7.4.3 Rotationskörper

Einige Werkzeugmaschinen in der Zerspantechnik, wie beispielsweise die Drehmaschine, erzeugen Werkstücke in Form von Rotationskörpern. Mathematisch kann man solche Körper durch Rotation einer Kurve um eine Achse beschreiben. Wir gehen dabei davon aus, dass die Profilkurve und die Rotationsachse in derselben Ebene liegen und dass die Profilkurve die Rotationsachse nicht schneidet, sondern höchstens berührt. Unser Ziel in diesem Abschnitt ist es, Formeln zur Berechnung des Volumens und der Oberfläche eines Rotationskörpers zu bestimmen. Zur Vereinfachung der Formeln legen wir uns dabei auf die x-y-Ebene fest. Außerdem betrachten wir nur Rotation um volle 360○, sodass ein geschlossener Körper entsteht.

Der einfachste Rotationskörper ist ein senkrechter Kreiszylinder. Er entsteht durch Rotation einer zur x-Achse parallelen Geraden. Der Begri „senkrecht“ bezieht sich dabei auf den rechten Winkel zwischen der Rotationsachse und dem Boden und Deckel des Kreiszylinders und nicht etwa auf die Orientierung in der x-y-Ebene. Sein Volumen berechnet man aus dem Produkt des Flächeninhalts der Grundfläche und der Höhe. Die Grundfläche besteht aus einer Kreisscheibe mit Radius r und hat den Flächeninhalt A = π r2. Die Mantelfläche des senkrechten Kreiszylinders wird aus einem Rechteck mit den Seitenlängen b − a und 2 π r gebildet. Dies können wir uns klar machen, indem wir uns vorstellen, den Kreiszylinder entlang einer Geraden parallel zur Rotationsachse aufzuschneiden. Die Schnittkante hat die Länge b − a, der Umfang der Kreise beträgt 2 π r.

der Kreisscheiben sind abhängig vom Funktionswert. Wir wählen als Radius den Funktionswert in der Mitte des jeweiligen Teilintervalls:

fk = f ‰a + k x − 12 xŽ , k = 1, 2, . . . , n.

Das erste Teilintegral entspricht der Fläche eines Rechtecks mit Grundseite 2 π und Höhe 4, der Wert ergibt also V1 = 8 π. Beim zweiten Integral wird der Kosinus über eine komplette Periode integriert. Daraus folgt V2 = 0. Beim dritten Teilintegral nutzen wir die Symmetrie zwischen Sinus und Kosinus aus. Es gilt nämlich

Unsere Überlegungen lassen sich auf Rotationen um die y-Achse übertragen. Allerdings müssen wir sicherstellen, dass ein und derselbe y-Wert nicht als Funktionswert von zwei unterschiedlichen x-Werten im Intervall [a, b] vorkommt. Funktionen, die diese Eigenschaften erfüllen, kennen wir bereits. Es sind die umkehrbaren Funktionen, siehe Definition 5.53. Die Radien der Kreisscheiben sind nun die Funktionswerte der Umkehrfunktion f−1. Die Summation läuft nun im Bereich zwischen f(a) und f(b). Allerdings könnte nun auch f(b) kleiner als f(a) sein. In diesem Fall wäre die Untergrenze des Integrals f(b) und die Obergrenze f(a). Beide Fälle lassen sich mithilfe des Betrags zu einer Formel zusammenfassen.

berechnen. Dabei darf das Schaubild der Funktion f die y-Achse nicht schneiden, sondern höchstens berühren.

Bei der Rotation um die y-Achse lässt sich das Volumen auch ohne die Bestimmung der Umkehrfunktion berechnen. Dazu verwendet man die Substitution u = f−1(x) bzw.

f(u) = x. Mit dem Verhältnis der Di erenziale f′(u) = dx folgt