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Koch_Mathematik fur das Ingenieurstudium.pdf
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284

6 Di erenzialrechnung

Definition 6.16 (Sekantenverfahren)

Mit dem Sekantenverfahren kann man eine Nullstelle der Funktion f näherungsweise berechnen:

(1)Finde zwei geeignete Startwerte x˜0 und x˜1.

(2)Berechne Näherungswerte x˜2, x˜3, . . . mit der Iterationsvorschrift

x˜k x˜k−1

x˜k+1 = x˜k f(x˜k), k = 1, 2, 3, . . .

f(x˜k) − f(x˜k−1)

(3) Führe die Iteration so lange durch, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.

Im Gegensatz zum Newton-Verfahren sind beim Sekantenverfahren keine Ableitungswerte erforderlich. Pro Iterationsschritt benötigt man lediglich einen neuen Funktionswert. Dafür konvergiert das Sekantenverfahren etwas langsamer als das Newton-Verfahren.

Beispiel 6.33 (Sekantenverfahren)

Wir betrachten nochmals die Berechnung der Schnittpunkte aus Beispiel 6.32. Als Startwerte für den linken Schnittpunkt wählen wir x˜0 = −1 und x˜1 = −2 und als Startwerte für den rechten Schnittpunkt x˜0 = 2 und x˜1 = 1. Die Iterationsvorschrift lautet nun

 

 

 

 

 

 

x˜k

 

 

x˜k

) ‰

ex˜k

 

 

x˜k

 

2

Ž

 

x˜k

 

1

 

x˜k

 

( e

 

 

˜

 

 

 

1

 

+

=

 

x˜k

xk1

ex˜k

1

+

x˜k

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Die Tabelle enthält einige Zahlenwerte. Die korrekten Zi ern sind wieder rot dargestellt. Es ist zu erkennen, dass das Sekantenverfahren etwas langsamer konvergiert als das Newton-Verfahren.

k x˜k

x˜k

0 −1.0000000000 2.0000000000

1 −2.0000000000 1.0000000000

2 −1.8236572375 1.0767462531 3 −1.8411555018 1.1543398002 4 −1.8414060821 1.1457682096 5 −1.8414056604 1.1461906906

Ì

6.6 Anwendungen

Die Di erenzialrechnung besitzt zahlreiche Anwendungen in den Naturwissenschaften und der Technik. Wir greifen in diesem Abschnitt ein paar typische Beispiele heraus.

6.6.1 Fehlerrechnung

Wir stellen uns nun die Frage, wie ein Eingangsfehler x einer Größe x sich durch eine Funktion f in einen Ausgangsfehler f fortpflanzt. Diese Frage spielt in der Praxis typischerweise dann eine Rolle, wenn Größen gemessen werden und durch die Messung mit Fehlern behaftet sind.

6.6 Anwendungen

285

Dem sogenannten relativen Fehler, also dem Fehler bezogen auf die Messgröße, kommt dabei eine wesentliche Bedeutung in der Praxis zu. Eine Abweichung von einem Gramm ist bei einem Brief recht viel, bei einem mit Altpapier beladenen Lkw jedoch relativ wenig.

Definition 6.17 (Fehler)

 

 

 

 

 

Für eine Größe f mit einer Abweichung

f definiert man

L

 

Ea = S

f

 

den absoluten Fehler durch

fS,

 

L

den relativen Fehler durch

Er = V

 

 

V,

 

f

 

L

 

 

f

 

den prozentualen Fehler durch

Ep = V

 

V

100 %.

f

Bei kleinen Abweichungen x können wir mittels des Di erenzials Abschätzungen für den Ausgangsfehler einer Funktion in Abhängigkeit vom Eingangsfehler herleiten. Bereits in Abschnitt 6.1.2 haben wir gesehen, dass das Di erenzial ein guter Näherungswert für den absoluten Fehler darstellt, also f ≈ df = fx. Es ist unser Ziel, möglichst einfache Abschätzungen herzuleiten. Wir nehmen also kleine Ungenauigkeiten zugunsten einfacher Anwendung an dieser Stelle in Kauf.

Satz 6.16 (Abschätzung des maximalen Fehlers)

Näherungsweise abschätzen lässt sich

L

der maximale absolute Fehler durch

S

f

 

f

x

,

der maximale relative Fehler durch

fS ≈ S

 

fS S

S

 

L

 

 

 

 

x .

 

V

 

V ≈ W

 

 

W S S

 

f

f

Beispiel 6.34 (Relativer Fehler einer Kugel)

Bei der Produktion von Kugeln sollen diejenigen Kugeln, deren Radien einen vorgegebenen Radius um mehr als 1 % überoder unterschreiten, aussortiert werden. Die Messung des Radius erfordert ein aufwendiges Verfahren, im Gegensatz dazu lässt sich die Masse einfacher bestimmen. Wir wollen nun herausfinden, welchen relativen Fehler die Masse einer Kugel haben darf. Die Masse in Abhängigkeit des Radius r berechnet man mithilfe des Volumens V . Für das Volumen einer

Kugel gilt die Formel V (r) = ρ 4 π r3. Damit gilt für die Masse

3

m(r) = ρ V (r) = ρ 4 π r3,

3

wobei ρ die Dichte bezeichnet. Näherungsweise gilt für den relativen Fehler

 

 

 

 

 

 

r

 

4

 

 

 

r 3

 

 

.

 

 

m

 

m

 

r

 

 

ρ 4 π r2

 

 

r

 

 

 

V

 

 

V ≈ W

 

 

(r )

W S

 

S = W

 

W S

S = V

 

V

 

 

m

m

 

 

ρ 3 π r3

r

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

3

mal so groß wie der relative Fehler des Radius sein.

Ì

Der relative Fehler der Masse darf also

 

 

286

6 Di erenzialrechnung

Beispiel 6.35 (Fehlerauswirkung)

a) Wir betrachten die Potenzfunktion

f(x) = xa.

Dann gilt für den relativen Fehler näherungsweise

 

f

 

f

x

 

x

 

a xa−1

x a

x

.

 

f

 

(x )

 

xa

 

 

 

f

 

W S

 

 

W S S = S S V

x

V

V ≈ W

( )

 

S = W

 

V

Der relative Eingangsfehler wird also mit dem Faktor SaS gedämpft bzw. verstärkt. b) Nun betrachten wir die e-Funktion

f(x) = ex.

Der relative Fehler lässt sich näherungsweise abschätzen durch

 

f

 

f

x

 

x

ex

 

x

 

x .

 

f

 

 

(x )

 

ex

 

 

 

V ≈ W

f

 

W S

S = V

V S

 

S = S

S

V

 

( )

 

 

Hier wird der relative Ausgangsfehler durch den absoluten Eingangsfehler abgeschätzt. Ì

Wir werden die Fehlerrechnung im Zusammenhang mit Funktionen mit mehreren Variablen im Abschnitt 10.7.1 nochmals aufgreifen. In vielen Anwendungen hängt die Ausgangsgröße nicht nur von einer, sondern von mehreren Eingangsgrößen ab.

6.6.2 Extremwertaufgaben

Bei praktischen Problemstellungen ist man oft auf der Suche nach möglichst optimalen Ergebnissen. In der Regel gibt es eine Reihe von Parametern, die man nach Möglichkeit so festlegt, dass man das beste Ergebnis erzielt. Beispielsweise versucht man, die Stückzahl, mit der ein bestimmtes Produkt hergestellt wird, so zu bestimmen, dass der damit erzielte Gewinn maximal wird. In diesem Abschnitt werden wir einfache Optimierungsprobleme anhand von Beispielen betrachten. Die sogenannte mathematische Optimierung ist ein wichtiges Teilgebiet der angewandten Mathematik und Informatik.

Extremwertaufgabe

Die Bestimmung des größten oder des kleinsten Wertes einer Funktion f in einem Intervall I bezeichnet man als Extremwertaufgabe. In diesem Zusammenhang bezeichnet man f auch als Zielfunktion. Die Extremwerte sind entweder relative Extrema der Funktion, die man mithilfe der Di erenzialrechnung bestimmt, oder Werte, die die Funktion an den Randpunkten des Intervalls I annimmt.

6.6 Anwendungen

287

Beispiel 6.36 (Faltschachtel)

Ein Blatt DIN A4 Papier mit der Höhe h

 

297 mm und der Breite b

 

210 mm soll so zu einer

Schachtel gefaltet werden, dass das

Volumen der Schachtel maximal wird. Bei einer optimalen

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

Lösung ist sicherlich der Rand an allen vier Seiten gleich hoch. Dann lässt sich das Volumen V

als Funktion der Höhe des Randes a darstellen:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

a

 

 

h

 

2a

 

b

 

2a a

 

 

4a3

 

2 b

 

h a2

 

bha,

a

 

0, 105 .

Die

notwendige Bedingung für ein Extremum

 

)

+

 

 

[

 

 

]

 

(

) = (

 

 

 

)(

 

 

)

 

 

=

 

 

 

 

(

 

+

 

 

 

 

 

 

V a 12a2

 

4 b

h

)

a

+

b h

=

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

liefert zwei( mögliche) =

Werte( +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b − 2a

 

 

 

 

4 b h

 

»16 b h 2 48 b h .

 

 

 

 

 

 

h − 2a

 

a1,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

(

+

 

) ±

 

 

24

 

+

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Die Zahlenwerte ergeben sich zu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1 ≈ 40 mm,

 

a2 ≈ 128 mm.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Der zweite Werte liegt außerhalb des betrachteten Intervalls, somit scheidet das positive Vorzeichen vor der Wurzel aus. Das Volumen ist für a im Bereich von 0 mm bis 105 mm positiv oder

null. Aufgrund von V

0

0, und V 105

 

0 kann man deshalb, auch ohne die zweite Ableitung

zu betrachten, sicher(

sein, dass es sich um ein Maximum handelt. Die optimale Faltschachtel

) =

(

) =

 

Ì

erhalten wir somit bei einem Rand mit einer Höhe von ungefähr 40 mm.

Beispiel 6.37 (Tragfähigkeit eines Balkens)

Eine Zimmermannsweisheit sagt, dass optimale Balken ein Verhältnis von Höhe zu Breite wie 7 zu 5 haben. Tatsächlich können wir nachrechnen, dass solche Balken die Tragfähigkeit maximieren. Wir betrachten einen Balken der Breite b und Höhe h, der aus einem zylindrischen Baumstamm mit Durchmesser d herausgeschnitten wird. Aus der Statik ist bekannt, dass ein Balken doppelter Breite eine doppelte Tragfähigkeit und ein Balken doppelter Höhe eine vierfache Tragfähigkeit besitzt. Die Tragfähigkeit T hängt folgendermaßen von der Breite b und Höhe h ab:

 

 

 

T

 

 

 

C b h2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Die

Konstante C bezeichnet dabei eine Materialkon-

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

stante, die hier aber nicht weiter interessiert. Nach

 

dem Satz von Pythagoras gilt im rechtwinkligen Drei-

 

 

b2

 

h2

 

d2 Zusammen erhalten wir somit

 

eck

 

 

+T

(

b

=

C. b

d2

b2

Ž

=

C d2 b

C b3

,

d

h

 

 

 

 

 

 

 

) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mit b

 

 

0,

d

. Extremwerte ergeben sich aus

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

1,2

 

 

 

 

T

 

 

2

 

C d2

 

 

C b2

 

 

 

 

 

b

 

1 d.

 

 

 

(

b

) =

 

=

 

Ô

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ±√3

 

Die negative Lösung brauchen wir nicht weiter betrachten. Die Höhe bestimmen wir aus

¾

h =

d2 b2 = d2 3 d2

= √3 d.

 

 

 

1

2

288

6 Di erenzialrechnung

Aufgrund von T ′′(b) = −6 C b < 0 ist der Extremwert ein Maximum. An den Randpunkten b = 0

und b = d ist T null. Für das Verhältnis von Breite zu Höhe ergibt sich also ein Verhältnis von

2 ungefähr 7 zu 5:

h

 

 

7

 

 

 

 

 

 

= 2 ≈ 1.4142 ≈

 

.

 

 

 

 

b

5

 

 

 

Im Prinzip hätten wir auch alternativ eine Funktion T h

aufstellen können. Das Ergebnis ist

dasselbe. Die dadurch auftretende Wurzel ist

rechentechnisch jedoch ungünstiger.

Ì

( )

 

6.6.3 Momentanund Durchschnittsgeschwindigkeit

Globale Satellitennavigationssysteme ermöglichen die automatische Positionsbestimmung bewegter Objekte. Dadurch kann man eine Funktion s definieren, die zu jedem Zeitpunkt t den zurückgelegten Weg s(t) angibt. Diese Beziehung zwischen der Zeit und dem zurückgelegten Weg wird auch als Weg-Zeit-Gesetz bezeichnet. Die Ableitung des Weg-Zeit-Gesetzes ist das sogenannte Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz:

v(t) = ds = s˙(t). dt

Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t bezeichnet man als Momentangeschwindigkeit. Bei einem Bewegungsvorgang, der sich über das Zeitintervall [t1, t2] erstreckt, nennt man

v = s(t2) − s(t1) t2 t1

die Durchschnittsgeschwindigkeit. Der Mittelwertsatz der Di erenzialrechnung, formuliert in Satz 6.3, besagt, dass es mindestens einen Zeitpunkt t0 (t1, t2) gibt, in dem die Momentangeschwindigkeit v(t0) mit der Durchschnittsgeschwindigkeit v übereinstimmt.

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