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Вуз:
Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта им. академика В. Лазаряна
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
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Koch_Mathematik fur das Ingenieurstudium.pdf
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☆
►Содержание►

448

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11 Komplexe Zahlen und Funktionen

b) Die Überlagerung der beiden Schwingungen

 

 

 

 

Im

 

 

√

 

i

5 π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

5π

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

z1 =

2e

x1(t)=√2 cos ‹t +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•,

x2(t)=sin ‹t +

 

 

 

•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

6

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

i π6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

berechnen wir durch Zeigeraddition. Dazu muss

 

 

 

 

 

 

 

 

z = e

der Sinus durch einen Kosinus dargestellt wer-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

den:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

1

 

 

Re

 

π

 

π

 

π

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin ‹t +

 

• = cos ‹t +

 

 

 

−

 

• = cos ‹t −

 

•.

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 = e−i π3

6

6

2

3

 

 

 

 

Die Addition der Zeiger ergibt

 

 

5π

π

 

 

 

5π

5π

 

 

 

π

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1 + z2 = √2ei 12

+ e−i 3 = √2 ‹cos

 

 

+ i sin

 

• + ‹cos

 

− i sin

 

 

• =

12

12

3

3

Also lässt sich die Überlagerung darstellen durch

 

 

• = cos ‹t + 6

•.

 

x(t) = x1(t) + x2(t) = √2 cos ‹t +

12

• + sin ‹t + 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 π

 

 

 

π

 

 

π

 

 

 

√

3 + 1 i = ei π6 .

22

Ì

11.4.3 Transformationen

Additionen und Multiplikationen mit komplexen Zahlen haben einfache geometrische Bedeutungen in der Gaußschen Zahlenebene. Sie erzeugen Verschiebungen, Drehungen und Streckungen. Dadurch lassen sich Ortskurven einfach transformieren. Diese Transformationen sind spezielle komplexe Funktionen.

Satz 11.18 (Translation, Rotation und Skalierung)

Für beliebige komplexe Zahlen a bewirkt

Ldie Addition eine Translation f(z) = z + a und

Ldie Multiplikation eine Drehstreckung f(z) = a z, also eine Rotation um den Winkel ϕ = arg(a) und eine Skalierung um den Faktor SaS

in der Gaußschen Zahlenebene.

Es ist o ensichtlich, dass durch die Addition einer komplexen Zahl eine Translation entsteht. Die Eigenschaft der Drehstreckung erkennt man am besten in der Exponentialform

z = SzS ei ϕ, a = SaS ei α Ô f(z) = a z = SaS ei α SzS ei ϕ = SaS SzS ei(α+ϕ).

Sowohl das Zentrum der Rotation als auch das Zentrum der Skalierung ist der Ursprung.

11.4 Komplexe Funktionen

449

Beispiel 11.13 (Transformation von Ortskurven)

Die Ortskurve der komplexwertigen Funktion

z t

3 2 i

3 ei t

,

 

t

0, 2 π ,

 

 

2

 

 

 

Durch[

 

Multiplikation]

ist ein Kreis( ) =mit+ Mittelpunkt.+

 

mit der komlexen Zahl r

 

2 i

ergibt sich die um

π

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

2

 

rotierte und um den

Faktor r

 

 

2 skalierte Ortskurve

 

=

 

=

 

3

 

 

 

 

z˜(t) =

2

 

4

 

 

+ ei ‰

t

π

3 i z(t) = −

3

+ 3 i

 

+ 2 Ž,

die ebenfalls wieder ein Kreis ist.

Im

 

4i

 

3i

 

z˜02i

z0

i

 

−4 −3 −2 −1

1 2 3 4 Re

−i

−2 i

Ì

Insbesondere bei Wechselspannungen und Wechselströmen in der Elektrotechnik benötigt man den Kehrwert von komplexen Zahlen. Die komplexwertige Stromstärke entspricht der komplexwertigen Spannung multipliziert mit dem Kehrwert der Impedanz.

Definition 11.11 (Inversion)

Die komplexe Funktion f, die einer komplexen Zahl z ihren Kehrwert zuordnet

f(z) = 1 z

bezeichnet man als Inversion.

Für z = 0 ist die Inversion streng genommen nicht definiert. Man kann diesen Sachverhalt jedoch auch anders interpretieren. Die Zahl z = 0 wird ins Unendliche transformiert. Wenn also eine Ortskurve durch den Ursprung der Gaußschen Zahlenebene verläuft, dann ist die invertierte Ortskurve bis ins Unendliche ausgedehnt. Die Inversion wird manchmal auch über eine Spiegelung am Einheitskreis und der reellen Achse beschrieben.

Beispiel 11.14 (Inversion)

a) Die Inversion des Ursprungskreises mit Radius r

z(t) = r ei t, t [0, 2 π]

 

 

 

1

ergibt einen Ursprungskreis mit Radius

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z˜ t

 

z

1

 

1

 

 

0, 2 π

 

,

 

 

 

t

 

 

r e−i t, t

 

 

 

 

(

) =

 

(

)

=

 

 

[

 

]

 

 

 

bei dem sich der Durchlaufsinn geändert hat.

 

Im

 

r = 2

2i

 

 

i

 

−3 −2

−1

1 2 3 Re

−i

−2 i

450

 

 

 

 

 

 

 

 

11 Komplexe Zahlen und Funktionen

b) Die Inversion des Kreises aus Beispiel 11.10

Im

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

4i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

t

) = 1 4 i t

,

t

 

 

 

3i

 

 

(

 

 

R

 

2i

 

ergibt eine

Gerade:

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

i

 

z˜(t) = z

1

=

1

+ i t,

t R.

 

 

 

 

 

t

4

−4 −3 −2 −1−i

1 2 3 4 Re

 

 

 

(

)

 

 

 

 

−

2 i

Ì

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Enge Verwandte von Translation, Rotation, Skalierung und Inversion sind Möbius-Trans- formationen. Sie sind nach dem deutschen Mathematiker und Astronomen August Ferdinand Möbius benannt.

Definition 11.12 (Möbius-Transformation)

Für komplexe Zahlen a, b, c und d mit a d − b c ≠ 0 bezeichnet man die komplexe Funktion

f(z) = a z + b c z + d

als Möbius-Transformation.

Die inverse Transformation einer Möbius-Transformation ist

f

−1

(

z

) =

dczz− ba,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

denn es gilt:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a z

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

1

 

f z

 

d

c z

+d

 

b

 

 

d a z b

b c z d

a d z b c z

z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

a z b

−

a

 

c a z b

a c z d

a d b c

 

 

 

 

( ( )) =

 

c

+

 

(

+ ) − ( + )

=

−

=

 

 

 

−

 

 

c z

+d

+

 

 

=

− (

+ ) + ( + )

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

Die Transformation f−1 ist selbst wieder eine Möbius-Transformation, denn die Bedingung d a − b c ≠ 0 ist genau dann erfüllt, wenn a d − b c ≠ 0 gilt.

Eine Möbius-Transformation lässt sich aus einfachen Transformationen zusammensetzen. Die Zerlegung einer Möbius-Transformation in Einzeltransformationen ergibt sich durch Polynomdivision:

f

 

z

 

a z

+

b

a

b c

−

a d

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

(

) =

 

 

+

=

+

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

c z

 

d

 

 

 

 

c

 

 

c z

 

d

Dadurch ist eine Möbius-Transformation durch eine Verknüpfung von zwei Translationen T , zwei Drehstreckungen D und einer Inversion I darstellbar:

 

D

 

T

 

+

 

I

1

 

D

b c

−

a d

 

1

 

T

a b c

−

a d

 

1

 

z

Ð→

c z

Ð→

c z

d

Ð→

+

 

Ð→

 

 

 

+

 

Ð→

 

+

 

 

 

+

.

 

 

 

 

c z d

 

 

c

 

 

 

c z d

 

c

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c z d

11.4 Komplexe Funktionen

451

Satz 11.19 (Möbius-Transformation)

Jede Möbius-Transformation lässt sich aus Translationen, Drehstreckungen und Inversionen zusammensetzen.

Translationen, Skalierungen und Rotationen sind o ensichtlich kreistreue und winkeltreue Transformationen. Damit eine Möbius-Transformation auch kreistreu und winkeltreu ist, bleibt nur noch zu zeigen, dass die Inversion eine kreistreue und winkeltreue Abbildung ist. Das ist durch elementare algebraische Umformungen möglich, erfordert jedoch die Betrachtung einiger Spezialfälle. Deshalb verzichten wir auf einen Nachweis.

Satz 11.20 (Kreistreue und Winkeltreue)

Jede Möbius-Transformation f ist

Leine kreistreue Abbildung: Wenn die Ortskurve von z(t) ein Kreis ist, dann ist auch die Ortskurve von f(z(t)) ein Kreis. Dabei sind Geraden als Kreise mit unendlich großem Radius zu betrachten.

Leine winkeltreue Abbildung: Durch die Abbildung bleiben Schnittwinkel zwischen Ortskurven unverändert.

Die Möbius-Transformation hat ein rein reelles Analogon. Ersetzt man in der Definition der Möbius-Transformation z durch x, so werden damit Hyperbeln mit achsenparallelen Asymptoten definiert, siehe Abschnitt 5.2.3.

Beispiel 11.15 (Möbius-Transformation)

Wir betrachten die Möbius-Transformation

i z − 2

f(z) = .

(1 + i)z − (2 + i)

In der Abbildung ist zu erkennen, dass das Gitter in der z-Ebene auf Kreise und zwei Geraden in der w-Ebene abgebildet wird. Im weiteren Sinn werden also Kreise auf Kreise abgebildet.

Im

 

 

Im

 

2i

 

 

2i

 

i

 

f

i

 

−3 −2 −1

1 2 3 Re

Ð→

−3 −2 −1

1 2 3 Re

−i

 

 

−i

 

−2 i

 

 

−2 i

 

Ì

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