aufgaben
- •16 Laplace-Transformation
- •16.1 Bildbereich
- •16.2 Eigenschaften
- •16.2.1 Linearität
- •16.2.2 Ähnlichkeit
- •16.2.3 Zeitverschiebung
- •16.2.4 Dämpfung
- •16.3.2 Integration
- •16.3.3 Faltung
- •16.3.4 Grenzwerte
- •16.4 Transformation periodischer Funktionen
- •16.5 Rücktransformation
- •16.7 Anwendungen
- •16.7.1 Regelungstechnik
- •16.8 Aufgaben
- •17 z-Transformation
- •17.1 Transformation diskreter Signale
- •17.1.2 z-Transformation und Laplace-Transformation
- •17.2 Eigenschaften
- •17.2.1 Linearität
- •17.2.2 Verschiebung
- •17.2.3 Dämpfung
- •17.4 Anwendungen
- •17.4.1 Zeitkomplexität von Quicksort
- •A Anhang
- •A.1 Ableitungsregeln
- •A.2 Ableitungen
- •A.3 Potenzreihen
- •A.4 Integralregeln
- •A.5 Integrale
- •A.6 Fourier-Reihen
- •A.7 Fourier-Transformationen
- •A.8 Laplace-Transformationen
- •A.9 Griechisches Alphabet
- •A.10 Bedeutende Mathematiker
- •Literaturverzeichnis
- •Sachwortverzeichnis
10.6 Numerische Verfahren |
417 |
Definition 10.23 (Ableitung vektorwertiger Funktionen, Jacobi-Matrix)
Unter der Ableitung einer vektorwertigen Funktion f versteht man die von x und y abhängige Matrix
J |
|
x, y |
|
f1 |
|
x, y |
|
f1,x |
x, y |
f1,y |
x, y |
|
. |
( |
) = Œ |
f2 |
(x, y) |
‘ = Œ |
f2,x |
(x, y) |
f2,y |
(x, y) |
‘ |
||||
|
|
( |
) |
|
( ) |
|
( ) |
|
Sie enthält alle partiellen Ableitungen der Komponenten f1 und f2 von f. Diese Matrix nennt man auch Jacobi-Matrix.
10.6 Numerische Verfahren
Die numerischen Verfahren für Funktionen mit mehreren Variaben sind sehr vielfältig, ihre Bedeutung für Anwendungen ist immens. Moderne Systeme hängen in aller Regel von mehr als einem Parameter oder einem Systemzustand ab. Schon ist man mittendrin im Anwendungsbereich von Funktionen mit mehreren Variaben.
10.6.1 Mehrdimensionales Newton-Verfahren
Das Newton-Verfahren hat große Bedeutung bei der numerischen Lösung von nichtlinearen Gleichungen. So liegt es nahe, dass auch für mehrdimensionale Probleme eine Variante entwickelt worden ist. Wir betrachten die Funktion
f(x, y) = Œ f1(x, y) ‘ , f2(x, y)
von der wir eine Nullstelle suchen. Wie im Eindimensionalen benötigt man einen Startwert (x˜0, y˜0) für die Nullstelle. Die Rolle der Tangente nimmt die Tangentialebene ein. An der Stelle (x˜0, y˜0) legt man die Tangentialebene an f1 und auch an f2 an:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x˜0 |
|
g1 |
( |
x, y |
) = |
f1 |
( |
x˜0, y˜0 |
) + |
f1 |
( |
x˜0, y˜0 |
) Œ |
y |
− y˜0 |
‘ |
g2 |
x, y |
f2 |
x˜0, y˜0 |
f2 |
x˜0, y˜0 |
x |
− x˜0 |
|||||||
( |
) = |
( |
) + |
( |
) Œ |
y |
− y˜0 |
‘ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
Die Schnitte der beiden Tangentialebenen mit der x-y-Ebene ergeben zwei Geraden:
f1(x˜0, y˜0) Œ |
x |
‘ |
= |
f1(x˜0, y˜0) Œ |
x˜0 |
‘ − f1(x˜0, y˜0) |
y |
y˜0 |
|||||
f2(x˜0, y˜0) Œ |
x |
‘ |
= |
f2(x˜0, y˜0) Œ |
x˜0 |
‘ − f2(x˜0, y˜0) |
y |
y˜0 |
418 |
10 Funktionen mit mehreren Variablen |
Diese beiden Geradengleichungen kann man mithilfe der Jacobi-Matrix in einer Gleichung zusammenfassen:
J |
|
x˜0, y˜0 |
|
x |
|
J |
|
x˜0, y˜0 |
|
x˜0 |
|
f1 |
x˜0, y˜0 |
|
. |
|
( |
) Œ |
y |
‘ = |
( |
) Œ |
y˜0 |
‘ − Œ |
f2 |
(x˜0 |
, y˜0) |
‘ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
Der Schnittpunkt der beiden Schnittgeraden ist der neue Näherungswert (x˜1, y˜1). Wir
x
lösen also, sofern die Inverse der Jacobi-Matrix existiert, nach Œ y ‘ auf:
Œ |
x |
‘ = Œ |
x˜0 |
‘ − J−1(x˜0, y˜0) f(x˜0, y˜0). |
y |
y˜0 |
Diese Stelle nennen wir (x˜1, y˜1). Sie dient als Startwert für die nächste Iteration. In dieser Formel wird die starke Analogie zum eindimensionalen Newton-Verfahren deutlich. Ein Schritt des Newton-Verfahrens ist nur durchführbar, falls die Jacobi-Matrix regulär ist, also eine Determinante ungleich null besitzt.
Definition 10.24 (Mehrdimensionales Newton-Verfahren)
Mit dem mehrdimensionalen Newton-Verfahren kann man eine Nullstelle einer vektorwertigen Funktion f näherungsweise berechnen:
(1)Finde einen geeigneten Startwert (x˜0, y˜0).
(2)Berechne Näherungswerte (x˜1, y˜1), (x˜2, y˜2), . . . mit der Iterationsvorschrift
|
x˜k |
|
1 |
|
x˜k |
|
J−1 |
|
x˜k, y˜k |
|
f |
|
x˜k, y˜k |
|
, k |
|
0, 1, 2, . . . |
Œ |
y˜k |
+1 |
‘ = Œ |
y˜k |
‘ − |
( |
) |
( |
) |
= |
|||||||
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) Führe die Iteration so lange durch, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.
Beispiel 10.28 (Mehrdimensionales Newton-Verfahren)
Wir suchen die Nullstellen der Funktion
−ex − y + 2
f(x, y) = Œ x2 + 2y2 − 6 ‘ .
Setzt man die beiden Funktionskomponenten null, so ergeben sich zwei Schnittkurven. Die Schnittpunkte dieser Schnittkurven wiederum sind die gesuchten Lösungen. Aus dem Schaubild ergeben sich als geeignete Startwerte für das Newton-Verfahren
ex + y = 2 |
y |
|
|
|
|
|
2 |
x2 + 2y2 = 6 |
|||||
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
−3 −2 |
−1 |
1 |
2 |
3 |
x |
|
|
||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
(x˜0, y˜0) = (−2, 2), (x˜0, y˜0) = (2, −2).
10.6 Numerische Verfahren |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
419 |
|||||
Die weiteren Näherungswerte berechnen wir mit der Formel |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x˜k 1 |
|
x˜k |
|
− |
ex˜k |
− |
1 −1 |
e2x˜k |
y˜2k |
+ |
2 . |
||||||
Œ |
|
+1 |
‘ = Œ |
|
‘ − Œ |
|
|
‘ Œ |
−˜k |
+ |
− k |
|
‘ |
|
||||
y˜k |
+ |
y˜k |
2˜xk |
4˜yk |
x |
2˜y |
− |
6 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Die Tabelle enthält die einzelnen Zahlenwerte. Korrekte Zi ern sind rot dargestellt. Das Verfahren konvergiert auch im Zweidimensionalen rasch gegen die Lösungen.
k |
x˜k |
y˜k |
x˜k |
y˜k |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2.0000000000 |
2.0000000000 |
2.0000000000 |
2.0000000000 |
|
1 |
−1.0325348945 |
1.7337325527 |
1.4753420374 |
−1.5123289812 |
|
2 |
−0.9322439726 |
1.6081829570 |
1.2728168227 |
−1.4869832894 |
|
3 |
−0.9254963413 |
1.6036743291 |
1.2005405988 |
−1.4896135114 |
|
4 |
−0.9254898387 |
1.6036627698 |
1.2497964156 |
−1.4896323349 |
Ì |
|
− |
|
|
− |
10.6.2 Gradientenverfahren
In diesem Abschnitt betrachten wir Minimierungsprobleme, also Fragestellungen der Art
f(x, y) → min, (x, y) D.
Man spricht hierbei auch von Optimierung ohne Nebenbedingungen. Dies bedeutet, dass die Lösung ohne Einschränkung im gesamten Definitionsbereich D gesucht werden kann. Eine Möglichkeit dazu ist, die notwendigen Bedingungen auszunutzen. Dies führt auf eine Nullstellensuche in der Ableitung. Eine andere Möglichkeit wird im Folgenden dargestellt. Dabei wird ausgenutzt, dass der Gradient einer Funktion als Richtungsvektor interpretiert in Richtung des steilsten Anstieges zeigt. Der negative Gradient ist also immer eine Abstiegsrichtung. Wir beginnen mit einem Startwert (x˜0, y˜0) und bewegen uns ein Stück in Richtung des negativen Gradienten:
Œ |
x |
‘ = Œ |
x˜0 |
‘ − t f(x˜0, y˜0), t > 0. |
y |
y˜0 |
Nun ist noch die Frage, wie weit genau in diese Richtung zu gehen ist. Dazu kann man etwa die Folge
t = 1, 1, 1, 1, . . .
2 4 8
heranziehen und für jeden Wert t testen, ob der Funktionswert an der neuen Stelle kleiner ist als an der alten:
f(x, y) < f(x˜0, y˜0).
Sobald diese Bedingung erfüllt ist, hat man ein geeigneten Wert t gefunden. Diesen Vorgang wiederholt man, bis keine wesentliche Änderung der Minimalstelle mehr eintritt.
420 |
10 Funktionen mit mehreren Variablen |
Definition 10.25 (Gradientenverfahren)
Mit dem Gradientenverfahren kann man ein Minimum einer Funktion f in mehreren Variablen näherungsweise berechnen:
(1)Finde einen geeigneten Startwert (x˜0, y˜0).
(2)Berechne Näherungswerte (x˜1, y˜1), (x˜2, y˜2), . . . mit der Iterationsvorschrift
|
x˜k |
|
1 |
|
x˜k |
|
t |
|
f |
|
x˜k, y˜k |
|
, |
k |
|
0, 1, 2, . . . |
Œ |
y˜k |
+1 |
‘ = Œ |
y˜k |
‘ − |
|
( |
) |
= |
|||||||
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Halbiere dabei ausgehend von t = 1 den Parameter t in jedem Schritt so lange, bis
f(x˜k+1, y˜k+1) < f(x˜k, y˜k).
(3)Führe die Iteration so lange durch, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.
Beispiel 10.29 (Gradientenverfahren)
Wir betrachten die Funktion
f |
|
x, y |
8 |
2 |
1 |
|
3 |
2 |
2 |
) |
|||||
|
5 |
|
5 y |
5 x |
|
2 e−(x |
+2y |
||||||||
|
( |
|
) = |
|
+ |
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
und suchen ein Minimum mithilfe des Gradientenverfahrens. Das Schaubild zeigt einige Höhenlinien in grau. Als Startwert wählen wir die Stelle
(x˜0, y˜0) = (1, 1).
Für den Gradienten ergibt sich
fx |
x, y |
) |
= |
− |
1 |
+ |
3 x e−(x |
2 |
+2y |
2 |
) |
||
5 |
|
|
|||||||||||
|
( |
2 |
6 y e−( |
x2 |
+ |
2y2 |
) |
||||||
fy |
x, y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||
|
( |
) |
= |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
Die weiteren Näherungswerte berechnen wir mit der Formel
Œ |
x˜k 1 |
‘ = Œ |
x˜k |
‘ − |
tk |
f |
x˜k, y˜k . |
|
y˜k |
+1 |
y˜k |
||||||
|
+ |
|
|
( |
) |
Die Tabelle enthält die einzelnen Zahlenwerte. Es ist erkennbar, dass die Schrittweite t von Iteration zu Iteration variiert. Die Höhenlinien in rot verlaufen durch die Näherungswerte des Gradientenverfahrens. Man sieht deutlich, dass die Gradienten senkrecht auf den Höhenlinien stehen. Das Verfahren konvergiert, wenn auch nicht allzu schnell, gegen die Minimumstelle.
|
|
y |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
−1 |
|
1 |
x |
|
|
|
||
|
|
−1 |
|
|
k |
x˜k |
y˜k |
|
tk |
0 |
1.00000 |
1.00000 |
|
− |
||
1 |
1 05063 |
0 |
. |
30127 |
1 |
|
|
. |
|
|
|
.000 |
|
2 |
0.37898 |
0.59862 |
1.000 |
|||
3 |
0.23850 |
−0.03893 |
0.500 |
|||
4 |
0.00155 |
−0.12892 |
0.500 |
|||
5 |
0.05042 |
−0.04186 |
0.250 |
|||
6 |
0.06283 |
−0.07944 |
0.250 |
|||
7 |
0.06648 |
−0.06223 |
0.250 |
|||
8 |
0.06722 |
−0.07001 |
|
. . . |
||
|
|
− |
|
|
|
|
Ì