12.3.3 Allgemeine Eigenschaften

Lineare Di erenzialgleichungen besitzen besonders schöne Eigenschaften. In diesem Abschnitt zeigen wir, dass bei homogenen Di erenzialgleichungen Linearkombinationen von Lösungen wieder Lösungen ergeben. Außerdem werden wir sehen, dass die allgemeine Lösung einer homogenen Di erenzialgleichung aus elementaren Lösungsbausteinen, den sogenannten Fundamentallösungen, zusammengesetzt wird. Schließlich stellen wir das sogenannte Superpositionsprinzip für inhomogene Di erenzialgleichungen vor.

Kennt man bereits zwei Lösungen y1 und y2 einer homogenen linearen Di erenzialgleichung, so kann man diese beiden Lösungen mit beliebigen Konstanten multiplizieren und addieren und erhält wieder eine Lösung.

Satz 12.7 (Linearkombination von Lösungen)

Sind y1 und y2 Lösungen einer homogenen linearen Di erenzialgleichung, dann ist auch

y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x)

mit beliebigen Konstanten C1 und C2 eine Lösung dieser Di erenzialgleichung.

Zum Nachweis dieser Eigenschaft setzt man y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) in die Di erenzialgleichung aus Definition 12.11 ein:

an(x) ŠC1 y1(n) + C2 y2(n)•+. . .+a1(x) (C1 y1′ + C2 y2′ )+a0(x) (C1 y1 + C2 y2) = 0.

Fasst man die Terme mit y1 und mit y2 jeweils zusammen, so entsteht

C1 Šan(x)y1(n) + . . . + a0(x)y1• + C2 Šan(x)y2(n) + . . . + a0(x)y2• = 0.

Die beiden Ausdrücke in den Klammern sind jeweils null, denn y1 und y2 sind ja Lösungen der homogenen Gleichung. Also löst y als Linearkombination von y1 und y2 ebenfalls die homogene Di erenzialgleichung.

Beispiel 12.21 (Linearkombination von Lösungen)

Die allgemeine Lösung einer homogenen linearen Di erenzialgleichung ist ähnlich strukturiert wie die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems. An die Stelle der Basisvektoren treten bei Di erenzialgleichungen die sogenannten Fundamentallösungen. Ein Fundamentalsystem setzt sich dann aus Fundamentallösungen zusammen.

Definition 12.15 (Fundamentalsystem)

Die n Lösungen y1, y2, . . ., yn einer linearen Di erenzialgleichung n-ter Ordnung bilden ein Fundamentalsystem, wenn aus

C1 y1(x) + C2 y2(x) + . . . + Cn yn(x) = 0 für alle x R

folgt, dass C1 = 0, C2 = 0, . . ., Cn = 0. Man nennt dann y1, y2, . . ., yn Fundamentallösungen der Di erenzialgleichung.

Bei linearen Di erenzialgleichungen besteht der zentrale Sachverhalt darin, die allgemeine Lösung mithilfe von Fundamentallösungen zu ermitteln. Auf die theoretischen Details gehen wir jedoch nicht ein.

Satz 12.8 (Allgemeine Lösung und Fundamentallösung)

Die allgemeine Lösung einer homogenen linearen Di erenzialgleichung n-ter Ordnung erhält man als Linearkombination von n Fundamentallösungen

y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + . . . + Cn yn(x).

Dabei bilden die n Fundamentallösungen y1, y2, . . ., yn ein Fundamentalsystem und C1, C2, . . ., Cn sind beliebige Konstanten.

Es stellt sich nun die Frage, wann n Funktionen ein Fundamentalsystem bilden. Diese Fragestellung ist ähnlich zu der Frage nach n linear unabhängigen Vektoren und wird deshalb auch mithilfe einer Determinanten beantwortet. Diese Determinante ist nach dem polnischen Mathematiker und Philosophen Joseph Marie Wronski benannt.

Satz 12.9 (Wronski-Kriterium)

Die n Funktionen y1, y2, . . ., yn bilden genau dann ein Fundamentalsystem, wenn die Wronski-Determinante für alle reellen Zahlen x nicht null ist, also

Beispiel 12.22 (Wronski-Kriterium)

a)Wir untersuchen, ob die beiden Funktionen y1(x) = cos (ω x) und y2(x) = sin (ω x) für ω ≠ 0 ein Fundamentalsystem bilden. Dazu berechnen wir die Wronski-Determinante

Die Wronski-Determinante ist für alle reellen Zahlen x ungleich null. Somit bilden die beiden Funktionen ein Fundamentalsystem.

b)Die drei Polynome y1(x) = 1, y2(x) = x und y3(x) = x2 bilden ein Fundamentalsystem. Denn die Wronski-Determinante

ist für alle reellen Zahlen x ungleich null.

c)Die beiden Funktionen y1(x) = ea x und y2(x) = eb x bilden für a ≠ b ein Fundamentalsystem. Die Wronski-Determinante

Eine weitere Eigenschaft linearer Di erenzialgleichungen betri t die Störfunktionen. Ist eine Störfunktion die Summe von Teilstörfunktionen, so kann zunächst für jede Teilstörfunktion separat eine partikuläre Lösung bestimmt werden. Diese einzelnen partikulären Teillösungen überlagern sich bei linearen Di erenzialgleichungen zur gesuchten partikulären Lösung.

Satz 12.10 (Superposition)

Wenn bei einer linearen Di erenzialgleichung die Störfunktion r durch Addition oder Subtraktion einzelner Störfunktionen zusammengesetzt ist

r(x) = r1(x) ± r2(x) ± r3(x) ± . . . ,

kann man die partikuläre Lösung für jede einzelne Störfunktion ri getrennt ermitteln.

Das Prinzip der Superposition basiert auf der Linearität der hier betrachteten Di erenzialgleichungen. Ist y1 eine partikuläre Lösung für die Störfunktion r1 und y2 eine partikuläre Lösung für r2, so gilt für die Summe y = y1 + y2 durch Einsetzen in die Di erenzialgleichung aus Definition 12.11

an(x) Šy1(n) + y2(n)• + . . . + a1(x) (y1′ + y2′ ) + a0(x) (y1 + y2) = r(x).

Durch entsprechendes Zusammenfassen

Šan(x) y1(n) + . . . + a0(x) y1• +Šan(x) y2(n) + . . . + a0(x) y2• = r(x)

Definition 12.16 (Lineare Di erenzialgleichung mit konstanten Koe zienten)

Eine lineare Di erenzialgleichung, bei der die Faktoren vor den Ableitungen keine echten Funktionen, sondern nur Konstanten a0, a1, . . ., an sind

an y(n) + an−1 y(n−1) + . . . + a2 y′′ + a1 y′ + a0 y = r(x),

nennt man eine lineare Di erenzialgleichung mit konstanten Koe zienten.

Entsprechend unserer Lösungsstrategie für lineare Di erenzialgleichungen betrachten wir zunächst nur homogene Di erenzialgleichungen. Die allgemeine Lösung einer homogenen linearen Di erenzialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koe zienten besteht aus Exponentialfunktionen. Dies legt die Vermutung nahe, dass die allgemeine Lösung auch bei linearen Di erenzialgleichungen mit konstanten Koe zienten höherer Ordnung aus Exponentialfunktionen bestehen.

Exponentialansatz

Bei linearen homogenen Di erenzialgleichungen mit konstanten Koe zienten versucht man, ein Fundamentalsystem aus Exponentialfunktionen zu bestimmen:

y(x) = eλx

Wenn wir eine homogene lineare Di erenzialgleichung der Ordnung n mit konstanten Koe zienten mit dem Exponentialansatz y(x) = eλ x versuchen zu lösen, dann erhalten wir aus der homogenen Gleichung in Definition 12.16

Diese Gleichung können wir durch eλx teilen. Damit haben wir x aus der Gleichung eliminiert:

anλn + an−1λn−1 + . . . + a2λ2 + a1λ + a0 = 0.

Definition 12.17 (Charakteristische Gleichung)

Zur homogenen linearen Di erenzialgleichung

an y(n) + an−1 y(n−1) + . . . + a2 y′′ + a1 y′ + a0 y = 0,

gehört die charakteristische Gleichung

anλn + an−1λn−1 + . . . + a2λ2 + a1λ + a0 = 0.

Sie entsteht aus der Di erenzialgleichung durch den Exponentialansatz y(x) = eλx.

Die charakteristische Gleichung entsteht also aus der Di erenzialgleichung dadurch, dass man die Ableitungen y(k) der gesuchten Funktion y durch Potenzen λk ersetzt. Dabei ist zu beachten, dass insbesondere y′ der Variablen λ1 = λ und y dem Wert λ0 = 1 entspricht. Hat die Di erenzialgleichung die Ordnung n, so besteht die charakteristische Gleichung auf der linken Seite aus einem Polynom vom Grad n mit der Variablen λ. Dieses Polynom nennt man auch charakteristisches Polynom.

Die Lösung einer linearen Di erenzialgleichung mithilfe der charakteristischen Gleichung stellt eine gewaltige Vereinfachung dar. Das Problem wird durch den Exponentialansatz soweit reduziert, dass man nur noch die Nullstellen eines Polynoms berechnen muss.

Beispiel 12.24 (Charakteristische Gleichung)

Zu der homogenen linearen Di erenzialgleichung betrachten wir die charakteristische Gleichung:

y(5) − 3 y′′′ + 52 y′′ = 0 Ô λ5 − 3 λ3 + 52 λ2 = 0 .

Den Faktor λ2 kann man ausklammern. Dadurch sind λ1,2 = 0 Lösungen der charakteristischen Gleichung. Außerdem ist λ3 = −4 eine Lösung. Eine Polynomdivision mit λ + 4 ergibt

λ5 − 3 λ3 + 52 λ2 = λ2 (λ + 4) ‰λ2 − 4 λ + 13Ž .

Definition 12.18 (Eigenwerte und Eigenfunktionen)

Die Lösungen der charakteristischen Gleichung

anλn + an−1λn−1 + . . . + a2λ2 + a1λ + a0 = 0

bezeichnet man als Eigenwerte λ1, λ2, . . ., λn. Die Lösungsfunktionen, die sich daraus durch den Exponentialansatz ergeben, nennt man Eigenfunktionen

y1(x) = eλ1x, y2(x) = eλ2x, . . . , yn(x) = eλnx.

Eigenwerte und Eigenfunktionen können reell oder komplex sein.

Die Bezeichnung Eigenwert wird klar, wenn wir den Zusammenhang zwischen einer linearen Di erenzialgleichung und einem System von Di erenzialgleichungen erster Ordnung betrachten, siehe Abschnitt 12.5.3. Lineare Systeme können in Matrixschreibweise formuliert werden. Die Eigenwerte der Systemmatrix, siehe Definition 4.19, entsprechen dann den Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Wenn alle Eigenwerte reell und paarweise verschieden sind, dann sind die Eigenfunktionen genau unsere gesuchten Fundamentallösungen. In Beispiel 12.24 haben wir jedoch bereits gesehen, dass die charakteristische Gleichung unter Umständen auch Paare konjugiert komplexer Zahlen als Lösungen haben kann. Außerdem können Lösungen, also Nullstellen des charakteristischen Polynoms, mehrfach vorkommen.

Fälle bei Eigenwerten

Bei den Eigenwerten einer linearen Di erenzialgleichung mit konstanten Koe zienten sind folgende Fälle zu beachten:

Komplexe Eigenwerte und Eigenfunktionen sind natürlich nicht unser Ziel, sondern nur Mittel zum Zweck. Wir werden Methoden aufzeigen, mit denen wir aus komplexen Eigenwerten und Eigenfunktionen reelle Lösungen bestimmen.

(A) Einfache reelle Eigenwerte

Jeder einfache reelle Eigenwert λ einer linearen Di erenzialgleichung mit konstanten Koe zienten erzeugt genau eine reelle Fundamentallösung

y(x) = eλ x.

Beispiel 12.25 (Einfache reelle Eigenwerte)

a) Die Di erenzialgleichung mit der charakteristischen Gleichung

y′′ − 7y′ + 12y = 0 Ô λ2 − 7λ + 12 = 0

besitzt die Eigenwerte λ1 = 3 und λ2 = 4. Daraus ergeben sich die Eigenfunktionen

y1(x) = e3 x, y2(x) = e4 x.

In Beispiel 12.22 haben wir bereits gesehen, dass zwei Exponentialfunktionen mit unterschiedlichem Exponenten ein Fundamentalsystem bilden. Die allgemeine Lösung der Di e- renzialgleichung ist

y(x) = C1e3 x + C2e4 x .

b) Die charakteristische Gleichung der Di erenzialgleichung

y′′ + 3 y′ = 0 Ô λ2 + 3 λ = 0

liefert die Eigenwerte λ1 = 0 und λ2 = −3. Die entsprechenden Eigenfunktionen sind

y1(x) = e0 x = 1, y2(x) = e−3 x.

Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Exponenten bilden ein Fundamentalsystem, siehe Beispiel 12.22. Somit ist

y(x) = C1 + C2e−3 x

Bei linearen Di erenzialgleichungen mit konstanten Koe zienten stellen die Eigenwerte eine direkte Verbindung zwischen der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung und der Di erenzialgleichung selbst her. Man kann dadurch Di erenzialgleichungen konstruieren, die vorgegebene Lösungen haben. Dazu geht man in umgekehrter Reihenfolge wie bei der Lösung einer Di erenzialgleichung vor. Aus der allgemeinen Lösung bestimmt man die Fundamentallösungen und daraus die Eigenwerte. Mit den Eigenwerten bildet man die charakteristische Gleichung, woraus sich die Di erenzialgleichung ergibt.

Beispiel 12.26 (Konstruktion einer Di erenzialgleichung aus Eigenwerten)

Wir suchen eine Di erenzialgleichung mit der allgemeinen Lösung

y(x) = C1e−2 x + C2e5 x.

Die Fundamentallösungen sind y1(x) = e−2 x und y2(x) = e5 x. Die Eigenwerte müssen λ1 = −2 und λ2 = 5. sein. Deshalb können wir die charakteristische Gleichung in der Form

(λ + 2) (λ − 5) = λ2 − 3 λ − 10

angeben. Daraus kann man die gesuchte Di erenzialgleichung ablesen:

Bei mehrfachen reellen Eigenwerten behilft man sich damit, dass man die erste Fundamentallösung entsprechend oft mit x multipliziert. Dieser Trick funktioniert natürlich nur unter den Voraussetzungen, dass das Wronski-Kriterium erfüllt ist und dass durch die Multiplikation mit x wieder eine Lösung der homogenen Di erenzialgleichung entsteht. Im Fall eines doppelten reellen Eigenwerts werden wir diese beiden Bedingungen nachrechnen. Bei einem n-fachen reellen Eigenwert verläuft der Nachweis analog.

(B) Mehrfache reelle Eigenwerte

Jeder doppelte reelle Eigenwert λ einer linearen Di erenzialgleichung mit konstanten Koe zienten erzeugt genau zwei reelle Fundamentallösungen

y1(x) = eλ x, y2(x) = x eλ x.

Falls die Vielfachheit des reellen Eigenwerts größer als zwei ist, entstehen jeweils durch Multiplikation mit x neue Fundamentallösungen

y3(x) = x2 eλ x, y4(x) = x3 eλ x, . . .

ist für alle reellen Zahlen x ungleich null.

Die Funktion y2 ist tatsächlich auch eine Lösung. Zum Nachweis betrachten wir die homogene lineare Di erenzialgleichung zweiter Ordnung und ihre charakteristische Gleichung:

a2 y′′ + a1 y′ + a0 y = 0, Ô a2λ2 + a1λ + a0 = 0.

Die charakteristische Gleichung hat genau dann eine doppelte reelle Lösung, wenn auch die Ableitung nach λ null ergibt, also 2 a2 λ + a1 = 0. Wir berechnen die erste und die zweite Ableitung von y2 und setzen alles in die Di erenzialgleichung ein:

Somit ist auch y2 eine Lösung der linearen homogenen Di erenzialgleichung.

Beispiel 12.27 (Mehrfache reelle Eigenwerte)

a) Die Lösung der Di erenzialgleichung bestimmen wir aus der charakteristischen Gleichung:

y′′ + 2y′ + y = 0 Ô λ2 + 2λ + 1 = 0

Der doppelte reelle Eigenwert λ1,2 = −1 ergibt die erste Fundamentallösung y1(x) = e−x. Diese multiplizieren wir mit x und erhalten die zweite Fundamentallösung y2(x) = x e−x. Die Linearkombination der Fundamentallösungen liefert die allgemeine Lösung

y(x) = C1 e−x + C2 x e−x.

(C) Einfache komplexe Eigenwerte

Jedes einfache konjugiert komplexe Paar Eigenwerte λ1,2 = a ± i b einer linearen Di e- renzialgleichung mit konstanten Koe zienten erzeugt genau zwei reelle Fundamentallösungen

y1(x) = ea x cos (b x), y2(x) = ea x sin (b x).

Der Realteil erzeugt Lösungsanteile in Form von Exponentialfunktionen und die Imaginärteile erzeugen Sinusund Kosinusanteile.

Beispiel 12.30 (Eigenwerte)

Die Eigenwerte der Di erenzialgleichung

y(5) − 3 y′′′ + 52 y′′ = 0

sind λ1,2 = 0, λ3 = −4 und λ4,5 = 2 ± 3 i, siehe Beispiel 12.24. Es kommen also sowohl eine doppelte reelle Lösung als auch ein komplex konjugiertes Paar als Eigenwerte vor. Die allgemeine Lösung dieser homogenen Di erenzialgleichung ist somit

Aufgrund der einfachen Struktur von linearen Di erenzialgleichungen erzeugen Störfunktionen in Form eines Polynoms in der Regel partikuläre Lösungen, die auch Polynome sind. Dasselbe Prinzip gilt auch für Exponentialfunktionen und gedämpfte und ungedämpfte harmonische Schwingungen, siehe Beispiel 12.23. Deshalb wählt man als Ansatz für eine partikuläre Lösung einfach die Störfunktion in einer etwas allgemeineren Form mit zunächst freien Koe zienten. Die folgende Übersicht zeigt die Ansätze für einige Typen von Störfunktionen.

Störansatztabelle

Falls die Störfunktion ein Polynom vom Grad n ist, dann verwendet man für die partikuläre Lösung ein Polynom vom selben Grad. Auch der Exponent k der e-Funktion und die Kreisfrequenz ω von Sinus und Kosinus sind bei der Störfunktion und dem entsprechenden Ansatz für eine partikuläre Lösung identisch.

Beim Störansatz muss stets der vollständige Term angesetzt werden. Besteht die Störfunktion nur aus an xn, so benötigt man für die partikuläre Lösung trotzdem einen Ansatz mit einem kompletten Polynom vom Grad n. Auch wenn die Störfunktion nur aus einem Sinus besteht, so braucht man für die partikuläre Lösung trotzdem einen Ansatz mit einer Sinusund einer Kosinusfunktion. Entsprechendes gilt auch für gedämpfte Schwingungen.

Für inhomogene Di erenzialgleichungen gilt das Superpositionsprinzip. Besteht also die Störfunktion aus einer Summe von mehreren Termen, so kann zunächst für jeden Term separat eine partikuläre Lösung mittels Störansatz bestimmt werden. Anschließend werden die einzelnen partikulären Lösungen zu einer gesamten partikulären Lösung für die vollständige Störfunktion addiert.

Die Koe zienten im Störansatz versucht man, durch Einsetzen des Ansatzes in die Differenzialgleichung zu bestimmen. Dadurch erhält man ein lineares Gleichungssystem für die Koe zienten. Lassen sich die Koe zienten bestimmen, so war der Ansatz zielführend. Falls sich die Koe zienten nicht bestimmen lassen, so liegt in der Regel Resonanz vor. Bevor wir uns mit dem Erkennen und Behandeln von Resonanz beschäftigen, betrachten wir zunächst ein paar Beispiele ohne Resonanz.

Beispiel 12.31 (Störansatz)

a) Die Störfunktion der Di erenzialgleichung

y′′ − 3 y′ + 2 y = 4 − 8 x + 4 x2

besteht aus einem Polynom vom Grad 2. Laut Tabelle ist der Störansatz für eine partikuläre Lösung yp(x) = A0 + A1 x + A2 x2. Das Einsetzen der Funktion mit ihren Ableitungen in die Di erenzialgleichung kann mithilfe des Tableaus

erfolgen. In der letzten Gleichung steht sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite ein Polynom. Da die Gleichung für alle x erfüllt sein soll, müssen die Koe zienten der Polynome links und rechts übereinstimmen. Dadurch erhalten wir ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen für unsere gesuchten Größen A0, A1 und A2

das die eindeutige Lösung A2 = 2, A1 = 2 und A0 = 3 besitzt. Eine partikuläre Lösung lautet

yp(x) = 3 + 2 x + 2 x2.

b) Bei der Di erenzialgleichung

y′′ − 3 y′ + 2 y = e3 x

lautet der Störansatz für eine partikuläre Lösung

Bei inhomogenen Di erenzialgleichungen kann folgendes Phänomen auftreten: Ist die Störfunktion eine spezielle Lösung der homogenen Di erenzialgleichung, so verstärkt die Anregung durch diese Störfunktion die spezielle Lösung. Dieses Phänomen nennt man Resonanz.

Resonanz

Bei einer linearen Di erenzialgleichung mit konstanten Koe zienten spricht man von Resonanz, falls die Störfunktion in der allgemeinen Lösung der homogenen Di erenzialgleichung enthalten ist.

Beispiel 12.32 (Störansatz bei Resonanz)

Wir betrachten die Di erenzialgleichung aus Beispiel 12.31 mit einer anderen Störfunktion:

y′′ − 3 y′ + 2 y = e2 x .

Der Ansatz für eine partikuläre Lösung laut Störansatztabelle

ergibt beim Einsetzen in die Di erenzialgleichung

4 A e2 x − 3 2 A e2 x + 2 A e2 x = e2 x.

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

0

Diese Gleichung ist für kein A erfüllbar. Somit führt dieser Ansatz nicht auf eine partikuläre Lösung. Es stellt sich die Frage, ob dieses Verhalten vorhersehbar ist. Bei der Störfunktion

enthalten. Es liegt Resonanz vor. In diesem Fall multipliziert man den Ansatz mit x:

Resonanztest

Bevor man eine partikuläre Lösung einer linearen Di erenzialgleichung mit konstanten Koe zienten berechnet, muss man unbedingt überprüfen, ob Resonanz vorliegt. Eine lineare Di erenzialgleichung mit konstanten Koe zienten kann man auf Resonanz überprüfen, indem man der Störfunktion einen Eigenwert zuordnet und diesen Eigenwert mit den Eigenwerten der homogenen Di erenzialgleichung vergleicht. Ist der zugeordnete Eigenwert der Störfunktion auch ein Eigenwert der homogenen Di erenzialgleichung, so liegt Resonanz vor.

Beispiel 12.33 (Resonanztest)

Die Di erenzialgleichung

y′′ − 3 y′ + 2 y = e2 x

besitzt die charakteristische Gleichung

λ2 − 3 λ + 2 = 0.

Zuordnung von Eigenwerten bei Störfunktionen

Auch im Resonanzfall lässt sich eine partikuläre Lösung finden. Man multipliziert den Ansatz laut Störansatztabelle mit dem Faktor xs. Dabei ist s die Vielfachheit des resonanten Eigenwerts.

Resonanzansatz

Wenn bei einer linearen Di erenzialgleichung mit konstanten Koe zienten einfache Resonanz vorliegt, multipliziert man den Störansatz mit x. Allgemein wird bei Resonanz mit einem Eigenwert der Vielfachheit s der Störansatz mit der entsprechenden Potenz xs multipliziert.

Beispiel 12.34 (Ansätze bei Störfunktionen)

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über die bisherigen Beispiele zu linearen Di erenzialgleichungen mit konstanten Koe zienten. Bei jeder homogenen Di erenzialgleichung werden zu unterschiedlichen Störfunktionen jeweils der entsprechende Ansatz für eine partikuläre Lösung angegeben.